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1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性观察下面几张图片，它们有什么共同特征？观察下面几张图片，它们有什么共同特征？观察函数观察函数f(x)=x2和和f(x)= |x|图象并思考：图象并思考：（1 1）这两个函数图象有什么共同特征？）这两个函数图象有什么共同特征？（2 2）填函数值对应表）填函数值对应表, ,它们是如何体现这些特征的？它们是如何体现这些特征的？x-3-2-10123f(x)=x2x-3-2-10123f(x)=|x|9 4 1 0 1 4 93 2 1 0 1 2 3(3)(3)能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？ 例如：对于函数例如：对
2、于函数 f(x)=x2，有：，有： f(-3)=9=(-3)=9=f(3);(3); f(-2)=4=(-2)=4=f(2);(2); f(-1)=1=(-1)=1=f(1).(1). 同样我们也能说明函数同样我们也能说明函数f(x)=|x|也是偶函数也是偶函数. . 从函数值对应表可以看到，当自变量从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相取一对相反数时，相应的两个函数值相同反数时，相应的两个函数值相同. . 实际上实际上, ,对于定义域对于定义域R内任意的一个内任意的一个x, ,都有都有f(-x)=(- x)2 = =x2=f(x).这时我们称函数这时我们称函数f(x)=x2为偶函数为偶函
3、数. . 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.定义定义1 1 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，如人与镜中的影关于镜面对称， 除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)= 的图象回答问题：的图象回答问题：（1 1）这两个函数图象有什么共同特征？）这两个函数图象有什么共同特征？（2 2）填函数值对应表：）填函数值对应表：x-3
4、-2-10123 f(x)=xx-3-2-10123 f(x)=-3 -2 -1 0 1 2 3-1 / 1 从函数值对应表可以看到，当自变量从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数相应的两个函数值也是一对相反数. . 例如：对于函数例如：对于函数 f(x)=x，有：有： f(-3)=-3=-f(3); f(-2)=-2=-f(2); f(-1)=-1=-f(1). 实际上，对于函数实际上，对于函数f(x)=x定义域定义域R内任意的一个内任意的一个x ，都有，都有f(-x)=-x=-f(x).这时我们称函数这时我们称函数f(x)=x为奇函
5、数为奇函数. . 同样我们也能说明函数同样我们也能说明函数f(x)= 也是奇函数也是奇函数. .（3 3）能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？）能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？ 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.定义定义2 2注意：注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。体性质。 2、由函数的奇偶性定义可知，函数若、由函数的奇偶性定义可知，函数若具有奇偶性具有奇偶性,对于定义域内的任意一对于定义域内的任意
6、一个个x，则，则x也一定是定义域内的一个也一定是定义域内的一个自变量（自变量（即定义域关于即定义域关于原点对称原点对称）3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x)有成立有成立. .2.奇偶函数图象的性质: 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对
7、称轴对称,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：注：奇偶函数图象的性质可用于： .判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。 .简化函数图象的画法。简化函数图象的画法。. 求函数的解析式求函数的解析式 .判断函数的单调性判断函数的单调性3.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立. 例如，函数例如，函数 都是偶函数，它都是偶函数，它们的图象分别如图们的图象分别如图（1 1）、（）、（2 2）
8、所示所示. .例例1 1 判断函数判断函数f(x)=x3+x的奇偶性的奇偶性. . 课堂练习课堂练习1.1.已知已知f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充是奇函数，试将下图补充完整完整. .2.2.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：00yxf(x)yxg(x)例例2 2 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性. . （2 2）因为函数因为函数f(x)=x2-4的定义域是的定义域是-9,10-9,10，所以所以f(x)无无奇偶性奇偶性. .例3、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解
9、：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数达标练习达标练习（1 1）已知）已知f(x)=x5+bx3+cx且且f(-2)=10(-2)=10，那么那么f(2)=(2)=（ ） A.-10 B.10 C.20 D.A.-10 B.10 C.20 D.与与b,c有关有关（2 2）下面四个命题中，正确的个数是（）下面四个命题中，正确的个数是
10、（ ） 奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图偶函数的图象象关于关于y y轴对称；轴对称； 奇函数的图奇函数的图象象一定过原点；一定过原点； 偶函数的图偶函数的图象象一定与一定与y y轴相交轴相交. . A.4 B.3 C.2 D.1A.4 B.3 C.2 D.1（3 3）如果定义在）如果定义在3-3-a,5,5上的函数上的函数f(x)为奇函数，那么为奇函数，那么 a=_.=_.(4)(4)判断函数的奇偶性：判断函数的奇偶性： AC1 是偶函数，2是奇函数，3、4无奇偶性.8注意：奇函数在对称区间，同增减；偶函数在对称区间，异增减。例4：定义在R上的偶函数f(x)在(
11、-,0)上是单调递增的，若f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3)，实数a的取值范围.练习：1、如果奇函数f（x）在区间3,7上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间-7,-3上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5B.C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5B思考题：思考题：函数函数y5是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数 ？函数函数y0是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数 ？YYYYxx偶函数偶函数是偶函数也是奇函数是偶函数也是奇函数知识探究知识探究思考思考1:1:是否存在函数是否存在函数f(xf(x) )既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有
12、何特征？若存在，这样的函数有何特征？f(xf(x)=0)=0思考思考2:2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？思考思考3:3:若若f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，那么上的奇函数，那么f(0)f(0)的的值如何？值如何？f(0)=0f(0)=0奇函数奇函数 说明：根据奇偶性说明：根据奇偶性, 偶函数偶函数 函数可划分为四类函数可划分为四类: 既奇又偶函数既奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数小结小结 本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性的方法。奇偶性的方法。（先看定义域是否关于原点对称后，再看（先看定义域是否关于原点对称后，再看f(-x)和和f(x)的关系，的关系，f(-x)=f(x）偶，偶，f(-x)=-f(x)奇）奇）. .
