历届全国初中数学联赛真题及答案

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1、1991年全国初中数学联赛试题一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了( A)、( B) ( C )、(D)四个答案结论，其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1 . 设等式J a ( x-a ) + a ( y- a ) = 4 x-a - / a - y在实数范围内成立, 其中a , x, y是两两不同的实数，则号上找二4的值是x -xy + y53( A) 3 ； (B )- ；3( C ) 2 ；( D )2 .( A)( C )如图，AB HEFH C D,已知/ 生2 0 ,缁8 0 ,答 (除1 0 0 ,那么) 的值是( A)1 0 ；1 6 ；(

2、 B) 1 2 ；( D ) 1 8 .答 (方 程 / 一 闪i =o的解是1 V5( B)-1 + V53 .2)2(C)上立或二 1 域 ; ( D ) 二1土 .2 2 2答 () 1 1 _ _ _ _ _4 . 已知：x =-( 1 9 9 1n-1 9 9 1 ) ( n 是自然数) . 那么( x - J i + / ) ,的值是( A ) 1 9 9 T1；( B ) - 1 9 9 T1；( C ) ( 1 ) ( 9 9 1 ；(D ) ( 1 ) ( 9 9 1答 ( )5 . 若I x 2 x 3 x x 9 9 x l 0 0 = 1 2 M ,其中Af为自然数，n

3、为使得等式成立的最大的自然数，则”(A )能被2整除，但不能被3整除；(B )能被3整除，但不能被2整除；(C)能被4整除，但不能被3整除；(D)不能被3整除，也不能被2整除.答 ()6 . 若 a, c, d是整数， 是正整数，且满足a + b = c, b + c = d , c + d = a,那么a + /? + c + d 的最大值是(A ) -1 ； (B ) - 5 ； (C ) 0 ； ( D ) 1 .答 ( )7 . 如图，正方形。 河/ ?内接于A /8 c .已知川林比 和ACRQ的面积分另是 S = 1, $2 = 3 和 S3 = 1，( A) V2 ； ( B )

4、 省 ；( 0 2 ；8 . 在锐角A 4?。 中，AC = ,1，则( A) 1 c 2； (D) c = 2.答 ( )二、填空题1 .后是平行四边形/ 四中a1边的中点，力 交对角线放于G ,如果A8%的面积是1 , 则平行四边形/ 比的面积是.2 . 已知关于x 的一元二次方程公2+以 + 。 = 0 没有实数解. 甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2 和4 ；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为一1和4 , 那么,2。 + 3ca3 . 设加，n, p, q 为非负数，且对一切x 0 , 出 土 - 1 = 回土也恒成立,xn xq则(m2 +2 + p)2q =4 . 四边

5、形/ 时中，Z 460=135, / BCD= 128 , AB=娓 ,BC=5-43 ,CD = 6 , 则 AD =A135120D第二试x + y , x - y, x y ,Xy四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对( x , y ) .二、力旗中，AB AC M ( B) A = M ( C ) A M ; ( D ) 不确定.3 . 若/ _ I3 x + 1 = 0 , 则d + 的个位数字是( A) l; ( B) 3 ; ( C ) 5 ; ( D ) 7 .答()4 . 在半径为1 的圆中有一内接多边形， 若它的边长皆大于1 且小于0,则这个多边形的边数必为

6、(A ) 7 ; (B ) 6 ; (C ) 5 ; (D ) 4 .答( )(C)S, S2 (D)不确定 答( )6. 在一个由8x8个方格组成的边长为8 的正方形棋盘内放一个半径为4 的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S”把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为s2， 则含的整数部分是8. 设玉, %2，X 3,， 苑均为正整数， 且X1 x2 x9 , + %2 + + %9 = 220， 则当 X + %2 + + 85 的 值最大时, 苍- 王的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)ll.答( )二. 填空题1 .若一等腰三角形的底边上的高等

7、于180,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于.2 . 若x 0 0,则Vl + x2+x4-7 i77的最大值是.x3 . 在A43C中, NC = 90,NA和ZB的平分线相交于P 点，又P EiAB于E 点，若 8C = 2, A C = 3, 则 AE EB=.4 . 若 都 是 正 实 数 ，且L L _L=o ,则(2 ) 3 + (q ) 3 =a b a + b- - v_J l第一试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程/ 6 x + a = 0 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在A A 8 C 中，A 8 = A C , 。是底

8、边8 C 上一点，是线段A 。上一一 厂 A点，且 ZB ED= 2ZC ED = Z A . 鼠求证：B D = 2C D. / 三、某个信封上的两个邮政编码M 和 N均由0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A： 3 2 0 6 5 1C ： 6 1 2 3 0 5B ： 1 0 5 2 6 3D： 3 1 6 2 5 0已知编码A、B 、C 、D各恰有两个数字的位置与M 和 N相同. D 恰有三个数字的位置与M和 N相同. 试求：M和 N .第一试一. 选择题本题共有8 个小题， 每小题都给出了(A ) , (B ) , (C ) , (D )

9、四个结论, 其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1 . 多项式” 一一 +1 除以，一 1 的余式是(C ) x- l;(D ) x + 1 ;2 . 对于命题I . 内角相等的圆内接五边形是正五边形.I I . 内角相等的圆内接四边形是正四边形， 以下四个结论中正确的是(A) I , n 都对 (B) I 对， n 错 (c ) I 错， n 对 .(D) I , I I 都错.3 . 设x 是实数， y = | x- 1 | + 卜+ 1 | . 下列四个结论：I . y 没有最小值；I I . 只有一个x 使y 取到最小值；I I I . 有有限多个x (不

10、止一个) 使y 取到最大值；I V . 有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A) I (B) II4.实数玉, 彳2 ， % 3 ， % 4 ， % 5满足方程组(OIII(D)IVX 1 + % + %3 = 4 ；x2 + x3 + x4 =。2 ； 。2 。3 。4 。5， 则斗， .， 了3，Z， 工5的大小顺序是(A) % ) x2 x3 x4 x5 ; (B) x4 x2 x3 x5 ;(C) x3 x, x4 x2 x5 ; (D) x5 x3 X j x4 x2.5 .不等式X-l ，XlX2 0-( 1 )求证： 尤| 。 , 2 0 ， x ； 0, % 2 0

11、；求证:8 -1 W c WE + 1 ;( 3)求。 ， 。 所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试（ 4月 3 日上午8 ： 309： 30）考生注意：本试共两道大题，满分80分 .一、选择题（ 本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A , B、C, D,四个结论，其中只有一个是正确的， 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（ 不论是否写在圆括号内） ，一律得0分 .1 .若0 a l ,则 / a2+42 ( 1 + -) XV a a1可化简为A.汜 B.福 C. 1 -a2 D , a2-

12、l（ 答）（)2 .设a, b , c是不全相等的任意实数，若x =a2 -b c , y =b 2 -c a, z =c 2 -ab i j x , y , zA.都不小于0 B.都不大于0C .至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 （ 答）（ ）3 .如图1所示，半圆。的直径在梯形A B C D的底边A B上，且与其余三边B C, CD , D A相切，若B C=2 , D A = 3 ,则A B的长A.等于4 B.等于5C .等于6 D.不能确定（ 答）（）4 - 当 x = 1 + * 9 吧 时 , 多项式3 1 9 9 7 x 1 9 9 4 ) 2 0 0 1的 值 为A. 1

13、 B. -1 C. 22001 D. -22001（ 答）（）5 . 若平行直线EF, MN与相交直线AB, CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A. 4对B. 8对C. 12对 D. 16对（ 答）（）6 . 若 方 程 斤 ？ = 乂有两个不相等的实根，则实数P的取值范围是A . p 0 B . p V ：C . 0 p D .（ 答）（）7 .设锐角三角形ABC的三条高AD, BE, CF相交于H 。若BC=a,AC=b,AB=c， 则AH - AD+BH - BE+CH - CF的值是A - - + 1c + ca) D . (a2 t2 c2) / 代 、3 3 l 合 J(

14、)8 . 若a x = b = 1 9 9 4 2。 其 中a , b是 自 然 数 ). 旦有 工 +工 = 工 ， 贝U 2 a + b的 一 切 可 育 昌 的 甄 值 是x y zA. 1001 B. 1001,3989C. 1001,1996 D. 1001,1996,3989 （ 答）（ ）二、填空题（ 本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.1.若 在 关 于X的 , 宣 等 式+ JSTx2 + x 22 cx + a x + b中.三三为最曾分式.且有a b . a + b = c. 则 Z2 .当 |x + l | 6 时 ， 函 数 y = x

15、|x | - 2x + 1的 最 大 值是 .3 . 在aABC中， 设AD是高， BE是角平分线， 若BC=6, CA=7, AB=8,则 DE=.4 . 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大 圆 形 纸 片 的 最 小 半 径 等 于 .第二试（ 4 月 3 日上午 1 0 ： 0 0 1 1 ： 30 ）考生注意：本试共三道大题，满分60分 .一、（ 本题满分20分）如图所示，在a A B C 中，A B = A C . 任意延长C A 到P,再延长A B 到Q ,使A P = B Q . 求证： A

16、B C 的外心O 与A , P , Q 四点共圆。二、（ 本题满分20分）周长为6 , 面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？某次数学竞赛共有1 5 个题. 下表是对于做对n （ n = 0 , 1 , 2 , , 1 5 ） 个题的人数的一个统计.做对n 个 题 的 人 数7 81 2 1 3 1 4 1 51 0 2 1 . . . 1 5 6如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对1 0 个题和1 0 个题以下的学生每人平均做对4 个题. 问这个表至少统计了1994年全国初中数学联赛试题第一试（ 4月 3 日上午8: 309

17、： 30）考生注意：本试共两道大题，满分80分。一、选择题（ 本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A, B 、C, D , 四个结论，其中只有一个是正确的， 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（ 不论是否写在圆括号内） ，一律得0分。1 . 若。则 卜 + = 一 2 + 1 + 4 卜上可化简为（）I Cl Cl I 2 2 1A.- B.- C. l - a2 D . a2-Il+Q Q+l2 .设a , b , c是不全相等的任意实数，若1 =。2一A ，y = b2-ca ,Z =- a b ,贝|

18、J X , y , Z ( )A.都不小于0 B.都不大于0C.至少有一个小于0 D.至少有一个大于03 .如图1所示， 半圆。的直径在梯形A8CO的底边A 5上，且与其余三边BC, CD, 相切，若 BC = 2, DA = 3 ,则 AB 的长（ ）A.等于4 B.等于5C.等于6 D.不能确定4 .当龙=匕 半 里 时 ，多项式（ 4 1 1997X-1994广 ” 的值为（)A . 1 B . -1 C. 22001 D . -220015.6.若平行直线 ，A7N与相交直线AB, CO相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A . 4对 B . 8对C. 12 对 D . 16 对若

19、方 程 产 万 = % 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ，则实数p的取值范围是（ ）A . /? 0 B. /? C. 0 p 4 4 47.设锐角三角形ABC的三条高AD, BE,C F相交于若BC = a,AC = b, AB = c ,则4 /7 4 5 + 6 ” 8 +。 ” - 仃的值是( )A . ab+ bc+ ca)2/ , 、C. yab+bc+ca)B.D .l(2+C2)I +巧, 1 1 18 .若 = = 1 9 9 4 2 （ 其中 ）是自然数，且有一+ 一 = 一，则2a + x y z的一切可能的取值是（A . 1001)B. 1001, 3989C. 1

20、001, 1996D . 1001 , 1996, 3989二、填 空 题 （ 本题满分32分，每小题8分 ）各小题只要求在所给横线上直接填写结果。十” 一Lq M x + N 2 c . M x + N “ 目. 八1 .若在关于元的恒等式f- - - - - =- - - - - - - - - - - -中，F -为最简分x + x - 2 x+ a x+ b x + x - 2式，且有Q。 ，a + b = c ,则=.2 .当|x + l| 6时，函数y = x|M 2 x + l的最大值是 .3 .在 ABC中， 设AO是高， 郎是角平分线， 若BC = 6, C4 = 7 , 4

21、 3 = 8,则 OE=.4 .把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上， 使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的 最 小 半 径 等 于 .第一试（ 4月 3 日上午 10： 0011： 30）考生注意：本试共三道大题，满分60分。一、（ 本题满分20分）如图所示，在ABC中，A3 = A C。 任意延长C 4到P ,再延长AB到。，使A P=B Q。求证：A3C的外心。与A, P,。四点共圆。二、（ 本题满分20分）周长为6 ,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、( 本题满分20分)某次数学竞

22、赛共有15个题。下表是对于做对n(n=0, 1, 2 , ，15)个题的人数的一个统计。如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？n0123.1.2131415做对n 个题的人数78U)21.1.56311994年全国初中数学联赛参考答案第一试答案一、选择题；小 题 号 12345678答案 ADBBDCBC二、填空题：1.4 216 3. 竺 4 131第二试提示及答案。一、连结OA, OC, OP, OQo 证明OCP2 a O A Q ,于是NCPO=NAQO,所以O, A, P, Q四点共圆

23、。二 .这样的三直角三角形存在，恰有一个.两条直角边为F与 之 ?，斜边为g三、这个表至少统计了200人。1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1.已知a = 355,b = 444,c = 533,则 有 A . a b c B . c b a C . c a b D . a c b2 . 方程组 芍 + 汨 = 6 3, 的正整数解的组数是 x z - y z = 2 3A . 1 B . 2 C . 3 D . 43 . 如果方程( x 1) ( x 2 2 x m ) = 0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是 A . O 则 A . MN B . M =

24、 N C . MN D . M、N 的大小关系不确定6 .设实数a、b满足不等式I I a I - ( a+ b) I 0J L b 0B . aV O且b 0C . a 0且bV OD . aV O且bV O二、填空题1 .在12 , 2 2 , 3 2 ，9 5 2 这9 5 个数中，十位数字为奇数的数共有个。2 . 已关口 a是方程4 = 。的 布 艮 ， 贝U4入+ a:，1的值等于_ _ _ _ _ _ _ - a*3 .设x为正实数，则函数y = xa - x +工的最小值X是_ _ _.4 .以线段A B 为直径作一个半圆，圆心为O, C 是半圆周上的点，且OC2= A C -

25、B C , 则NC A B = .弟 一 可、已知NACE=NCDE=90， 点B在CE上， CA=CB = CD,经A、C、D三点的圆交AB于F ( 如图) 求证F为4CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数y = -裔 + |的图象上找出满足y I x I的所有整点(x, y),并明理由。三、试证：每个大于6的自然数n , 都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。199/ 全 国 初 中 数 学 联 褰 试 题第一试一、选择题1 . 已知a=355,b=4M ,c=533,则 有 A. a b c B. c b a C. c a b D. a c

26、b2 .方程组7+ = 63的正整数解的组数是xz - yx = 23（A. 1 B. 2 C. 3 D. 43 .如果方程仪- 1） 伏22*01） = 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（ ）A O M m M l B . m N ?33U - m M 1 D -M tn M 1AA4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一扇，那么此圆的周长为A. 62 兀 B. 63 x C. 64 兀 D. 65 兀5. 设AB是0 0 的一条弦，CD是0 0 的直径，且与弦ABt目交，记乂= I S /A B-SADAB I , N=2SAOAB,则 】A.

27、 NAN B. M =N C. M N D. M、N的大小关系不确定6 . 设实数a、牖 是 不 等 式 I I a I - （ a+b） I 0且b0 B. aVO且b0C. 20且10 D. 20二、埴空题1 . 在 I2, 2M 32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个.2 .己知a是 方 程 x + x - ： = 0 的 根 ，则3 . 设x为正实数，则函数y = x -x + 的最小值X是.4 .以线段AB为直径作一个半圆， 圆心为O, C是半圆周上的点,且OC2=AC BC,则 NC AB = .第二试一、 已知 NACE=NCDE = 90 , 点说ECE上，C A

28、 =C B =C D ,经A、C、D三点的扇交AB于F ( 如图) 求证F为CDE的内心.二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的 点 称 为 整 点 .试 在 二 次 函 数y =磊-堤+ 三的图象上找 出 满 足y I X I的 所 有 整 点(x, y).并 明 理由.三 、试证：每个大于6的自然数n , 都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.199炜全国初中数学联褰参考答案第一试一、选择题1 .讲 解 ：这类指数幕的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c=(53)n=125n24311= (35)11= a 1。三根能作为一个三

29、角形的三边，须且只须I x1一X2 I V I又I XJ- XJ I = = 4 - 4 m- l ,I a I有 0W4- 4mV 1.解得A但作为选择题，只须取m记代入.得方程的根4为1. 不能组成三角形,故包括之的A. B.2 2 4D均可否定.选C.4 . 讲解：四个选择支表明，I I 的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一.又W +AD2=252+602= 52X (52+122)= 52X132= (32+ 42)X132=392+522=BC2+CD2故可取BD=65为直径，得周长为65兀，选D.5 .讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的.比如

30、有的考生取AB为直径，则M = N = O ,于是就选B . 其实，这只能排除A、C , 不能排除D.图2不失一般性，设C EM ED ,在CE上取C F = E D ,则有O F = O E ,且S AC - SADE=SAA E F=2SAAO E-同理，SABCE- SABDE= 2 SA B O E -相加，得$ 也ABC-SA D A B=2SA O A B ,即M =N 选B.若过C、D、8 别作A B的垂线( 图3 ) , C E _L A B、D F _L A B、OL A B ,垂足分别为E、F、L .连C F、D E ,可得梯形C E D F .又由垂径分弦定理，知L是E

31、F的中点. 根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有I C E - D F I = 2 0L .两边乘以g A B ,可得I I =即乂=2选B .6.讲解：取a= - l、b= 2可否定A、C、D,选B .一殷地，对已知不等式平方,有I a I ( a+ b) a I a+ b I .显 然I a I I ( a+ b) I 0( 若等于0,则与上式矛盾) ，有a + b aI a +b I l ai ,两边都只能取1或- 1，故只有1 - 1,即_ d _ = i , -2_ = - i ,Ia+bl l a i有aV O且a+ b 0,从而b -

32、a 0.选B .二、填空题1 .讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试脸现察的能力. 经计算24 ，102 ,知十位数字为奇数的只有42 = 16, 62 = 3 6.然后，对两位数10a+ b,有( 10a+ b) 2 = 2 0a ( 5 a+ b) + b2 .其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b= 4或6时 ，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1, 2, 9 5中个位数出现了几次4或6,有2 X9 + 1 = 19 .2 . 讲解：这类问题一般都先化蔺后代值，直接把a=无代入将导致复杂的计算.由已知，有a + a= ( , 原 武 =年 虻 抨a3(

33、a- D ( a+ 1)2一中中= 1 = 2。 .( aa+ a)a ( )学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确， 最后又不会将a2+a作为整体代入. 这里关健是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活. 比如，由有a3 + a2 = 4aS + a，= M 4由一，得aJ-a = - ( a - 1 ) . 4由一并将代入，得a,+ a* -a - a，m (a, _a)= -4(a -l).4 16于 是 , 原 式 二1- = 16(a，+ a+1)=16(1 + 1)=20.还可由得a2 + a+ 1= ?,4 即得所求.3 . 讲解：这个题目是将二次函数y= x2-x与反比例函数y

34、 = 工作叠加. 要求学生在掌提二次函数求最值X( 配方法) 的基础上，做综合性与灵活性的运用.进行两次配方：y= ( x -1)2 + ( -+ 11,1忑拗= ( x 2 - l ) ( x - 1 ) + .因而x = l时，y有最小值1.4 . 讲解：此题由笔者提供，原题是求sinZ C A B ,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75sinl5 . 解法如下：图5首先NAGB=90.进而8 =：A B ,代入已2知条件，有（ 1AB）2 =A C* BC, 与 A B 2= A B 2+A C2 联立，可推出AC + BC= J |AB. 而式、表明，AB、A

35、C是二次方程X2- 4A B x + 岁 =0的两个根,解得1* 1 4当B C =声卡 : AB时,4anNCAB=器= 在中区(NCAB = 75* )i当B C =必 ) 、 /AB时,4anZCAB=震 =包卷(NCAB= 15。 ) .AB 4改为求NCAB之后，思路更宽一些. 如，由S c = jA C -B C = 1 0 CJ,SA“C = 2S“C = 2 10C3sinZA0C.得sinNAOC= g .当NA0C=3(f 时 .ZCAB= (180, -3 0 , )-75, 当N A 8=15(T 时.NCAB= g(1800 -150, )15*第二试一 、讲解：首先

36、指出，本题有IMO29-5 （ 1989年 ）的背景，该题是：在直角ABC中，斜边BC上的高，过aABD的内心与也人的内心的直线分别交边AB和AC于 廊 L, AB询 AKL的面积分别记为S和T . 求证2T.在这个题目的证明中，要用到AK =AL=AD.今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD（ 斜边上的高） ，再求证KL通过ADC的 内 心 （ 图7） .其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：具一，连FC、FD、F E ,然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线般相等. 下面是几个有代表性的证法.证法1：如图6 , 连D F ,则由已知

37、，有ZCDF=ZCAB = 45* = IZ C D E .故DF为2NCDE的平分线.连BD、C F ,由 C D = C B ,知NFBD=NCBD-45= NCDB-450 =NFDB,得F B = F D ,即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等膜三角形CBD的顶角平分线上，CF是 NECD的平分线.由于F是口）上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心.证法2： 同证法1 ,得出NCDF=45 =90 45 =NFD E之后，由于NABC=N F D E ,故有B、E D、F四点共扇. 连E F ,在证得NFBD=NFDB之后， 立即有N FED =N FBD

38、 =N FD B =N FEB ,即EF是 NCED的平分线.本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共同把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.由这个证明可知，F是也阻的外心.ZCDF = ZCAB = 45* = g/C D E .知 DF 是NCDE的平分线. 故F为CDE的内心.证法4：如图8 , 只证CF为NDCE的平分线. 由NAGC=NGBA+NGAB=45 + N 2,ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB-Z1=450 +Z1得 N 1=N 2.从而 NDCF=NGCF,得CF为NDCE的平分线.证法5：首先DF是 NCDE的平分线

39、，故 CDE的外心I在直线DF上.现以CA为、 轴 、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函数V=-x+d 的图象( 图9 ) . 若记内心I的坐标为(xp y i) , 则x i+ y i= C H + 田=CH+HB=CB=d满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点. 由交点的唯一性知I就是F , 从而证得F为RtaCDE的内心.还可延长E眩。O于P i，而CP为直径来证.二、讲解：此题的原型由筐者提供. 题目是：坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点.对二次函数y = g x 2 + g x -1 9 9 5 ,请找出其位于第一冢限内，

40、纵坐标小于横坐标的格点.这个题目的实质是解不等式l 1 x3+ x-19959时，由1 11、2 49,、1 rzA 1P 49,y - x = ( x - 一一 一(9 1 = 10“ 1 410、 2 40 ,知y -x ,再 无 满 足 1 x 1的解.对x 0 ,取x = -1,-3,-6,-8,顺次代入,得( 3, 3)、(6 6 ) ,且当x - 6 + )a - - = O.10 4 ， 4J知卢- x , 再无满足yW I x I 的解.故一共有6个整点，图示略.解法3：先找满足条件y= I x I 的整点，即分别解方程x2- llx+18=0 X2+9X+18=0 可得(2,

41、 2)、(9, 9)、(-6, 6)、(-3, 3).再找满足y6m，在2, 3 , ，n -2 中,A与 匹 质 (2W AW n-2 ) ,记B=n- A 2,有 n=A+B.此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d l, 则d也是n的约数,大于1的公约数，与A、n互质矛盾.但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽冢，下面分情况,出来.(1)当n为奇数时，有n=2+(n2),或 三+啜(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有cn- -n-l +I n+4*必有一个数从而A与n有把它具体找由n6知n - 4n - 4 .n + 42 2 1 ,且 等 . 宁 均 为 奇 数 .5 = (哈，

42、4)=1.（ 3） 当n为偶数，且又是4的倍数时，有_ n - 2 4_ n+ 2n -丁+ 工,由n6知 用2 1 ,且石2、号2均为奇数.（ 宁，导） = （用2 , 2） = 1.1996年全国初中数学联褰试题第一试一 、选 择 题 （ 本题满分42分，每小题7分 ）1 .买足ab = 1, I己M = - + - ,1+a 1+bN=， 一+ 一 一 ,则M、N的关系为 （J1+a 1+bA . J O N B . M = N C . M 0,且419 9 5 x 3 + 19 9 6y 3 + 19 9 7 / = V 19 9 5 + V 19 9 6 + V 19 9 7 .贝

43、lj L +工= .x y z - - - - - -4 .如图，将边长为1的正方形A B C D 绕蛙按逆时针方向旋转60至A B C ，D ，的位置，则 这 两 个 正 方 形 重 叠 部 分 的 面 积 是 .第二送一 、（ 本题满分20分 ）某 校 在 向 “ 希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9 个男人和n 个女生的捐款总数相等，都是（ m - n W m + n n + 145 ） 元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.二 、（ 本题满分25分 ）设凸四边形A B C D 的对角线A C 、B D 的交点为M , 过点M 作A D

44、 的平行线分别交A B 、C D于点E 、 F , 交B C 的延长线于点0, P是以0为圆心0M 为半径的圆上一点（ 位置如图所示） ，求证：Z 0PF = Z 0E P.二 、（ 本题满分25分 ）已知a、b、c都是正整数，且抛物线a+ bx + c与x 轴有两个不同的交点A 、B ,若A 、B 到原点的距离都小于1 , 求a+ b+ c的最小值.19 9 6年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1. B 2. A3. B4. D 5. A 6. C二、埴空题第二试解据题意m+ll=nW ,整除mn均m+lln+145,而mn+9m+lln+145= (m+11) (n+9) +46,

45、故m+11, nW部整除4 6 ,由此得尸 二 产 或 在 0 时，得每人捐款25元，在n = 14 n = 37 时 , 每 人 捐 款47元.综上可知，每人捐款数为25元或47元.证 作 AD、B0的延长线相交于G ,0EIl G A .，在/XCGA中 有 患 =黑，且在ZXBGA中.OM GD . M,X M= .由此得OE GAOM二 寮 . 而 OM是圆O的 半 生等于 OP. . 原 =黑. r. POFsZPOE .J. N OPF= NOEP.三、解 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在( 1, 0) 中，故a b + c 0 , 0 ，可见a -ba+ c l

46、 ，且ac . 所+ c b + 125/ + 1，可得(V-由得+ /.aO4 , 又b 2 疝 2 房1 4 . 现分别取a、b、c的最小整数5, 5. 1.经检验，符合题意， . a+b+c=l：l最小值1997年全国初中数学联赛试题第一试一 . 选择题本题共有6小题， 每一个小题都给出了以（ A） , （ B） , （ 0 , （ D）为代号的四个答案， 其中只有一个答案是正确的. 请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.1.下述四个命题（ 1）一个薮的倒数等于自身， 那么这个数是1;（ 2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（ 3）。2的平方根是士朴；（ 4）大于直角的角一定是钝

47、角.（ A） l 个 （ B） 2 个； （ 0 3 个； （ D） 4 个.答 （）2. 已知 屋 一布 +也, 那么满足上述不等式的整数X的个数是（ A） 4;(B)5;(06;（ D） 7.答 （）答 （） X 2 ,方程3 x2+ 3 ( a+ A ) x + 4ai = 0的两个根a,户满足关系式+ 1) + 产( 2 + 1) = ( a+ 1) ( + 1)试求所有的整数点对( 。 力) .三. 已知定理： “ 若三个大于3的质数,a,瓦c满足关系式2 a + %=c， 则a+ 5 + c是整数n的倍数”. 试问: 上述定理中的整数n的最大可能值是多少? 并证明你的结论.19 g

48、 8 年全国数学联赛试卷一、选择题：（ 每小题6 分，共 3 0分 ）1、已 知 & 、方 、c都是实数，并且以8 c ,那么下列式子中正确的是（）( A ) a b b c ( B ) a + b b + c ( C ) a - b b - c ( D )-2 、如果方程V+px + l = 0 ） 的两根之差是i , 那么p的 值 为 （）（ A） 2 （ B） 4 （ C）石（ D） 7 53 、在A B C 中，已知B D 和 C E 分别是两边上的中线，并且B D _L C E , B D = 4, C E = 6, 那么A B C 的面积等于（）（ A） 12 （ B ） 14 （

49、 C） 16 （ D） 184、已 知 。 灰 。0 ,并 且 二 = 二 = 上 百 =p ,那么直线y= px+p一定通过第cab（）象限（ A） 一、- （ B）-.三 （ C ）三、四 （ D ）一、四9 x a 05 、如果不等式组 ， 一八的整数解仅为1, 2 , 3 , 那么适合这个不等式组的整数a、S x - b 0及p 2 , 设X , X2 为方程的两根，那么有X + x 2 = - P，X X2 = 1. 又由&户 2 ） 2 = （X 1+ x 2 ）2- 4x p 2 得 _2 = （ _p ） J 4. . . p2= 5 p = 7 5 （ p 2 ）.故选D .

50、3 . CBC如图连ED,则S( j3为BCDE =* CE - 12.又；DE是 ABC两边中点连续.4 4, SABC = jaiaBE = q x 12 - 16.故选C.4. Ba b pc,由条件得， b + c , p a , 三式相加，a + c pb.得 2(a+b+c)=p(a+b+c).有p=2或a+b+c=O.当p=2时，y=2x+2.则直线通过第一、二、三象限.当a+b+c=O时，不妨取a+b=-c,于是a + bp - - -1. (c 力 0)c .y = -x -l,则直线通过第二、三、四冢限.综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B.5. C由原不等式

51、组可得y o在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图不难看出3 | 4 .9o由得0 a 9,.a=l, 2, 39 , 共9个.由 3 孩 4 得 3X8b + 20.当x = 6时 ，AIB2V5最小.三 、解答题1 1 .解法1过C作C D _L C E与E F的延长线交于D , / Z A B E + Z A E B = 9 0 ，Z C E D + Z A E B = 9 0 ,. , . Z A B E = Z C E D .于是 R t Z kA B E s / i i C E D ,. zCE j 1 CE AB .SA M AB，4 CD AE又NE C XND C A

52、 45 ,所以，C F是ND C E的平分线，点F | C E和C D的距离相等. S&CEF CE -= -= 2SA CED F CD2 2 1S& CEF jACDE g X2 * 1 x 13 4 2Sc-24-1 2 .解( 1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程x + ( 2 a + l ) x + 2 a + ? = 0有两个相等买根，于是4 (2a 1)J -4(2a + ) - 0 ,即a? - a - 1 3 0.1土石. .a - -.2( 2 )由( 1)知，a2 = a+ l ,反复利用此式可得a4= ( a+ 1)2= a2+ 2 a+ l = 3 a+

53、 2 ,a8= ( 3 a+ 2 )2= 9 a2+ 12 a+ 4= 2 1a+ 13 ,a1 6= ( 2 1a+ 13 )2= 441a2+ 5 46a+ 169= 9 87 a坨10.a1 8=(98?a410)(a+1) =987a2+1597a-10=2584a+1597.57 a 4 = 7- = 、 = - - - - - - - - - -? a V (3a + 2)(a - 1)1 8a + 5,a2-a-l=0 .,. 64a2-64a_65=- 1 艮R(8a+5) (8a-13)= -l.a1 8+323a6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.1

54、 3 .解(1 )由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x, x, 1 8 -2 x ,发往E市的机器台数分别为10-x, 10-x, 2 x -1 0 .于是W=200x+300x+400(18-2x)-0 0 (10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200.又卜 (1 8 -2 x 8 , ,1 5 x X+T1 0 于是W=200x-00 (10-x)+300jH-700 (10-y)+400 (19-x-y)+500 (x+ylO)=-5OOx-3OOy-172OO0x10.又， 0y 10.01 8 -x -y 8 .0x10./. 0y 10

55、.yClS.W=-500x-300y+17200,0x10.且，0y10, (x. y为整数)10x+y-200 X 10-300 X 18+17200=9800.当x=10, y=8时，W=9800.所以，W的最小值为9800.又W=-200x-300(x+y)+17200=5-200X 0-300X 10+17200=14200.当x=0, y=10时，W=14200,所以，W的最大值为14200.19 9 9年全国初中数学联合竟赛试卷第一试（4月4日上午8 : 3 09 : 3 0）考生注意：本试两大题共10道小题，每 题7分 . 全 卷 满 分7 0分.一、选 择 题 （ 本题满分4

56、2分，每小题7分 ）本题共有6个小题，每小题都给出了（ A ）、（ B ）、（ C ）、（ D ）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号 内 . 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（ 不论是否写在圆括号内），一律得0分.1_2_+ _+ _、计 算 一 出 】 +Si +百 的 值 是（ ）.（ A ） 1； （ B ）1； （ C ）2 ； （ D ）2 .2、 A B C的周长是2 4, M是A B的中点，MC=MA=5则Z kA B C的面积是（ ）.（ A ） 12 ； （ B ） 16； （ C ） 2 4； （ D ） 3 0

57、.3、设8 & ,将一次函数）与 ） = 公 + 的 图 象 画 在 同 一 平 面 直 角坐标系内，则有一组区力的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）.( A )( B )( C )( D )j = - （ x2 -100A +196+1 x2 -lOOx +196|）4、 若函数 2 , 则当自变量X 取 1、2 、3 、100这 100个自然数时，函数值的和是（）.（ A ） 5 40； （ B ） 3 9 0； （ C ） 19 4； （ D ） 9 7 .5 、如图，在等腰梯形 A B C D 中，A B D C , A B = 9 9 8, D C = 1001, A D =

58、 19 9 9 , 点 P 在线段A D 上，则满足条件NB PC = 9 0 的点P 的个数为（）.题一 5图（ A ） 0； （ B ） 1； （ C ）2 ； （ D ）不小于 3 的整数.6、 有下列三个命题： 砰 ） 若 以是不相等的无理数， 则 M + a - Z ? 是无理数； o ）a - B若 a ， 0 是不相等的无理数，则以”是无理数； （ 丙 ）若 aS是不相等的无理数，则 而 + # 耳 是无理数。其中正确命题的个数是（）.（ A ） 0； （ B ） 1； （ C ）2 ； （ D ）3 .二、埴 空 题 （ 本题满分2 8分，每小题7 分 ）本题共有4 道小题，要

59、求直接把答案写在横线上.b +c (b -c )2 = (a -b )(c -a )1、已 知 4 且 a ， ,则a2 、如图，在 中，NB = 3 6 , Z A C B = 12 8 . NC A B 的平分线交 B C 于 M , A A B C的外接圆的切线A N交 B C 的延长线于N , 则 色 丽 的 最 小 角 等 于 .工 , 1 1 + 1 a b _L + _L 33 、已 知 为 整 数 ，且 满 足a b a b / 从，则 a +b =4在正方形A B C D 中, N 是 D C 的中点, M 是 A D 上异于D的点， 且NNM B = Z M B C , 则

60、 t g NA B M题二4图第 二 试 （ 4 月 4 日上午10: 0011: 3 0）考生注意：本试三大题，第一题2 0分，第二、三题各2 5 分，全卷满分7 0分.一、 （ 本题满分2 0分 ）某班参加一次智力竞赛， 共 区 友 。 三题， 每题或者得满分或者得。 分. 其中题&满分2 0分，题 6、题 C 满分分别为2 5 分. 竟赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15 人，答对题& 的人数与答对题 的人数之和为2 9 , 答对题a的人数与答对题, 的人数之和为2 5 , 答对题A 的人数与答对题C的人数之和为2 0, 向这个班的平均成绩是多少分？

61、二、 （ 本题满分2 5 分 ）如图，设 A B C 是直角三角形，点 D 在斜边B C 上，B D = 4D C , 已知圆过点C 且与A C相交于F , 与 A N相切于A B 的中点G .求证：A D B F .题二图三、 （ 本题满分2 5 分 ）已知Ec 为整数，方 程 5/ + 纵 + c = 的两根都大于一1且小于0 , 求 b 和c的值。第一试参考答案一、选 择 题 （ 本题满分42分，每小题7分 ）1、D2、C3、B4、B5、C6、A二、填 空 题 （ 本题满分28分，每小题7分 ）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。=(a-b)(c-a) 工。1、已 知4 且 Ub

62、 +c则 0 . 当 x = - l 时，5 x2+ bx + c 0_ _ L .二 b 5+0 . 抛物线顶点的横坐标2X 5满足 2 X5 ,.o / N20C, C 5 , 若C = l ,则由、 得06且 八2 0 ,得6 = 5 .若C = 2 ,贝IJ 0 d 7且 八4 0 ,无整数解；若c = 3 ,则0 b 8且 外6 0 ,无整数解；若c = 4 ,则0 6 9且 2 80 ,无整数解；故所求6 , c的值为b = 5 , c = l2 000年全国初中数学联合竟赛试卷第 一 试 （ 4 月 2日上午8： 3 09 : 3 0）一、选 择 题 （ 本题满分42 分，每小题

63、7 分 ）1、计算4 4 + 6石-J 1 4 -6石 的 值 是 （）.（ A ） 1； （ B ） 逐； （ C ）2 石 ； （ D ）5 .x y _ 6x -15y 4x2 - 5xy +6y22 、若 32J C - 5y x ,则 V _ = + 3y2 的 值 是 （）.9 9（ A ） 2 . （B） 4 . （ c） 5； （ D ） 6._ i2 +1 a2 +13 、设 。， ” 是不相等的任意正数，又 。 b ,则凡了这两个数一定（）.（ A ）都不大于2 ； （ B ）部不小于2 ； （ C ）至少有1个大于2 ； （ D ）至少有1个小于2 .4、正整数冏小于10

64、0, 并 满 足 等 式 +申+中 一 ,其中卜 表示不超过工的最大整数，这样的正整数 有 （）.（ A ） 2 个； （ B ）3 个； （ C ）12 个； （ D ）16个.5 、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2 、3 、4 , 则此梯形的面积等于（）.( A ) 4； ( B ) 6； ( C ) 8& ； ( D ) 3 6、已知A B C D 是一个半径为R的圆的内接四边形，A B = 12 , C D = 6 . 分别延长A B 和 D C ,它们相交于P 且 B P= 8, Z A PD = 60 ,则 R 等 于 ().( A ) 10； ( B ) 2后 ； ( C )

65、 1 2 & ； ( D ) 14.二、填空题( 本题满分2 8分，每小题7 分)1、是正数，并且抛物 线 /+ +乃 和 / = +宓 +0 ；（ 2 ）若 4 8 间的距离不超过|20 -3|,求 P的最大值。二、 （ 本题满分2 5 分）E F G H 是正方形A B C D 的内接四边形，两条对角线E G 和 F H 所夹的锐角为8 ,且NB E G与NC F H 都是锐角. 已知E G = , FH=,四边形E F G H 的面积为S .八 2ssin e = （ 1）求证： kl .（ 2 ）试用方J， S 表示正方形ABCD的面积.题二图三、 （ 本题满分2 5 分 ）设关于X的

66、二次方程（ M - 6b + 8 * + （ 历 一 62 - 4 + M = 4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数2 的值.第一试试题答案一、1、 （ C ）； 2 、 （ A ） ； 3 （ C ）； 4、 （ D ）； 5 、 （ D ）； 6、 （ B ）.二、1、2 0； 2 、15 0； 3 、4； 4、.第二试部分试题答案 、 选 择 题 (每 小 题7分 ， 共42分 )1、a, b, c 为有 理且等+ h-x/2 + cf3 - - /5 + - 2/6 贝1 J 2G-999AlOOlc的 值 是 ( )(A) 1999 (3) 2000 ( C) 2001 (Z 不

67、 能 确 定2、 若 a b - 1 ,且 有 5flP+2OOlk9-O 及 9b* + 2001b+ 5 - 0 ,则 卷 的 值 是 ( )(*)2(B) ( c)- 2001 9)- 22215 9 5 93、 已 知 在KBC中 ，NNCL5=9O，N A B G 153 B C = 1 ,贝IJ*C的 长 为 ( )( X ) 2 4- V3 (B) 2 - V3 (C) 0 3 Q ) W 7fi4、 如 图 ， 在45C中 ，D是 边HU上 的 一 点 ， 下 面 四 种 情 况 . 中 ，A B D s 4.4C B不一 定 成 立 的 懵 况 是 ( )(-4) AD -

68、B C A B BD B S 5= S DH AB2 ,贝是 锐 角 三 角 形 , 在* 3 C和 AA1百 。1中 ，a, b, c分 别 为W 3C的 三 边 ， / ， 力 ,61分 别 为&41玛 。1的 三 边 ， 若a a 1 * q ,贝iJZXbC的 面 积S大于的面积S以 上 三 个 命 题 中 ， 假 命 题 的 个 数 是 )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (Z 36、 某 商 场 对 顾 客 实 行 优 惠 ， 规 定 * 如 一 次 购 物 不 超 过200元 ， 贝II不 予 折 扣 ， 如一 次 购 物J超 过200元 但 不 超 过500元 的 ， 按 标

69、 价 给 予 九 折 优 惠 ； 如 一 次 购 物 超 过500元 的 ， 其 中500元 按 第 条 给 予 优 惠 ， 超 过500元 的 部 分 则 给 予 八 折 优 惠 . 某 人 两 次 去购 物 ， 分 别 付 款16s元 和423元 ； 如 果 他去 次 购 物 同 样 的 商 品 ， 贝II应 付 款 是 (-4) 522.8 7U (B) 510.4 元 ( C) 560.4 元 9) 472.8二 、 填 空 题 每 刁 、 题7分 ， 共28分 )1、 已 知 点 尸 在 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 为(O, 1), O 为 坐 标 原 点 ， 上 。尸8 1

70、 5 3 ,且 尸到 Q的 距 离 为2 ,贝I J Q的坐标为-2、 已 知 半 径 分 别 为1和 2的 两 个 圆 夕 卜 切 于 点 P，贝L I点 P到 两 国 外 公 切 线 的 距 凿为-3、已知弓尸是正整数，并且研+ 丫 +y = 23,工0 +叼2 =120 , 贝L Ix2 + y2 -.4、 一 个 正 整 数 ， 誉 分 别 加 上100和1 6 8 ,贝L I可 得 到 两 个 完 全 平 方 数 ， 这 个 正 整 数为三 、解 答 题 (共70分 )1、 在 直 角 坐 标 系 中 有 三 点 X (0, 1), B 1, 3), C (2, 6)；已 知 直 线

71、 了 =3:+2?上横 坐 标 为0、1、2的 点 分 别 为 、E、尸。 试 求a *的值使得且达到最大值。(20 分 )( 1) 证 明 ： 若 工 取 任 意 整 数 时 ， 二 次 函 数 尸 =2 + 以+ 。总、 取 整 数 值 ， 那 么2 a a b ,c都 是 整 然(2 )舄 出 上 述 命 题 的 逆 命 题 ， 并 判 断 真 假 ， 且 证 明 你 的 结 论 。(25分 )3、女口图，D, E是返 上 的 两 点 ，尸 是 与C延 长 线 上 的 一 点 ，NDNE=NUA尸. 1)判 断 月 民0的 夕 卜 接 圆 与A N E C的 夕 卜 接 圆 的 位 置

72、关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；(2)BD E解答题:1、 如图，EFGH是正方形A3CD的内接四边形，两条对角线EG和尸方所夹的锐角 为 % 且 N3EG与 NCFA都是锐角. 已知EG=2, F H = I ,四边形EFGN的面积为S. 求 证 ：s加 8=至 ；kl（2）试用h,?,S来表示正方形的面积.2、 求所有的正整数a, b, c,使得关于x的方程x2 - 3ax + 2b = 0 , r2 - 3hr + 2c = 0 .x? - 3cx + 2a = 0的所有的根都是正整数.3、在锐角ABC中，4D_LBC, D 为垂足，D E LA C , E 为垂足，DF AB

73、 ,尸为垂足 . 。为a s c 的外心。求证：（1） XAEFSXABC；（ 2） A 01.E F4、如图，在四边形A8CD中，4 c 与 5。交于点。 ，直线i 平行于5 D ,且 与 .45、D C、B C、.4。及 .4C的延长线分别相交于点M、M R、S和 P.求证：P M * P N = P RPS( 2 002 年 4 月 2 1 日 8： 3 0 10： 3 0)一 、选 择 题 ( 本 题42分 ，每 小 题7分)1s 已知 a= 1 b= 2 , c= - 2 ,那么 a, b, c 的 大 小 关 系 是 ( )( A ) a b c ( B ) t x a c ( C

74、 ) c t x a ( D ) c a b2、若 m = n + 2 , n ? = m - 2 ( m W n ) ,贝I J m5- 2 m n - n5 的 值 为 ( )( A ) 1 ( B ) 0 ( C ) - l ( D ) - 23、已 知 二 次 函 数 的 图 象 如 图 所 示 ，并 设M = | aT L cL | a- b- c| + | 2 a+ bL | 2 a- b| ,贝D ( )( A ) A 0 ( B ) Nf = 0 ( C ) M / 2 I - | b-a + V 3 |2、如 图 ，7根 圆 形 筷 子 的 横 截 面 圆 的 半 径 均 为

75、r ,则 捆 扎 这7根 筷 子 一 周 的 绳 子 和 长 度为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、甲 乙 两 人 到 特 价 商 店 购 买 商 品 ，已 知 两 人 购 买 商 品 的 件 数 相 等 ，且 每 件 商 品 的 单 价 宾有8元 和9元 ，若 两 人 购 买 商 品 一 共 花 费 了 17 2元 ，则I其 中 单 价 为9元 的 商 品 有件.4、设N= 2 3 x + 9 2 y为 完 全 平 方 数 ，且 不 超 过2 3 9 2 ,则 满 足 上 述 条 件 的 一 切 正 整 数 对( x ,y)共 有 _ _ 对.三 、 ( 本 题 满 分7 0

76、分)1、 ( 本 题 满 分2 0分)已 知 ：a , b, c三 数 满 足 方 程 组 : +b冒 ，流 求 方 程bxcx - a= O的根.l ab- c2 + 8、 /5 c = 482、 ( 本 题 满 分2 5分)中数学联合竞赛试题及答案3、( 本题满分2 5分)试确定一切有理数r ,使得关于x的方程r x r + 2 )X- r - l = 0有且只有整数根.参考答案一、B D C B C C二、1、圾; 黄 2、2 ( i r + 6) r 3 12 4、2 7三、1、由方程组得：a、b是方程x ， - 8x - 5 - 85 / c7 8= 0的两根A = - 4( c-

77、85 / 2 C=4A/2 a= b= 4所 以 原 方 程 为X-1=0-2 + x i = - - - - - -， x ： = - - - - - - - -2 22 连结 B P、PR、PC s P?( 1)证四边形A PPQ为平行四边形( 2 )证点A、R、Q P共圆( 3 )证a B P Q和a P R C为等腰三角形( 4)证NPB A = NA C P；原题得证3、( 1)若r = 0, x = L ,原方程无整数根2消去 r 得：4XIX2-2(XI-X2)+1=7 得(2XIT )(2X?-1)=7由X】 、会是整数得：r = - ；, r = l第 一 试（ 4 月 13

78、 曰 上 午 8: 3 0 9 : 3 0 ） 、 选 择 题 （ 本 题 满 分 4 2分 ， 第 小 题 7分 ）1 . 20 - 26 + 4 7 - 12 依 等 于A. 5 - 4 2 B . 4 2-1 C . 5 A12 . 在 凸 I O 边 形 的 所 有 内 角 中 ， 锐 角 的 个 数 最 多 是A. O B . 1 C . 3 D. 53 . 若 函 数 了 二自3 。） 与 函 数 的 图 象 相 交 于 4 C两 点 ，的 垂 直 ”轴 于 A 则 3 C 7的 面 积 为A. 1 B . 2 C . k D. k24 . 满 足 等 式x巾+ Q - V 2 0

79、03 X - e 0 夯 + 0口 03号-2 003 的 正 整 数 对 （ x , ） 的 个 数 是A. 1 B .2 C , 3 D. 45 . 设 人 超 的 面 积 为 1 ,刀 是 边 . 有 上 一 点 ，且桀=，若 在 边 . 4 7 上 取 一 点 8 使 四 边2 410 - 5形 。 反 潜 的 面 积 为 弗 则 铸 的 值 为4 E AA- 7 B 5 C i D I6 . 如 图 ，柱 口 A B C D 中 、过 4 5 , C三 点 的 圆 交 4 2于 右 且 与 R 相 切 .若 心 = 4, 5 =5 ,则 麻 的 长 为A. 3 B . 4 二 峥 Q

80、.9二 、 填 空 题 （ 本 题 满 分 2 8 分 ， 每 小 题 7分 ）工 . 抛 物 线 a x + & x + c 与 *轴 交 于 4 H两 点 ， 与 y轴 交 于 点 C.若 A 宓 是 直 角 三 角 形 ，贝 V 9.2 . 设 m是 整 数 ， 且 方 程 3/ +皿 -2 =。的 两 根 都 大 于 - 学 而 小 于 尹 贝I J k.3 . 如 图 ，AA , 西 ， 分 别 是 N 五 的 的 平 分 线 . S A 4 = B S A B ,贝 IJN &6 1的 度 数 为4 . 已 知 正 整 数 a8 之 差 为 120 ,它 们 的 最 小 公 倍 数

81、 是 其 最 大 公 约 数 的 工 0 5倍 ， 那 么 小b中较大的数是.2 0 0 3 年 全 国 初 中 数 学 联 合 竞 赛 试 卷第 二 武 （ A）（ 4 月工3日 上 午 10: 00 1 1 : 3 0 ）考 生 注 意 ： 本 优 三 大 题 ， 第 一 题 2 0 分 ， 第 二 、 三 题 各 2 5 分 ， 全 卷 满 分 70 分.一 、 （ 本 题 满 分 2 0 分 ）流 求 出 这 样 的 四 位 数 ， 它 的 前 两 位 数 字 与 后 两 位 数 字 分 别 组 成 的 二 位 数 之 和 的 平 方 ，恰 好 等 于 这 个 四 位 数 .二 、 （

82、 本 题 满 分 2 5 分 ）在 y ! 比 中 ， 刀 为 的 的 中 点 ， 分 别 延 长 以 ， ” 到 点 石F ,使 a过 石 产 分 别 作C A, ” 的 垂 线 ， 相 交 于 产 . 设 线 段 2 ， 百 的 中 点 分 别 为 勒 出 .求 证 ： /FAB /FBF.三、（ 本题满分2 5 分 ）已知实数& b , g d互不相等，且 a+ 1 = & + 1 = c+ = d + l = x ,试求JT的值.b c a a2 003 年全国初中数学联合竟奏试卷第 二 试 （ B ）（ 4 月 13 日上午 10: 0011: 3 0）考生注意：本试三大题，第一题2

83、 0分，第二、三题各2 5 分，全卷满分7 0分.一、（ 本题满分2 0分 ）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.二、（ 本题满分2 5 分 ）在? ! 比中，D为四的中点，分别延长。，b 到点E , F ,使 密 加 ；过 E , 产分别作C A,b 的垂线，相交于产. 求证：/ P AE= 4P B F.三、（ 本题满分2 5 分 ）已知四边形池圈的面积为3 2 , AB , C D, / C 的长都是整数，且它们的和为16.这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值.2 003 年全国初中数学联合竞赛试卷第 二 试 （

84、 C ）（ 4 月 13 日上午 10: 0011: 3 0）考生注意：本试三大题，第一题2 0分，第二、三题各2 5 分，全卷满分7 0分.、（ 本题满分2 0分 ）已 知 实 数b t g d互不相等，且= 5 + 1 = c+ ! = d + l = k ,试求x的值.b c a a二、（ 本题满分2 5 分 ）在 脑 中 ，为四的中点，分别延长W C , 比 到 点 E , F ,使 般 孙；过 岳 F 分别作A C ,充的垂线，相交于尸. 求证：Z.P AE Z.P B F.三、（ 本题满分2 5 分 ）已知四边形四切的面积为3 2 , AB , C D. W C 的长都是整数，且它

85、们的和为16.这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值.2004年全国初中数学联赛试题及参考答案( 江西寒区加试题2004年4月24日上午8： 30Tl:00)一. 选择题( 本题满分42分: 每小题7分)L直角三角形斜边长为整数, 两条直角边长是方程9x： -3 (k -l)x + k = 0的两个根， 则k-的值是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)92 .(8-3 币 丫 + -sr 值是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86、. . . . . . ( )( 8+ 3 7 7 )(A)奇数 ( B)偶数 ( C)有理数而不是整数 ( D)无理数3 . 边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )(A)410 (B)416 (C)394 (D)402C xyz-14 . 设有三个实数x、y、z满足： Uzz=l 则适合条件的解组( x、y、z )有 ( )z-xy=l(A)3 组 ( B)5 组( C)7 组5.8a l,则(D)9 组的值是( )

87、(A)l (B)2 翅 (C)8a (D)不能确定6. 方程 + 丁 + 2? = x + + z的整数解有( )(A)l组 ( B)3组 ( Q 6组 ( D)无穷多组填空题( 本题满分28分, 每小题7分)1 .函数y=x22 (2k 1) x+3k?2k+ 6的最小值为m。则当m达到最大时x=2 .对 于1, 2, 3, 。 。 ，9作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是3 . 如 图 ，AB, CD是 圆O的直径，且ABJLCD, P为CD延长线上一点，PE切圆O为E,BE 交 CD 于 F, AB=6cm:PE=4cm75?J EF 的长=4 . 用6张1X2矩形纸片将3%的方格

88、表完全盖住则不同的盖法有种.综合题1 .有二组数：A组1, 2. 100 B组R 22 , 3 ? , ，1002若对于A组中的X ,在B蛆中存在一个数Y ,使得X-Y也是B组中的数，则称X为关联数，求A中关联数的个数2 . 已知二次函数y=ax2-bx-c(a0)的图象和x轴，y轴都只有一个交点，分别为A, B.AB=3 V2 ,b-2ac=0,一次函数y= xm的图象过A点，并和二次函数的图彖交于另一点D.求aDAB的面积3 . 等边三角形ABC中，D 是 BC边上的一点，且 BD=2CD, P 是 AD上的一点.ZCPD =ZA BC,求证：BPAD答案： CBDBAB_4.710- 1

89、. 1 2. 870 3. 4. 11二 lo 733。（ 略 ）一 、 选 择 题 ： ( 每 题7分 ， 共4 2分)1、 化 简 ： - - - - - -jU - + - - - - - - 尸二- - - - - - - - 的结果是_ _ _ _ _ -4 + /5 9 + 3 0 应 3 ，66 4 0应A、 无 理 数 B、 真 分 数 C、 奇 数 D、 偶 数2、 圆 内 接 四 条 边 长 顺 次 为5、10、11、14；贝IJ这 个 四 边 形 的 面 积 为 _ _ _ _.A、78.5 B、97.5 C、90 D、1023、 设 rN 4 ， a=.，b= =- ，

90、r 什 旧 彳c = j 1 , , 则 下 列 各 式 一 定 成 立 的 是 _ _ _ _.r(V r-f-V r+l)4、图 中 的 三 块 防 影 部 分 由 两 个 半 径 为1的 圆 及 其 外 公 切 线 分 割 而 成 ，如 果 中 间 一 块 闲 影的 面 积 等 于 上 下 两 块 面 积 之 和 ， 则 这 两 国 的 公 共 法 长 是 _ _ _ _ A、 当 B、 当 C、1 / 2 5 - 7 D、1 1 6 - 7T25、 已 知 二 次 函 数f(x )= ax -4 -b x 4 -c的 图 象 如 图 所 示 ， 斗记 p = ab + c |+ 2 a

91、 + b ； , q = a + b + c |+ ,2 a -b| 贝U_ As pq B、p = q C、p B C ,用a表 示 A B, B C以 及90 - A中 的 最 小 者 ， 贝J a的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ 三 、 解 答 题 ( 第1题2 0分 ， 第2、3题 各2 5分)1、a、bs c 为 数Z, a c V O ,且 /Wa+，b+jc=O ,证 明 ： 兀 二 次 方 程 a x ? + 8 + c = 0有 大 于I而 小 于1的根.2、锐 角A B C中 ，A B A C , CDs B E分 别 是 AB、A C边 上 的 高 ， 过

92、D作 B C的 垂 线 交B E于F ,交C A的 延 长 线 于P ,过E作B C的 垂 线 ， 交C D于G,交B A的 延 长 线 于Q,证 明 ：BC、DEs FG、P Q四 条 直 线 相 交 于 一 点 .3、a、b、c为 正 整 数 ， 且 忘 +片 =/， 求c的 最 小 值 。一 、选 择 题 ： ( 每 题7分 ，共4 2分)1、化 筒 ： - - - - -1 1 +- - - - -j 的 结 果 是 _ _ _ _ _o4 + J 5 9 + 3 0虚 3 - & 6 -4 0近A、无 理 数 5、真 分 数 C、奇 数 D、偶 数解1 + = + _4 + 5 9

93、+ 3 0 - 7 2 3 J6 6 -4 0应 4 + 5 0+ 2 - 7 45 0+ 9 3 - 7 5 0 - 2 - 00+ 1 6二四边形的面积为:5 X 7 + 5 X 1 1 = 9 0二 选C3、c =r -1=则 下 列 各 式 一 定r ( r + J r + 1)成 立 的 是 _A s a b c B、b c a C、c a b D、c b a解 法L用 特 值 法 ，取 尸= 4,则有_ 1 _ 1 _ 1 , = 1 _ V 5 _ 5-2抬 _ 2(5_ 26 1. 03 6a =4 - 5= 2 0 b- 2 = 10 =- - - - - 2 0 = 5 (

94、也-2如 I .一4 (2+ 4 2 0 = 20c b a 选 D1r ( r - l - l )解 法2- =； 4f1 _ _ 5 + 6 _1b =f r ， + yjr ( r 4- 1) yjr ( r 4- 1) ( y/r 4- 1 + 6)匚 + 1, _1 + 1 一 = 7-5低+7 + 50 =_1 44 + 50 +3 3-5应+ 4 7 + 5 2 7-5应 4 9一 5 0所 以 选D2、圆 内 接 四 条 边 长 顺 次 为5、10、11、14；则 这 个 四 边 形 的 面 积 为 _ _ _ _ .A、7 8. 5 B、9 7.5 C、9 0 D、102解

95、： 由 题 意 得 ：5:+ 1 4:2 X 5 X 1 4 X c o s a = 1O:+ I I* 4 s 2 X 10X 11X co s ( 180 a )2 2 1 -140co s a =221 + 220 co s aco s a = 0a = 9 0V r 4 ,. . r I r 4-1 i i r 4-1 ( ( / + 1 + jr = yjr i r 4-1 i * i 尸 + 1 ) - -Jr 4-1 - -s/r J= jr i r 4-1 I y/r 1)( / 尸 + 1 1 1 1J 0r i r + yjr ( r 4-1) ( -Jr 4-1 4- J

96、r j, ik a /r 4-1 -4- -/r ) ( yjr i r 4-1) r 0yjr r 4-1 i | 沪 + + fr I r (r + + )故 石 v o , 综 上 所 述 ：a vZ v c ,选 。解 法 3 ： 上三4 + _ Jr -+-1 ) /r 4-1 己= ba b q B s p= q C、p q D s p、q大 小 关 系 不 能 确 定解 ： 由 题 意 得 ：a O c= O| a - b | + | 2a +b | , | a +b | + | 2 a - b |又 - 1Fb 0,从 而 。-b a 02a| a b | + | 2a +b

97、| t a + 2 a + b = a + 2 b = 2 b + a ,q= | d +b | + | 2 a1- b | = a. + b + t - 2 a= 2 t - ap x ： x;, x 4 为 互 不 相 等 的 正 奇 数 ， 满 足（ 2 0 0 5 x； ）（ 2 0 0 5 x:）（ 2 0 0 5 x3）（ 2 0 0 5 x * ）（ 2 0 0 5 Xf ） =24 ,贝V x：的 末 位 数 字 是 _ _ _ _ _A % 1 B s 3 C、 5 D % 7解 ： 因为Xx x3 x4, 为 互 不 相 等 的 正 奇 数 ， 所 以（ 2 0 0 5 X

98、i ） % （ 2 0 0 5 * ： ）、（ 2 0 0 5 x ： ）、（ 2 0 0 5 x ） s （ 2 0 0 5 x . ）为 互 不 相 等 的 偶 数而 将2 4 ：分 解 为5个 互 不 相 等 的 偶 数 之 积 ， 只 有 唯 一 的 形 式 ：2 4:=2 - （ - 2 ）- 4 - 6 - （ -6 ）所 以（ 2 0 0 5 Xi ） s （ 2 0 0 5 * ： ）、（ 2 0 0 5 - X, ）、（ 2 0 0 5 ）、（ 2 0 0 5 一 x 2 ）分另U等 于 2、（ 一2 ）、4、 6、 （ -6 ）F r l / 7 x2 4- 9 x 4-

99、13 - V7x2- 5 x 4- 13； xX。 ，- - - / 7 x2+ 9 x 4- 13 - V 7 x2-5 x 4- 13 = 2 , B P 7 7X2+ 9X+ 1 3 = V 7 x2- 5 x + 1 3 + 2两 边 平 方 化 简 得 ：7 x - 2 = 2A/ 7X2-5X+ 1 3苒 平 方 化 固 得 ，2 1X2-8X-4 8 =0 ,解 之 得x=号 或 工 = 一 等 （ 舍 去 ）3、 若 实 数、y前定用+ / = 1, 电+ 亨会=1, 则x + y= 解 法 1 ： 假 设 x + y=a ,贝U y= a - x/ . （ S3 +G） x+

100、（ 33 + 43） （ a- x ） =（ 334- 63） （ 33 - b43） ,H P（ 63-43） A ： - l - （ 334- 43） a =（ 33）2- 4- 33 43 - 4- 33 63 4- 43 63 （ 1）/ . （ 53 + 63）X4- （ 53 4- 43） （ a -x） =（ 534- 63） （ 53 +4 ）B P（ 63-43）X4- （ 53 + 4 ? ） a =（ 53）2 +53 43 4- 53 63 + 4 ? 63 （ 2）（ 2 ）一 （1 ）得 ：（ 5一 力a =（ 53）2-（ 33）2 +（ 53 - ） - 43+

101、（ 53 - 33 ） 63/ . a = 3 3 + 甲 + 5 3 + 63 = 43 2解 法2 ：易 知3 、5 ?是 关 于 处 方 程 x ? + - * = 秋 两 根化 冏 得 ：z2 -（X4 - - 43 -63） /-（ 63X- + - 43J/ - 43 63） = 0由 韦 达 定 理 得J +5?=工 +尸 -1一夕x + y = 4- 43 4- 534- 63 = 4 3 24 s已 知 锐 角 三 角 形ABC的 三 个 内 角A、B s C满 足 ：AABAC,用a表 示A B , B C以 及9 0 A中 的 最 小 者 ， 则e的 最 大 值 为 _

102、_ _ _ _ _ _ _ _解 ：二 ca = mi n（ A - BfB - C, 90 0 - A ）a MN -B,a MB-C*,a M90 0 -N6 a 2_ B ） - 4- （ -C） 4- 3 （ 9 0- 4 i= 2 7 0。 一 （ W + B+b ） = 9 0+ , ( a +方+ G=( 9 a + 12 b 4-16c ) ( a +Z? + c ) 五a+6b+依c=0, J b =二“2三5至二 仔(1)V O- - - 兀 二 次 方 程ax=4 - b x 4 - c = O有 大 丁 多 而 小 于1的根.2、 锐 角 ABC中 ，ABAC, CDs

103、 B E分 别 是AB、A C边 上 的 高 ，D E与B C的 延 长 线 于交 于T，过D作B C的 垂 线 交B E于F,过E作B C的 垂 线 交CD于G ,证 明 ，F、G、T三 点 共线 。证 法L 设 过D、E的 垂 线 分 别 交BC于M、N,在R tZ iB E C与R t/ B D C中 ， 由 射 影 定理 得 ：CE* = CN - CB, BDX = BM - BC.U N _ G E2-B M B E )2又 RtZiCNG ooR tA D C B , R tA B M F coR tA B E C ,c ry- G W =匕C W ,户2% =:三B MC D

104、B E.CW _ B D B E O N F M _ C D C E B M8口 B E C E * = B E C E .C D C E B D2 B D C D 在 R tA B E C 与 R tA B D C 中, 由 面 积 关 系 得 ：BE - CE = EN - BC, BD - CD = DM - BC.B E U E = E N = T N . .B D C D D M T M * ,由 得 ： 乌 = 卫 , 又6 7 | |尸这， . . 尸、 & 7 点共线.F M T M证 法2 ：设CD、E E相 交 于 点H ,贝IJ H为ZiA BC的 垂 心 ， 记DF、E

105、G、AH与B C的 交 点 分别 为M、N、RDM AR EN.D F _ A H _ E GF M H R G2VA证 法G 了三点共线.3：在ABC中 ， 直 线DET分 别 交BC、CA、AB于T、E、D ,由 梅 涅 劳 斯 定 理 得 :B T元C E A DSA D BC O设CD、BE相 交 于 点H,贝IJ H为 A B C的 垂 心 、 ，AH_LBCD F _L B CS EGJ_BC-.AH DF EG.C E C O A D H F 2 x , B T C O H F- - = -, -= -， 代 入1仔 -E A G H D B F B 7T 7 G H F B由

106、梅 涅 劳 斯 定 理 的 逆 定 理 得 ：Fs G、 丁 三 点 共 线 .证 法4：连 结FT交EN于G，易 知 - = -F M G N为 了 证 明F、G、T三 点 共 线 ， 氏 需 证 明 马1 = 担即可. . D F = SA E = % BD B F sinN A gW = B D sin N 4 3 g F M 二 班 下 一 | B M B F sin Z -C B E B M sinL C B EE G _ _ i OE C G sin LACE) _ C E sin 乙4 a oG N - 片U N C O sin 乙B C D C*2V sin 乙B U Dc B

107、E B C C E B CB M B D U N C E. D F _ B C sin E U _ B C sin N W C D . F M B D sin N C B F U N C E sin 乙B C D ,CD-LAB、BE-LCA , .B、D、E、c 四 点 共 圆二 NABE= NACD ( 2)R C U Z 7又 -= B C = - ,B rfsin SE = C E sin 乙B U D (3)sla N B U D sin LC B S将S ) (3)代入( 1 )得:-=-，S5C F、G、TF M G N3、 设a、b、c为 正 整 数 ， 且a： + b = c

108、 -求c的 最 小 值 .融. . 曰-ft 名 .若取则c2 +a = b2b(b + )2由大到小考察b ,使 士L为完全平方数，易知当b = 8时，c；= 3 6 ,则c = 6 ,从2而a= 28.下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下:C4Cx: (x3c4)C 4- X32161,817,83811,8, 27,6480, 73, 54,1742561,8,27,64,125,216255, 248,229,192,131,4056251,8, 27,64,125, 216, 343,512624,617, 598, 561, 500,409, 282,113显然，表中c-x：

109、的值均不是完全平方数. 故c的最小值为6一、选 择 题 （ 共 5 小题，每小题6 分，满分3 0 分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B , C , D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不埴、多填或错埴得零分）1 .在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔4 千米经过一个限速标志牌；并且从1 0 千米处开始， 每隔9 千米经过一个速度监控仪. 刚好在1 9千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.（ A ） 3 6 （ B ） 3 7 （ C ） 5 5 （ D ） 902 .已知羽= 1+0 ， = 1-

110、72 .且 （ 7/- 14 .+4 ） （ 3 / - 6 ? - 7 ） = 8 ,则。的值等于 （）（ A ） 5 （ B ）5 （ C ）- 9 （ D ）9答：C .3 . Rt板的三个顶点幺，B , C均在抛物线1y = /上，并且斜边超平行于x 轴 . 若斜边上的高为为，贝 I J （）（ A ） h 1 （ B ） h = （ C ） 1 A 24 . 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其煎成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中塞出其中之-，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了 3 4个六十

111、二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（ A ） 20 0 4 （ B ） 20 0 5 （ C ） 20 0 6 （ D ） 20 0 75.如图，正方形R B C D 内接于。，点 P 在劣弧R 8 上，连结 D P, DP 交 于 点 。. 若。 尸 = 。0,则 霭 的 值 为 （） / /BP（ A ） 2万-1 （ E ）石+ & （ D）石+ 2 （ 第 速 图 ）二、填 空 题 （ 共5小题，每小题6分，满 分30分 ）6 .已知 a , b c 为整数，且a + 3 =2006, c - a = 2 0 0 5 .若a 3 ,则a + 8 + c 的最大值为 .7 .

112、如图，面积为a指 -c的正方形灰FG内接于面积为1的正三角形月兖，其 中a 8, c是整数，且匕不能被任何质数的平方整除，则 不 的 值 等 于 1D8 .正五边形广场四二班的周长为2000米 . 甲 、乙两人分别从4 C两点同时出发，沿 /-A-A方向绕广场行走， 甲的速度为50米 / 分 ， 乙的速度为46米 / 分 . 那么，出发后经过_ _ _ _ _ _ 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9 .已知0 a 所以(7 + a )(3 -7 ) = 8,解 得a = -9 .故选C.3 .答i B.解：设 点/ 的 坐 标 为(a, Y) ,点C的坐标为( c , l) (c

113、， ，所以/- 2 = 1 ,故斜边数上高=1.故选B.4. (A) 2004答：B.(B) 2005(C) 2006(D) 2007解：根据题意，用煎刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和噌加360 .于是，剪过上次后，可 得 （ 出+ 1 ）个多边形，这些多边形的内角和 为 （ 无+ 1） X36O0 .因 为 这 （ 上+ 1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34X（622）X1800 =34X60X180 ,其 余 多 边 形 有 （ 止+ 1 ） 34=上一33 （ 个 ） ，而这些多边形的内角和不少于（ 化一33）X180 .所以（Ar+1） X

114、36O0 34 X 60X180 + （ 上一33）X180 ,解得A:三2005.当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论. 先从正方形上剪下1个三角形，得 到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得 到2个三角形和1个六边形如此下去， 煎了 58刀后， 得 到58个三角形和1个六十二边形. 再取出33个三角形，在每个三角形上煎一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各煎58刀，便得到33个六十二边形和33X58个三角形. 于是共剪了58+33+33X58=2005 （ 刀 ） .5 .答：D.故选B.在。 。中，根据相

115、交弦定理，得0 4 QC = Q产.QZ）.即 (r - w)(r + m) = m- Q D,( 第 5题答案图)m连结Z O 由勾股定理，得Q D2 = DO2+ Q 02,解 俗 = r . 所以， =- - - - - = 7= = J3 + 2 . 故选 D.3 Q A r -m 7 3 -1二、埴 空 题 （ 共 5小题，每小题6 分，满分30分 ）6. 答：5013.解：由a + 占=2006, c - a = 2 0 0 5 ,得a + 力 + c = a +4011.因为a + 8 =2006, a 40 0 )( 3 6 8x + 80 0 ) -40 0 x 40 0 ,

116、所 以 ,1 2. 5 Wx V1 3 . 5 .40 0 x 1 3故产1 3 ,此时蚱 =1 0 4.9 . 答：6 .1 2 29 r 1 1 r 2解：因为 0 2 + a+ 2H- 所以 a + aH-a +等于。 或者1 .3 0由题设知，其中有1 8个等于1 ,所以所以0 a + 1 ,3 01 2+ 2.3 01 a故18W30G 1 9 ,于是6 W1 0以 百 ，所以 1 0以 =6 .10.答：282500.解 ：设 原 来 电 话 号 码 的 六 位 数 为 码7 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为laZbcdef.根据题意，有 81X abcdef = 2abcde

117、f.记x = 5 x lC ) 4+ cx l( ) 3 + dx l( ) 2+ ex lO+ / ,于是81 x ax l05 + 81 x = 20 8x l05 + ejx l06 +x,解得 x = 1 25 0 x ( 20 8-7 1 a) .因为OWx WlOS ,所以0 1 25 0 x ( 20 8-7 1 a) 1 0 故 里 V a W 型 .7 17 1因为a为整数，所以a = 2 .于是x = 1 25 0 x ( 20 8-7 1 x 2) = 825 0 0 .所以，小明家原来的电话号码为282500.二、解 答 题 （ 共4题，每小题15分，满分60分 ）划、

118、 几 25 Z5 2BE t i_ s i mi11.解：设 - - - -=m, -= n ,川， 力均为正整数，则BC ABm n = 4- = 4cos2 5 Z.B = 3 0 此时网=1 / = 3 ,或m=3 , % = 1 .于2是A D垂直平分S C ,或C 垂直平分A 9 .故乙4c8 =3 0。 ，或 乙 C =3 0。 ，于是 A B C是顶角为1 2( 7的等腰三角形. . . . . . . . . . . . 1 5分1 2.证 法1 ：原方程可以写为w2 - ( 1 0 + 7 ) w + 25 2 - 7 = 0 于是 A = ( 1 0 + 7 )2 - 4

119、( 25 2-I n ) = 1 6 8 + 49是完全平方数. . . . . . . . . . . . 5分设1 6 8% + 49 = 49。2化+ 1 ,其中立是任意一个正整数，贝ij% = 42好+ 7上 . . . . . . . . . . . . 1 0分于是10以 +7 而 _ 10（ 42如 + 7与 +7 7（ 12化 +1）= 210必一7 a ,或210科+77k +7.所以, 存在无穷多对正整数M， = I 210A：2 -Ik , 4 2 /+ 7上 （ 其中V是正整数）满足题设方程.15分1 3 .证明：设 与 0相交于点4,连 结05 OC, Q4 又即为龙

120、的中点，所以，连 结 它 过 点 巡因为 _L 3X ,O X _L 8C ,所以XB2 = X M X O . 又由切割线定理得XB2 = XAXXA. .5分由，得XM _ X Ax五一而于是 j4S 阳 O ,所以（ 第： 3（ B）题答案图）AM _O AX _ QBAXOXOX. . . . . . . . . . . . . . 1 0 分又 N 3O C = 2/胡 C,所以N 8 O 星 = N 8 /C,于是AM _OBAX=O Xcos ABAC. . . . . . . . . . . . . . 1 5 分1 4. 证明：设 1 0 个学生为用, S 2, , A。 ，

121、n 个课外小组为5 , Q , G * .首先， 每个学生至少参加两个课外小组. 否则， 若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为A，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9 个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有1 0 个人了，矛盾. . . . . . . . . . . . . . 5 分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设品恰好参加G， G 2 , 由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与$ 1 没有同过组，矛盾.所以，每一个学生至少参加三个课外小组. 于是与个课外小组5,5, G 的人数之和不小于3 x 1 0 =3 0 .另一方面，每一课

122、外小组的人数不超过5 , 所 以 n 个 课 外 小 组 5 , 5 , , G * 的人数不超过54 故5 心30,所以3花 6 . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 分下面构造一个例子说明 = 6 是可以的.G1 = S1,S2,S3,S4JS5),G 2= S& $品,国 G,= 肉, 斗 S 6 ， &， S 1 O ，5 = 0国 . $ 编 , 仃5=农3晟禺晶晶卜 凡,&$， $ ) 容易墟证，这样的6 个课外小组满足题设条件.所以，n 的最小值为6 . . . . . . . . . . . . . .1 5 分一、选 择 题 （ 本大题共1 0

123、个小题，每小题5 分，共 5 0 分 ）1 、 已知一次函数: 尸ax + b的图冢经过一、二、三冢限，且与x 轴交于点（ 一2, 0 ） .则不等 式 ax b的解集为（ ）（ A ） x 2 （ B ） x 2 （ D ） x bc （ B ） cba （ C ） bac （ D ） bca3 、父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系父母的血型0 , 003k0 , B 0 , A B A , AA3BA , A BB , A B A B , A B子女的可能血型00 , A 0 , BA , 0A B , 0A BB , 0A , B ,A B瓦A B已知：（ 1 ）麦恩的父母与麦恩的

124、血型各不相同；（ 2）麦恩的血型不是B型，那么麦恩的血 型 是 （ ）（ A ） A 型 （ B ） A B 型或。 型 （ C ） A B 型 （ D ）A 型或。 型或A B 型4、 四条直线两两相交, 且任意三条不交于同一点, 则这四条直线共可构成的同位角有（ ）（ A ） 24组 （ B ）48组 （ C ）1 2组 （ D ）1 6 组5 、已知一组正数 Xu x； J X, X” Xs的方差S 2 = g（ X： + X： +应2 + 与 2 - 20 ） ,则关于数据再+ 2, 勺 + 2, 弓 + 2, + 2, 勺 + 2 ,的说法：（ 1 ）方差为S （ 2）平均数为2；

125、（ 3 ）平均数为4； （ 4）方差为4 s 其中正确的说法是（）( A ) ( 1 ) 与 ( 2)（ B ） （ 1 ）与 （ 3 ）（ C ） （ 2）与 （ 4）（ D ） （ 3 ）与 （ 4）6 、已知三角形的三边a、b、c 的长都是整数，且 a W 3如图，P 是 内 一 点 ，B P, C P, A P的延长线分别与BDCA C , A B , B C 交十点E , F , D . 考虑卜列三个等式: 工 嫉 _ B口 （ 2） 工 皿 + SRC _蒜F； B F（ 3 ）x x = 1 . 其中正确的有（）AE BF PC（ A ）。 个 （ B ） 1 个 （ C ） 2

126、个 （ D ） 3 个二、填 空 题 （ 本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 ）1 1 、已知对所有的实效x , |x + l | + J x - l 2 我 - 卜 - 2恒成立,则 m 可取得的最大值为1 2、 射雕英雄传中，英姑对黄蓉说：“ 你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角， 每三个字相加都是十五，如何排列？ ”黄蓉当下低声诵道：“ 九宫之意，法以灵兔，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央. ”请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“ 宫”中1 3 、军训基地购买苹果慰问学员，已 知 苹 果 总 数 用 八 进 位 制 表 示

127、 为 ,七进位制表示为C 匕 a ，那么苹果的总数用十进位制表示为1 4、一个七边形棋盘如图所示, 7 个顶点顺序从0 至 1 6编号, 称为七个格子， 一枚根子放在0 格, 现在依逆时针移动这枚棋子, 第一次移动1 格, 第二次移动2格， ，第 n 次移动n 格，则不停留棋子的格子的编号有三、解 答 题 （ 本大题共2小题，每小题25 分，共 5 0 分 ）1 5 、有 40 组 G S Z 0 卡片，每组均由C , A , S , 1 , 0 五张卡片按& 人, $ , 1 , 0 顺序由上而下裳放而成，现将这40 组卡片由上至下裳放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三章

128、丢掉，把第四张放在最底层，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片.（ 1 ）在上述操作过程中，当只剩88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S ?（ 2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？1 6 、如图 A B C , D 是 A B C 内一点，延长B A 至点E , 延长D C 至点F , 使得A E =C F , G , H,M 分别为B D , A C , E F 的中点，如果G , H, M 三点共线求证：A B =C D .答案:20 0 7 年全国初中数学联寒武汉口$ 比杯选拔赛试题及参考答案一、选择题( 本大题共1 0 个小题，每小题5 分，共 5 0 分)1 . 解： a0 , b=

129、2a, ; . ax A b 的解集为 x 2. 选 ( C )2、解：Q = = b = c = - = . ，-x/2006 + V2005 /2007 + /2006 J 2008 + ,2007abc 选 ( A )3 、解：选 ( D )4、解：四条直线共可构成四组不同的三条直线组，而每一三条直线组共可构成1 2对同位角，故共有4 X 1 2 = 4 8 组同位角. 选 ( B )5 、解： 2 = ( 再 2 + 今2 + 弓2 +芯 / + 蜡 _ 5 乂2 2) , ， 彳 2 = 22, 才 = 2 , ( 3 ) 正确s3 = 1(%! + 2- 4)2 +(x2 +2 -

130、4)2 + (x3 + 2 -4)2 +(x4 +2 -4)a + (x5 +2 -4)2 = S2故 选 ( B )6 、解：当 a=2时，有 1 个；当 a=3 时，有 2个；当 a=4时，有 3 个；当 a=5 时，有 4 个；当 a=6 时，有 5 个；当 a=7 时， 有 6 个，共有21 个 故 选 ( A )，, Ja - 2007 = 2006，. 二故 选 ( C )9 、解 ：设 d 是 ( n T 3 ) 与 5 n+ 6 的一个公约数，贝 U d I ( nT 3 ) , d| ( 5 n+ 6 ) , d I(5+6)-(-13), . , . d I 7 1 , 1

131、 / 7 1 是质数，. , . d=7 1 J; dl ( n-1 3 ) , . , . n-1 3 7 1 , / . n84, n 的最小值是84, 选 ( A )A1 0 、BDC解:SAASP _ 依。=/ F = AAPR = S 。= R D工屈叨 S“CD ED S c $ +8 C D( 1 )正确=S A B C _ ；ABP _ S& _ S&留c + q心c 正 确B F Sc F C q 密p S& 丽 -S & . IBPC x x = fcxSc + Scx _ = 1 正 确 故选工 B F P C S人 图 c $ &APC + $ &BPC(D)二、填空题

132、( 本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、解：当一 1W-W 2时 ,k + l| + k - 2|的最小值为3 ,石二1三0,当x = l时，k + l| + Jx - 1 + .一2 |的最小值为3,m的最大值为3。12、13、解：220 lWaW6, lW bS6,lW cW 6, a x 82+3x8 +。= c x 7 2 + 3 x 7+ 以，63a+b-48c=0, b=3 (16c-21a), .b=03 3,6,经检验 b=3 符合题意，.b=3, c=4, a=3, 3x82 + 3 x8 + 4 = 22014、Qz*、345解：2, 4, 5尝试发现：( 1 )

133、从不停留棋子的格子为2, 4, 5 ；( 2) 棋子停留的格子号码每移动7 次循环( 即第k 次与第( k+ 7 ) 次停留同一格) .证明：第 k 次移动棋子，移动的格子数为：1 + 2 + 3 + + k, 第 ( k+ 7 ) 次移动棋子，移动格子数为： l + 2 + 3 +, , + k+ ( k+ l) + + ( k+ 7 )1 + 2+ 3 -I- bk+ ( k+ l) + -+ ( k+ 7 ) -( 1 + 2+ 3 H-F k) =7 k+ 28=7 ( k+ 4)故 第 ( k+ 7 ) 次与第k 次移动棋子停留格子相同.三、解答题( 本大题共2 小题，每小题25 分

134、，共 5 0 分)1 5 、 解： ( 1 ) 40 组$ 女? 卡片共计20 0 张 , 将 20 0 张卡片由上至下依次编号为： 1 , 2, 3 , ,20 0 , 由操作法则知，当丢掉1 0 0 张卡片时剩下卡片编号为2, 4, 6 , ，20 0 , 若再丢掉1 2张卡片，涉及的卡片有24张，编号为2, 4, 6 , ，4 8 , 丢 掉 1 2的卡片为2, 6 , 1 0 ,1 4, 1 8, 22, 26 , 3 0 . 3 4, 3 8, 42, 4 6 , 其中被丢掉的卡片S 有两张( 编号为1 8, 3 8) .丢 掉 1 0 0 张卡片时，有 20 张卡片S , 所以当只

135、剩88张卡片时，以供丢掉了 22张卡片S .( 2) 若只有1 28张 卡 片 ( 2， ) , 则最后一张被丢掉的是编号为1 28的卡片. . . 1 28V20 0 HS C F ，H S = LCF 2HS =S M, ZS HM=ZS MH. , G T Z/ C D , HT # A B G T = - CD H T = - A B2 2二 G T HS , HT S M/ . ZS HM=ZT G H, ZS MH=ZT HG/ . ZT G H= ZT HG/ . G T =T H/ . A B =C D2008年全国初中数学联合竞寨试题参考答案第一试一 、选 择 题1 .设，+

136、1 = 34，/ + 1=35，且则代数式4 + 4的值为a b( ) 5. (5)7. (C) 9.2 . 如 图 ，设 皿 ，BE, C F为三角形3 c的三条高,5C = 5, E F = 3,则线段8名的长为 (1 o2 1( 呜. (8)4. ( Q y .1 1 .3 .从分别写有数字1, 2, 3, 4, 5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数 是 3 的 倍 数 的 概 率 是( )1 3 2 1(A )-. (5 ) . ( Q - . (D)5 10 5 24 .在/5 C中，乙48c =

137、12。 ，乙4cs = 132。 ，8的 和C州分别是这两个角的外 角 平 分 线 ， 且 点M ,N分 别 在 直 线 工C和 直 线4 5上 ， 则( )( 金 ) BM CN. (5) BM = CN.(Q BM 提 不 ：y 2008 = x + Jx? 2008,y x =，父- 2008 + Jy2 - 2008 同理工7 =-2008 +业-2 0 0 8 ,故二、埴空题1. -2 提不：2+a- 1 = 02. 2 ,提示：LDM A-hABM23 . 提示： 忖 = |. |二 (,犷 = / + 芯 + (,V4.1 ,提不：平 N的 有6个，依此类 /产 彳 %/x =

138、y = n/2008 .= - - 1满足条件.4方数为一位数的有3个,平方数为两位数推.M2 0 0 8 年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案第 二 试(A)一 、已知/+/= 1,对于满足条件O V x V I的一切实数x,不等式a ( l - x ) ( l - x - a x) - b x( b - x -8x ) “恒成立. 当乘积aS取最小值时，求a j的值.二 、如图，圆 。与 圆Z相 交 于AB两点，BC为圆少的切线，点C在 圆 。上，且AB = B C .( 1 )证明：点 。在圆Z)的圆周上.( 2)设的面积为S,求圆。的的半径r的最小值.三、 设a为 质 数 ， 占 为

139、正 整 数 ， 且9( 2a+ A )2 =5 0 9( 4a+ 5 1 1 & )求a, 5的值.附： 一. ( B、C卷 )已知1 +/ = 1 ,对于满足条件x + y = 1 , 2 0的一切实数对( x j) ,不等式协2 - + 力/2 0恒成立. 当乘积ab取最小值时，求a,占的值.三 .( C卷 ) 设a为质数，瓦c为正整数，且满足 9( 2。+ 28-c) 2 = 5 0 9( 4a+ 1 0 223 -5 1 1 c) 一， ， 0 ,当 大 =1 时，/ ( l ) = 6 0 ,故乙之 0 /NO.若以=0 ,则3 = 1 , f ( % ) = 2x2 - x ,不恒

140、大于等于0 ,故以w 0 ,即a 0 ,同理& 0 .当 0 x 0 ,故2、 / Z - l N 0,即 之4( 2) 当白占之工，即2、0一1 3 0时，4f ( x ) = 万。- x ) - .历x f + ( 2 f a b - 1 ) x ( 1 - x ) 0V6+V 2 v6 -综上所述，aS最小值是，此时,4/- 4 r - 4二、解：( 1 )连接Q4, 0瓦 。C,则Q4 = O8 = O C,又工E = 2 C,故等腰L AB O = L B C O , N A F O = N C 8 O .由于8 C为圆冷的切线，故弦切角Z A B C所夹劣弧长为N O BC所夹劣弧

141、长的2倍，即半径BO所在直径通过取A B的中点，即点。在圆。上.( 2)连接乂D如，则 2r = H D +即 2月8 ,故 4 M A B2 = AB AC ,- L 4 - -4 或4 476-72 , A/6+72_ h h _又 上BM C2 2S ,故42 2 S ,即 广 之 亚 ，且 当 为 圆 Q的直径时可以取等号,2故 厂 的 最 小 值 是 叵 .2三、解：将原等式整理为关于小的一元二次方程：9 + ( 3 6 a-5 0 9x 5 1 1 2 + 3 6 a2 -4x 5 0 9a = 0 ,由于3为正整数，则方程判别式A = ( 3 6 a- 5 0 9x 5 1 1

142、y 一4x 9x ( 3 6 a2 -4x 5 0 9a) = 5 0 92( 5 1 12 - 7 2a)是完全平方敬，即5 1仔一 7 2a为完全平方数，设5 1俨一 7 2a = / ( z e纵)，贝U5 1 1 2T 2= 7 2a,即( 5 1 1 ) ( 5 1 1 + ) = 7 2a,由于( 5 1 1 Z) + ( 5 1 1 + ) = 1 0 22,故( 5 1 1 -( 5 1 1 +。同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当a = 2时，检嗡得5 1廿一7 2* 2不是完全平方数当a = 3时，检嗡得5 1 1 ? -7 2x 3不是完全平方数当a 2 5时，由上

143、面分析可知7 2a = 2 x 3 6 a = 4 x 1 8a = 2ax 3 6 = 4a x 1 8共4种分解方式可能满足条件.5 1 1 -Z = 25 1 1 + Z = 36a时,当8 5 _ m的的 s i ， 5 1 1 T = 4 5 0 97日加必a = 不是整数，当(自一 _ c时，。=- 不是整数，3 5 1 1 + / = 1 8a 9当5 1 1 T = 2a_或 5 1 1 + / = 3 65 1 1 -/ = 3 6时,5 1 1 +t = 2aa = 493 = 1 7 x 29不是质数,当 ;:二 :时 5 1是质数，此时只有满足条件,综上所述，a = 2

144、5 1 , b = 7.2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题一、选择题( 满分2 5分，每小题只有一个正确答案，答对得5分)1. 当机=-工 时 一 ，代数式空网 的值是( )6m -9 m -9 加+3 m + 3A. - 1B.2D.l2. 一个正八边形中最长的对角线等于a, 最短的对角线等b , 则这个正八边形的面积为（ ）A. a2 -i-b2 B. a2 -h2 C.a+b D. ab3焉+ 嬴+ 扁+ 备+ 春+ 我的值是（ ).D2A4. 若是正整数，记 1X 2X 3X -X = ! ，比如 1! =1, 4! =1X2X3X4=24,等等，若 M=1!X2! X3!

145、 X4! X5! X6! X7! X8! X9!,则 M 的约数中是完全平方数的共有（ ）A.504 个 B.672 个 C.864 个 D.936 个5. 将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有)A.16 种 B.14 种 C.12 种 D.10 种二、填空题（ 满分35分，每小题7 分）1回奈的值等于-2. 平行四边形ABCD中， AD=a, CD=b,过点B 分别作AD边上的高ha和 CD边上的W j4 ，已知a N a , hhb,对角线AC=20厘米，平行四边形ABCD的面积为 平方厘米.29Cl 4-303. 已知 0al,并且1a-303+ a- + a- H

146、 -F a- +30= 18 ,则 10a 等于. （ 其中因表示不超过x的最大整数）4. 已知4A B C 中， ZA, ZB, Z C 的外角度数之比为a ： 0 ： y （ a ,B , Y均为正数） ， 则NA ： ZB : N C 等于.（ 用含a ,B, 丫的式子之比表示）5. 当 1W x/X-T + yx-24x- 等于.三、（ 满分10分）已 矢 口 a + b + c = 0, a2 +b2 + c2 - I .（ 1 ） .a b +b c + ca 的值（ 2）求/+Z/+c4 的值四、（ 满分15分）如图所示，六边形 ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE=EF=F

147、A,B _ C并且 NA+NC+NE=NB + ND+NF, / 求证NA=ND, NB=NE, ZC=ZF.五、（ 满分15分） F E（ 1）证明：由2009个 1和任意个。 组成的自然数不是完全平方数；（ 2） 试说明， 存在最左边2009位都是1 的形如11 11* * * 的自然数2009个 1（ 其中* 代表阿拉伯数码）是完全平方数.09年全国初中数学联赛试题及答案时 间 :2009-6-3 14:33:52 点击：158332009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选 择 题 （ 本题满分42分，每小题7 分） . 设则 3 / +12a?-6a- 12 =()DC A

148、.24. B.25, C. 4行 + 10. D, 4 5 + 12.2 . 在aA B C 中， 最大角/ A 是最小角N C 的两倍， 且 A B =7,A C =8,则BC= （）A 7 & . B. 10. C ,而D, 7 s .3 .用 R 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 ， 则 方 程 ， -2 月 - 3 = 的 解 的 个 数为（ ）A.l. B. 2. C. 3. D. 4.4 . 设正方形ABCD的中心为点O , 在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （）_3_ 3 1 _ 4A. 14. B. 7 ,

149、c, 2 . D, 7 .5 . 如图，在矩形ABCD中，AB=3, B C = 2 ,以 BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线A E ,则 Sin/C B E = （ D ）/6 2 1 y ioA. 3 . B, 3, c. 3 . D. 10 .万一19096. 设然是大于1909的正整数， 使 得 2 0 0 9 i 为完全平方数的力的个数是 （）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填 空 题 （ 本题满分28分，每小题7 分）1 . 已知2是实数，若“ 力是关于x 的一元二次方程犬- 2工 + - 1 = 0 的两个非负实根,则（ a2-1 ） ? -1 ） 的最

150、小值是.2 . 设D是 A B C的边A B上的一点，作D E B C交A C于点E ,作D F / / A C交B C于点F ,已知A A D E、Z D B F的面积分别为切和万，则四边形D E C F的面积为.3 . 如果实数& 力满足条件/+/ = 1 , | 1 - 2 0 +力| +2 4 + 1 = /_。2 ,则& + 5 =4 .己知白力是正整数，且满足自 + 根） 是整数，则这样的有序数对3力） 共有_ _ _ _ _ 对 .第一试答案： ACCBDB； 一3, 2标，-1 , - 7第 二 试 （ A）一 .（ 本题满分2 （ ）分）已知二次函数丁= 父+ 嬴+ （ ）

151、的图象与x轴的交点分别为A、B ,与丁轴的交点为C .设aA B C的外接圆的圆心为点P .（ 1 ）证明：O P与丁轴的另一个交点为定点.（ 2 ）如果A B恰好为OP的直径且 因 =2,求3和c的值.解：（ 1 ）易求得点C的坐标为（ ， 。 ）, 设人（ 再,0 ） , B Q 2 , 0 ） ,则再+马 =, 西电=c设。P与 轴 的 另 一 个 交 点 为D ,由于A B、CD是。P的两条相交弦， 它们的交点为点如 =也=且=1O,所以 O A X O B = O C X O D ,贝ij H H .因为。 +bc +ca)10 24 - 2口0 24 - 2(而 + 加 + c a

152、 ) =次代入式，得 4 , 即a b c = 16 ( a 占+ c以 ) 一 40 9 6( a - 16 ) 0 - 16 ) ( c - 16 ) = a b c -1 6( a b +b c+ca ) + 256 ( a + 6 + c ) - 163= - 40 9 6 + 256 x32- 16 3 = 0 ,所以 a = 16 或5 = 16 或c = 16 .结合式可得力+ & = 6或9 + a = 占或c + A = a .因此，以 防 ， 也 ， 而为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为9 0 .下载附件：中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报杯 20 1

153、0 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题( 共5 小题，每小题7 分，共 35分. 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分)1 .若 ，贝 U的值为( ).( A ) ( B ) ( C ) ( D )解： 由题设得.2 .若实数a , b 满 足 ，则 a的取值范围是( ).( A ) a W ( B ) a ，4 ( C ) a W 或 a N 4 ( D ) W a W 4解.C因为b 是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 2 0 ,解得a W或 a2 4 .3 .如图，在四边形 ABCD 中，Z B= 1 3 5 , Z

154、C= 1 2 0 , AB= , BC= , C D =,则 AD边的长为( ) .(A) (B)(第3 题)(C) (D)解：D如图，过点A, D 分别作AE , DF 垂直于直线BC,垂足分别为E , F .由已知可得(第3 题)BE = AE = , CF = , DF = 2 ,于 是 E F = 4 + .过点A 作 AG L DF ,垂足为G . 在 R t aADG 中，根据勾股定理得AD = .4 . 在一列数中，已 知 ，且当k 2 2 时，(取整符号表示不超过实数的最大整数，例 如 ， )，则 等 于 ( ).(A) 1 (B) 2 (03 (D) 4解：B由 和 可得因为

155、 2 0 1 0 = 4 X 50 2 + 2 ,所 以 = 2 .5. 如图， 在平面直角坐标系xO y 中， 等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(L 1 ) ,B (2 , -1 ) , C (-2 , -1 ) , D (-1 , 1 ) . y 轴上一点 P (0 , 2 ) 绕点 A 旋转 1 8 0 得点Pu点P 绕点B 旋转1 8 0 得点P2 点P2 绕点C 旋转1 8 0 得点P3,点P3 绕点D 旋转1 8 0 。得点P” , 重复操作依次得到点P” Pz ,， 则点P2 ” 。 的坐标是( ).(第5 题)(A) (2 0 1 0 , 2 ) (B) (2 0 1 0 ,

156、)(C) (2 0 1 2 ,)(D) (0 , 2 )解：B由已知可以得到，点 ， 的坐标分别为（ 2 , 0 ） , （ 2, ）.记 ，其中.根据对称关系，依次可以求得：f 9 f 令 ，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2 0 1 0 = 4 50 2 + 2 ,所以点的坐标为（ 2 0 1 0 , ）.二、填空题6 .已知a = - 1,则2 a3 + 7 a? 2 a12的值等于解：0由已知得（ a + l ）2=5 ,所以+2a =4,于是2 a+ 7 a” - 2 a 1 2 = 2 a3+ 4 a：+ 3 a! - 2 a- 1 2 = 3 a2+ 6 a 1 2 0

157、 .7 .驶了钟一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间. 过1 0分钟，小轿车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车；再过t分, 货车追上了客车，则弋=解：1 5设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速 度 分别为（ 千米/ 分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， , 由，得，所以，x= 3 0 .故（ 分）.（ 第8题8 . 如图， 在平面直角坐标系xO y 中， 多边形O ABCDE 的顶点坐标分别是0 (0 , 0 ) ,A (0 , 6) , B (4 ,

158、6) , C (4 , 4 ) , D (6, 4 ) , E (6, 0 ) .若直线 1 经过点M (2 , 3), 且将多边形O ABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线1 的函数表达式是(第8 题)解：如图，延长BC交 x 轴于点F ；连接O B, AF CE , DF ,且相交于点N .由已知得点M (2 , 3 ) 是 O B, AF 的中点，即点M 为矩形ABF O 的中心，所以直线把矩形ABF O 分成面积相等的两部分. 又因为点N (5, 2 ) 是矩形CDE F 的中心，所以，过点N (5, 2 ) 的直线把矩形CDE F 分成面积相等的两部分.于是，直线即为所求的直线.

159、设直线的函数表达式为，则解 得 ， 故所求直线的函数表达式为.(第9 题)9 .如图，射线AM, BN 都垂直于线段AB,点E为AM上一点，过点A 作 BE 的垂线 AC分别交BE , BN 于点F , C , 过点C 作 AM的垂线CD,垂足为D . 若 CD= CF ,则解：见题图，设 .因为 R t Z AF BsR t Z ABC,所 以 .又因为F C= DC= AB,所以即 ，解 得 ，或（ 舍去）.又 已 RtA ，所 以 ， 即 =.1 0 .对于i = 2 , 3 , ，k , 正整数n除以i 所得的余数为i - l. 若的最小值 满足 ，则正整数的最小值为解： 因为为的倍数

160、，所以的最小值满足其中表示的最小公倍数.由于9因此满足的正整数的最小值为.三、解答题（ 共 4 题，每题2 0 分，共 8 0 分）1 1 .如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D 是线段PC上的一点，BE 和 CF 分别是AABD和4 ACD的外接圆直径，连接E F . 求证：（ 第 1 2 A题）（ 第 1 2 B题）（ 第 1 1 题）（ 第 1 2 B题）证明：如图，连接E D, F D. 因为BE 和 CF 都是直径，所以E D1 BC, F D1 BC,因此D, E , F 三点共线. . . . . . . .（ 5 分）连接AE , AF ,则（ 第 1 1 题）

161、所以，ABCS AE F . . . . . . . . （ 1 0 分）作 AH _ L E F ,垂足为H , 则AH = PD. 由 ABCs AE F 可得从而所以（ 2 0 分）1 2 . 如图， 抛 物 线 （ a 0 ） 与双曲线相交于点A, B .已知点A 的坐标为（ 1 , 4 ） ,点 B 在第三象限内，且 A O B 的面积为3 （ 0 为坐标原点）.（ 1 ）求实数a , b , k的值；（ 2 ）过抛物线上点A 作直线A C x 轴，交抛物线于另一点C , 求所有满足A E O C A A O B 的点E的坐标.（ 第 1 2 题）解： （ 1 ）因为点A （ 1 ,

162、 4）在双曲线 上，所以k = 4. 故双曲线的函数表达式为.设点B （ t, ） , , A B 所在直线的函数表达式为，则有解 得 ，于是，直线A B 与 y 轴的交点坐标为，故,整理得，解 得 ，或 1 = （ 舍去）. 所以点B的坐标为（， ）.因为点A , B 都在抛物线（ a 0 ）上，所以 解得 . . . . . . .（ 1 0 分）（ 2 ）如图，因为A C x 轴，所以C （ , 4）,于是C 0 = 4 .又B 0 = 2 ,所 以 .（ 第 1 2 题）设 抛 物 线 （ a 0 ）与x 轴负半轴相交于点D,则点D的坐标为（，0 ）.因为N C 0 D = N B 0

163、 D =，所以N C 0 B = .（ i ）将绕点0 顺时针旋转，得到. 这时，点 （，2 ） 是 C O 的中点，点的坐标为（ 4 ,）.延 长 到 点 ，使 得 =,这 时 点 （ 8,）是符合条件的点.（ 打） 作 关 于 x 轴的对称图形 , 得 到 点 （ 1,） ； 延 长 到 点 , 使 得 =,这时点E ? （ 2,）是符合条件的点.所以，点的坐标是（ 8,），或 （ 2 , ） . . . . . . . . （ 2 0 分）1 3 . 求满足的所有素数p 和正整数n.解：由题设得，所 以 ，由于p 是素数，故 ，或. （ 5 分）（ 1 ）若 ，令 ，k 是正整数，于 是

164、 ，故 ，从 而 .所以解得 . . . . . . .（ 1 0 分）（ 2 ）若 ，令 ，k 是正整数.当 时 ，有 ，9故 ，从 而 ，或 2 .由于是奇数，所 以 ，从而.于是这不可能.当 时 ， ， ；当 ， ，无正整数解；当 时 ， ，无正整数解.综上所述，所求素数p = 5 , 正整数m = 9 .（ 2 0 分）1 4. 从 1 , 2 , 2 0 1 0 这 2 0 1 0 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被3 3 整除？解：首先，如下6 1 个数：11,，（ 即 1 9 9 1 ）满足题设条件 . . . （ 5 分）另一方面，设 是 从

165、 1 , 2 , ，2 0 1 0 中取出的满足题设条件的数，对于这 n 个数中的任意4 个 数 ，因为， ，所以因此，所取的数中任意两数之差都是3 3 的倍数. . . . . . . .（ 1 0分）设 ，i = l , 2 , 3 , ，n .由 ，得 ，所 以 ， ，即 1 1 . . . . . . . . （ 1 5 分）故 W 6 0 . 所以，n W 6 L综上所述，n的最大值为6 1 .（ 2 0 分）2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第 一 试选 择 题 （ 每小题7分，共42分 ）1、化简塞的结果是（） .V 6 + V 2、五; 、*； 、2 ； （ 0、答案

166、：0（考查利用完全平方式变形开方的能力）解：1 3 + A = （ 2 g + i + 4石= （ 1 + 2历，5 - （ 1 + 2折=4- 2 0 = （ 6 - 1 ） 2 ,3 + (道 1 ) = 2 +有 = 4 + 2立=( 6 + 1 ) : = + 9 ,因此原式= _1 .2 2 2 22、A A B C是一个等腰直角三角形，O E E G是其内接正方形，” 是正方形的对角线交点;那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ） .、1 2 ； 、1 3 ；、2 6 ； （ 。） 、3 0 .答案：C.考查图形的分类计数、排列组合解：设A B = 3 ,图

167、中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成1 0对全等三角形； 斜边长为血的有6个， 它们组成1 5对全等三角形； 斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计2 6对.3、设MHO ,且函数/ ； （ 幻 =/+2 + 4匕与力（ 乃 = 炉 +4利 +2 8有相同的最小值；函数力（ x ） = - + 2 b x + 4 a与力（ x ） = - + 4法 +2 a有相同的最大值v ；则 “ + u的值（） .（ A ）、必为正数；（ B ）、必为负数；（ C ）、必为0 ；（ 。） 、符号不能确定.答案：。. 考查二次函数的最值，导出a、b间的关系解：f (

168、. ) = ( x + a )2 +4b -cr 4b -a2, f2( x) = ( x+2a )2 +2b -4a2 2b -4a ,由 4 Z ? / = = 2 /? 4 a 2 ,得一2 Z ? = 3 / . . .力( x) = -( x-b )2 + 4a + b2 4a + b2, f4( x) = -( x-2b )2 + l a + 4b2 2a + 4 /72 ；由 4。+ /= v = 2 + 4 ，得 2。= 3 2- 得，2 ( 4 + 加 =3 (一。2 ) ,所以4 + 8 = 0 ，或b a = 3若a + 6 = 0 ,贝U 2 ( + v ) = ( 6

169、b - 5 a2) + ( 6a + 5 b2) = ( a + 6) 6 + 5 ( b- a ) l = 0 ；2 2若人a = ,据，2 ( 8一) = 3 ，即( 3 6- 1 ) 2 + 3 = 0,矛盾！4、若关于x的方程/ +2奴 +7。-1 0 = 0没有实根，那么，必有实根的方程是( ) .( A )、x? + 2 J X+3 a 2 = 0 ； ( B )、x + 2 t z x+ 5a 6 = 0 ；( C)、x + 2,cix +1 Oct _ 2 1 = 0 ； ( /) ) 、x + 2.cix + 2a + 3 = 0 .答案：A .解 ： 由方程一 + 2以 +

170、7。 -1 0 = 0无实根， 得其判别式0 ,于是2 a 5,方程A 8, C,。的判别式分别是：= 4 ( a l) ( a 2 ) , & = 4 ( a 2 ) ( a 3 ) , Ac = 4 ( a 3 ) ( a 7) , , , = 4 ( a + l) ( a 3 ) ,显然, 对于满足2 a 0 ,但不能保证 ,Ac , . 非负，( 即使得方程氏C,。无实根的。的区间与区间( 2 , 7)都有重叠部分，而使方程A无实根的。的区间( 1 , 2 )与区间( 2 , 7)无重叠部分) ，所以A必有实根, 其余方程不一定有实根.5、正方形A 8 C O中，E,尸分 别 是 上

171、的 点 ，D E交AC于M , A F交BD于N ；若 A F 平 分 A B A C , D E A . A FB E B Nx = - , y = - ,O M - O N2 =竺， 则有( ).B F( A )、x y z ； ( 3 )、x = y = z ；( C)、x = y z ； ( 。) 、x y = z .答案： 。 考查角平分线定理、相似三角形、三角形中位线定理。解 ： 由， 丝=空=逝=4 =立， 即y = z = V L又AAM E的角分线与高重合， 则O N AO AB BFA A M E为等腰三角形，= 作O P A B ,交OE于P ,则OP为A D B E的中

172、位线，RF BFAO MPSAME, X =2,所以x y = z .O M O P -6、将L 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7, 8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（） .（ A ）、4种； （ 8 ）、8种； （ 。）1 2种、 ； （ 。） 、1 6种.答案：3考查分类计数有理解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是8的两侧为3 , 5,而7的两侧为4 , 6；剩下两数1 , 2必相邻，且1与4 , 6之一邻接；考虑三个模块4 , 7, 6 , 5, 8, 3 , 1 ,

173、 2 的邻接情况，得到8种填法.二、 填 空 题 （ 每小题7分，共2 8分）1、若攵个连续正整数之和为2 0 1 0 ,则 女 的 最 大 值 是 .答案：6 0 .考查等差数列求和公式。解：设2 0 1 0 = （ + 1 ） + （ + 2 ） + +5 + % ） =。 +” （ ,1 ）,则% （ 2 +女+ 1 ） = 4 0 2 0 ,注意左 k 6 一几 ,% 一6 + = 3 2k -6 -n =1, 、攵 -6 + = 1 6 % 6 + = 2或 或 攵一6一= 2 k-6 -n =解 得 匕 = 万 （ 不是整数，舍去） ，七= 1 5 ,匕 =1 2% 2 = 1 5

174、 时，。+ 力=1 7,。 / ? = 6 0 = 。= 5 , = 1 2 ,c = 1 3匕 = 1 2时，a + Z ? = 1 4 ,a / ? = 4 8= Q = 6 , = 8,c = 1 0二、( 2 5分 ) 如 图 ，自A 4 8 C内的任一点P,作三角形三条边的垂线:PDLBC, PE1CA, P F 1 A B ,若 BD = BF,CD = CE ；证明：AE = AF.证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等. 可用勾股定理证明连 PA, PB, P C ,则有 PA1 + BF2 = PB1 + A F2 ；PB- + CD- =

175、PC2 + BD1, PC2 + AE2 = PAr + C E2 ；三式相加得 AE1 + CD- + BF =AF2+ CE2 + BD2,利用条件3。= 38 =虑，代入上式，A E = AF.三、（ 2 5分）已知a ,b ,c为正整数，且 华 士 也为有理数，证明为整数.y/3b + c a + h + c考查恒等变形的能力与有理数的条件证：因G是无理数，则 显 一CNO ,而 . + = （ & + ） （ 回 二 ）J3b + c 3b-c2飞零二也为有理数，所以“g。，于是cr +/?2 + c2 = (Q + /? + C)2 - 2 ( a b b e + a c) = (

176、 a + b + c)2 - 2( a b + beb2)Z 7- + 2 + C 2= ( a + h + c ) 2 -2 / ? ( o + c +。 ) = ( a + Z ? + c ) (。一人+。 )， 因此，-= a - b + c 为a + b + c整数.2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：( 本题满分4 2分，每小题7分)1 . 若4 ,4 C 均 为 整数且满足+ , 则 | 。一。|+c |+ | 。 一研( )A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.2 .若实数a ,仇c满足等式2G+ 3 |以 =6 , 4 6 -9 | b | = 6 c

177、,则. . 可能取的最大值为( )A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.3.若。 力是两个正数,A . 0八 。+。，W， -1.3,4C. 一.3且 +曰+ 1 = 0 ,则 (b aB. 6f + l.34D . 一 则V + y2= _x + y = l ,2 .二次函数y = /+ 法 +。 的图象与x 轴正方向交于A, B 两点，与 y 轴正方向交于点 C . 己知 AB = J i4 C , N C 4 O = 3 0 ,则。 =.3 . 在等腰直角AABC 中，AB = BC=5, P 是AABC 内一点，且 P A = J , PC=5,贝 ij PB=_.4 . 将若

178、干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5 个或10个球的两个球必为同一种颜色的球. 按这种要求摆放， 最多可以摆放个球.第二试(A)一 . ( 本 题 满 分 2 0 分 ) 设 整 数 c ( a b c )为 三 角 形 的 三 边 长 ，满足c r + b1 + c2- a b - a c - b c = 3 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二. ( 本题满分35分 ) 已知等腰三角形aA B C 中，AB=AC, N C 的平分线与A B 边交于点P, M 为A A B C 的内切圆。I 与 BC边的切点，作 M D/AC,交。I 于点D.

179、证明：PD是。I 的切线.三. ( 本题满分35分)已知二次函数y = x2+ h x - c的图象经过两点P(l,a) ,Q(2,10a).( 1) 如果a, c 都是整数，且 c /? - c ) + ( a - c )- =26 令a -b = m , b - c = n ,则a c = m+相，其 中 均 为 自 然 数 。于是，等式变为M + 2+ (加 + )2=26 ,即m2 +n2 + m n - 13 由于加 ，均为自然数，判断易知：使得等式成立的2，只有两组： 和 on = 1 = 3(1 )当z = 3, = 1 时，Z ? = c + 1, a = + 3 = c +

180、4。又a , b , c为三角形的三边长，所以8+ CQ,即( c + l ) + c c + 4 ,解得c 3。又因为三角形的周长不超过30 ,25即a + 0 + c = ( c + 4 )+ ( c + l ) + c 30 ,解得。因此3 c + 4 ,解得c l。又因为三角形的周长不超过30,23即a + c = （ c+4） + （ c+3） + cW 30,解得c 4可 。23因此3所以c可以取值2, 3, 4, 5, 6, 7 ,对应可得到6个符合条件的三角形。综上可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5 + 6 = 11。解：过点P做/的切线PQ （ 切点为Q ）并延

181、长，交BC于点N。因为CP为NACB的平分线，所以NACP = NBCP。又因为9 4、PQ均 为 / 的 切 线 ，所以NA PC = NNPC。又CP为公共边，所以反 仃 三 &丫 。 ，所以N PA C = PNC。由 NM = Q N , B A = BC,所以 AQMW ABAC,故乙N MQ = Z A C B ,所以 M。/ A C .又因为MD4 C ,所以皿和M。为同一条直线。又点。、。均 在 / 上 ，所以点0和点。重合，故 是 / 的 切 线 。解：点尸（ 1,a）、Q（ 2,10a）在二次函数旷=一+ 法一。的图象上，故l+ b -c = a,4 + 2 a c - 1

182、 0a ,解得Z ? = 9a 3, c = 8a 2。8cz 2 9 u 3（1）由 c /? 8a 知 ，解得 1 a 3。9a 3 8a又。为整数，所以a = 2 ,。= 9。一3 = 15, c = & 2 = 14。（ 2） 设m, 是方程的两个整数根，且加（。由根与系数的关系可得/ + = Z ? = 3 9a , m n = c - 2 S a,消去a ,得97m 8（ m+/i） = -6 ,两边同时乘以9 ,得8bw?-72（ m+ ） = - 5 4 ,分解因式，得（ 9m-8） （ 9n-8） = 10o所. 以9加一8 = 19 - 8 = 109加一8=29 - 8

183、= 59 加一 8 = 109 8 = 19m-8 = -59 一 8 = 2解得4m = n - 2102或，t n = 一9或Q,即( c + l ) + c c + 4 ,解得c 3。又因为三角形的周长不超过3 0,2 5即Q+Z7 + C = (C+4)+(C+1) + C 3 0 ,解得2 5因此3 。 。，即( c + 3 ) + c c + 4 ,解得c l。又因为三角形的周长不超过3 0,2 3即+ 力+ c = ( c + 4 ) + ( c + 3 ) + c K 3 0,解得c W不 。2 3因此1。 1 ,贝IJ左 一 10。因为玉+ % = -p为整数，如果再，乙 中

184、至少有一个为整数，则，超都是整数。又因为p为质数，由式知p|% +2或p|w + 2。不 妨 设p |% + 2 ,则可设玉+2 = 呻 ( 其 中 加 为 非 零 整 数 ) ，则由式可得c k T+ 2 =-,m左 左一故( +2) + ( / +2) = mp-， 即 + / + 4 = mpT-。m m I又玉+ 工2=一，所以一 + 4 = W+-,即m(m + 1) p + -一- = 4 mk如 果 加 为 正 整 数 ， 则(m + l)p 2 ( l + l)x3 = 6 , 0 ，从 而m 一 1(m + 1)pH- 6 ,与式矛盾。m 1 4_1如果加为负整数，则(m +

185、l)p0, - - 0 ,从而( ， + 1)+ 立一1时，方程 + x+(Z + l) 4 = 0不可能有整数根。综上所述， = 1。2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和。分两档;第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：( 本题满分4 2分，每小题7分)1 .已 知 a + b = 2 , +(1 -= 一4 ,则。的 值 为b a( ), 1 1A . 1. B . 1. C

186、 . . D. .2 2【 答】B .由 (l a) + 0 二/ 21_ _ _ 4可得只(1_ )2 +b ( -h )2 = 4a b ,b a即( a +切一 2(Q2 + b2)+ a3+ b3 +4a b = Q,B P 2 - 2 ( t z2 +b2) + 2 ( a2-a b + b2) + 4a b = 0 ,即 2 2 a/2 + 4 aZ ? = 0 ,所以， 力= l .2 .已知 A B C的两条高线的长分别为5和2 0,若第三条高线的长也是整数， 则第三条高 线 长 的 最 大 值 为( )A . 5 . B . 6 . C. 7. D . 8 .【 答】B .2

187、 s 2 6设 A B C的面积为5 ,所求的第三条高线的长为，则 三 边 长 分 别 为 三 , 二 , 二 .显5 2 0 h然 分 3 .,于是由三边关系，得5 2 02S一52ST25T至5+s- OS-o2-22-2解得 4 /?一 .3所以/I的最大整数值为6 ,即第三条高线的长的最大值为6 .3 . 方程 |x2- l |= ( 4 - 2 V 3 ) ( x + 2 ) 的解的个数为( )A . 1个 B . 2个 C. 3个 D . 4个【 答】C.当|x |2 1 时，方程为/ i = ( 4 2 g) ( x + 2 ) ,即， ( 4 2后) x 9 + 4g = 0

188、,解得玉= G，X2= 4 -3A/ 3 ,均满足|X|21.当| x | l时，方程为 1 一%2 = (4 2V)(X + 2 ) , 即+( 4 2百) x + 7 4石= 0 ,解得七=8 2 ,满足| 尤| = （ ）或 ， 工2一4。= 2.又。2 - 4。0,所以J2 4C= 2 .又O C = O B ,即c=_b + J匕 _ 4 , 得 + 2C = V = 2.23 .能使2 +2 5 6是 完 全 平 方 数 的 正 整 数 的 值 为 .【 答】1 1 .当“ 8时，2 +2 5 6 = 2 1 2 ” - 8 + 1 ） ,若它是完全平方数，则2 / + 1为一奇数

189、的平方。设2 - 8 + 1 =（ 2左+ 1 ） 2仪为自然数） ，则2 T=以Z + 1 ） .由于我和Z + 1一奇一偶，所以攵=1,于是2T = 2 ,故 = 1 1 .4 .如图，已知A B是。的直径，弦C。与A B交于点E ,过点A作圆的切线与C。的2 01 1年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准延长线交于点凡如果O E = 3 C E , A C = 8百，。为E F的中点，则4A B = .【 答】2 4.设C E = 4 x , A E = y ,则 D E = O E = 3 x, E 77 = 6 x .连AD, B C .因 为A B为。 的直径，A F为。 的

190、切线，所以Z E A F =90, Z A C D = Z D A F .又因为。为R t A E F的斜边EF的中点，D A = D E = D F , ： . Z D A F Z A F D ,： . Z A C D = Z A F D , ： . A F = A C = S45.在 RtA4EF 中，由勾股定理得 E F2 = A E2 + A F2,即 36x2 = y2 +320 .设3 E = z ,由相交弦定理得C E D E = A E B E ,即yz = 4x-3x = 1 2 /,V +320 =3yz 又 : A D = D E , ： . Z D A E = Z A

191、E D .5 L 4 D A E = 4 B C E , N A E D = N B E C , ： . 4 B C E = 4 B E C ,从而 8 C = 6 E = z .在 RtZACB 中，由勾股定理得 A B2 A C2+ B C2, BP( + z)2 =320 + z2,y? + 2yz = 320 . 联立，解得y = 8, z = 16.所以 A B=A E+B： =24.第 二 试 (A)一 、 ( 本 题 满 分 2 0 分 ) 已 知 三 个 不 同 的 实 数a,d c满 足a 0 + c = 3 ,方程V + a x + J O和x2+bx+c = 0有 一 个

192、 相 同 的 实 根 ， 方 程f + x+ a = O和/+ 5 + 8 = 0也有一个相同的实根. 求a / , c的值.解依次将题设中所给的四个方程编号为，.设花是方程和方程的一个相同的实根，贝 “ 千 +.|+1 =。两式相减，可解得% ； + 如 + c = 0,5分设 它 是方程和方程的一个相同的实根，贝J ； + + = 0 两式相减，可解得x； + % + b = 0,a - boc 1所以2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页 ( 共8页)x,x2 = 1 .10分又方程的两根之积等于1 ,于是看 也是方程的根，则X； + 1 = 0。又x；+ 尤2+a

193、 = 0 ,两式相减， 得（4 .1 ）=4 1. .15分若。=1 ,则方程无实根，所以a w l,故于是 a = -2,Z? + c = _ . 又a-Z? + c = 3 ,解得 b -3 ,c -2 . .20分二（ 本题满分25分）如图，在四边形ABC。中，已知N84O = 60, ZABC=90,Z5CD = 120,对角线AC,8。交于点S ,且OS = 2S6, P为4 c的中点. 求证：（1）ZPBD=30； （ 2） AD =D C .证 明（1）由 已 知 得ZADC=9 0 ,从而A,B,C,D四点共圆，AC D为直径，P为该圆的圆心. . . . . . . . .

194、. . . . . . . .5分 / 作于点M , 知M为8 0的中点， 所以= / = ZA = 6 0 ,从而 NP6M = 30. .10 分（ 2）作 SN_L BP于 点 N ,则 SN =. A2又 DS = 2SB,DM = MB = LBD,3 1MS = D S -D M = 2SB SB = -SB = SN ,：.RtA PMSRtA PMS , A NMPS=Z2Vps = 30,又 PA=PB ,所以 NPAB = L/NPS = 15 ,故 NOA G450 = N O C /,所以2AD =D C .25分三. ( 本题满分25分 )已知小， 为正整数， 加.

195、设4一旬 ，B(,0), C(0,p),。为坐标原点. 若NACB = 9 0 ,且 。A?+。 已2+2 =3(04 +。8 + 0。).( 1)证明：机 + = p + 3；（ 2）求图象经过A R C三点的二次函数的解析式.解 ( 1 )因为NACB = 90, OC L A B ,所以。即 掰 = / .由 O A2 +0B2 +0C2 = 3(O A + O B + 0C) , 得m2 + n2 + p2 = 3(m + n + p ). . 5 分又in2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 - 2(inn + np + mp) = (/ + + p)2 - 2(/?

196、2 + np + inp)=(/%+ + p)2 -2p(m + n + p) =(m + n+ p)(m + n - p),从 而 有 m+ n - p -3 , 即2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页 ( 共8页)m + n = p + 3. .10 分(2 )由，= = p + 3知加， 是关于x的一元二次方程- ( + 3)x+p2 =0 的两个不相等的正整数根，从而A=-(p + 3) -4p2 0 ,解得一1 = 60, ZABC = 9Q,/B C D = 120,对角线 AC,BD交于点 S ,且 QS = 2SB .求证：A D D C .证明 由已

197、知 得NADC = 90。 ， 从而四点共圆，AC为直径.设尸为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心.5分作PA /，于点/ ，则M为8。的中点， 所以/B P M = - ZBPD =2ZA = 6 0 ,从而NP8M = 30. .10 分作SN BP于点N ,则SN =SB .2又 DS = 2SB,DM = MB = 3B D ,3 1M S=D S DM =2SB SB = SB = S N , .2 215分. RtA PNS , A AMPS = ZNPS = 30,又 PA= PB ,所以 NPA8 = L /N P S = 15 ,所以 NZMC= 45 = NDC

198、4 ,所以2AD = D C.25分2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页 （ 共8页）三 . （ 本题满分25分） 已知也小p为正整数， ? 0 ,解得1 3。又 为 正 整 数， 故 p = l 或p = 2. .15 分当 = 1时，方程为工2 -4元+ 1 = 0 ,没有整数解.当 = 2时，方程为一一5% + 4 = 0 ,两根为加=1, = 4.综 合 知：加= 1, = 4, = 2 .20分设图象经过A,优。三点的二次函数的解析式为y = Z(x + 1)。 -4),将点C(0,2)的坐标 代 入 得2 = & x lx (-4 ),解得攵= , .2所以

199、，图象经过A ,B ,C三点的二次函数的解析式为1 1 , 3y = (x + l)(x-4) = x* + x + 2 .25分第 二 试(C)一. ( 本题满分20分)题目和解答与( A )卷第一题相同.二. ( 本 题满分25分 )如图，已知P为锐角ABC内一点，过P分别作BC,AC,4B的垂线，垂足分别为。， 及 / ，3M为NA8C的平分线，M P的延长线交A 8于点N.如果P D = P E + P F ,求证：CN是NAC3的平分线.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 7 页 （ 共 8 页）证明 如 图 1 ,作脑乩于点MM2 L A B 于点A G ，N

200、N】 于点N -NN? AC 于点 N2.设 NP = ANMW , IIPDII MMND = M M .5 分若 NNM M如图 2 , 作 NH 分别交PO 于点”, 则NP” |PH NPs/N M H , ； . L = A, ：. PH.MH NMAMH ,PD = PH、 +HH =AMH + N N =尢 (M M NN、 ) + NN +(1 凡 叫 .若 NN】 =,则 PD = NN1= MM, = AMMt + (1 - 4)NN若NN、 MM,同理可证PD = AMM +Q 九 )NN15分： PEIINN2, /.PE PM= = 1 -A , :. PE = (1-4)N N ,.NN2 NM 2PF II MM 2PF _ NPMM2 N MPF = 2.20分又 PD= PE+ PF, ： . AMM + (1 QNN = AMM2 + ( 1 -心NN又因为BM是 NABC的平分线，所 以 脑 外 = 加 ”2 ， （ 1 - / 1 ） , =（ 1 - 2 ） AW2.显然丸。1 , 8 1 1 1 - 2 0, NN=NN2，：.CN 是 NACB 的平分线.- 2 5 分三 . （ 本题满分2 5 分）题目和解答与（ B ）卷第三题相同.2 01 1 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 8页 （ 共 8页）