重庆邮电大学信号与系统课件ppt第4章.ppt

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1、第四章 LTI连续信号与系统的复频域分析4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.2 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换4.4 4.4 拉普拉斯与傅里叶变换的关系拉普拉斯与傅里叶变换的关系4.5 4.5 连续连续LTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法4.6 4.6 连续连续LTILTI系统的复频域系统函数系统的复频域系统函数4.7 4.7 连续连续LTILTI系统的稳定性系统的稳定性4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部1. 1. 从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换从傅

2、氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换有以下不足之处：傅里叶变换有以下不足之处：傅里叶变换有以下不足之处：傅里叶变换有以下不足之处： ( ( ( (1 1 1 1) ) ) ) 要求信号要求信号要求信号要求信号f f( ( ( (t t) ) ) )绝对绝对绝对绝对可积。而有些常用信号不满足该条件，可积。而有些常用信号不满足该条件，可积。而有些常用信号不满足该条件，可积。而有些常用信号不满足该条件，不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而且其变换式中常不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而且其变换式中常不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而

3、且其变换式中常不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。而且其变换式中常含有冲激函数，使分析计算麻烦含有冲激函数，使分析计算麻烦含有冲激函数，使分析计算麻烦含有冲激函数，使分析计算麻烦 (2)(2) 有些重要函数如有些重要函数如有些重要函数如有些重要函数如e eatat ( ( ( (a a0) 0) 0) 0) 的傅里叶变换不存在，无法的傅里叶变换不存在，无法的傅里叶变换不存在，无法的傅里叶变换不存在，无法用傅里叶分析方法处理。用傅里叶分析方法处理。用傅里叶分析方法处理。用傅里叶分析方法处理。 而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到而拉普

4、拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，把频域扩展到复频域，解决了上述不足。复频域，解决了上述不足。复频域，解决了上述不足。复频域，解决了上述不足。 (4)(4)傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初傅立叶变换分析法只能确定零状态响应。故分析具有初始状态的系统时，不太方便始状态的系统时，不太方便始状态的系统时，不太方便始状态的系统时，不太方便(3) (3) 傅里叶变换的反变换比较难求傅里叶变换的反变换比较难求傅里叶变换的反变换比较难求傅里叶变换的反变换

5、比较难求通信基础教学部通信基础教学部1. 1. 从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换 一些信号不满足绝对可积条件，其傅立叶变换不存在。可引一些信号不满足绝对可积条件，其傅立叶变换不存在。可引入一个衰减因子函数入一个衰减因子函数 e t ( 为任意实数为任意实数)，用它与信号，用它与信号 f (t)相乘成相乘成为新的函数为新的函数 f1(t)= f (t) e t , 这个新函数满足绝对可积条件。据这个新函数满足绝对可积条件。据此，可写出该函数的傅氏变换：此，可写出该函数的傅氏变换： 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换令令定义该式为信号定义该式为

6、信号f(t)的双边的双边拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称，简称拉氏变换拉氏变换。通信基础教学部通信基础教学部 反之，亦可以根据傅氏反变换，求新的函数反之，亦可以根据傅氏反变换，求新的函数 f( t) e t : 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换等式两边同时乘以等式两边同时乘以e+ t 得：得：则则而而时时上式可写为：上式可写为：定义该式为定义该式为拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换，简称，简称拉氏反变换拉氏反变换。通信基础教学部通信基础教学部 于是，得到一个于是，得到一个拉氏变换对拉氏变换对：拉氏正变换拉氏正变换拉氏反变换拉氏反变换 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基

7、础教学部 2. 2.双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域ROCROC (Region of Convergence)(Region of Convergence)由于由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号的双边拉普拉斯变换是信号 f(t)e-t 的傅里叶变换，因此，的傅里叶变换，因此，若若 f(t)e-t 绝对可积，即绝对可积，即则则 f(t) 的双边拉普拉斯变换一定存在。的双边拉普拉斯变换一定存在。 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 通常把使通常把使通常把使通常把使f f( ( ( (t t) ) ) )e e t t满足绝对可积条件的满足绝

8、对可积条件的满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉值的范围称为拉普拉值的范围称为拉普拉值的范围称为拉普拉斯变换的斯变换的斯变换的斯变换的收敛域收敛域收敛域收敛域（region of convergenceregion of convergenceregion of convergenceregion of convergence，ROCROCROCROC）。在收敛域内，）。在收敛域内，）。在收敛域内，）。在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯

9、变换不函数的拉普拉斯变换存在；在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。存在。存在。存在。通信基础教学部通信基础教学部可见，可见，F(s)是否存在取决于能否选取适当的是否存在取决于能否选取适当的使信号使信号 f(t)e-t 收敛收敛。进一步说，由于进一步说，由于 是复频率是复频率s的实部，的实部，=Res，所以，所以，F(s)是否是否存在取决于能否选取适当的存在取决于能否选取适当的 。由于。由于F(s)的收敛域由的收敛域由s 的实部的实部决定，与决定，与s的虚部的虚部j无关，所以无关，所以, F(s)的收敛域的边界是平行于的收敛域的边界是平行于j轴的直线（如图）。轴的直线（如图）。0j0收敛坐标收

10、收敛敛域域 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部例例例例求收敛域。求收敛域。解：解： （1）欲使）欲使 成立成立必须满足必须满足 即即 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部方法（方法（2） 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部例例例例求收敛域。求收敛域。解：解： 欲使欲使 成立成立必须满足必须满足 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部例例例例求收敛域。求收敛域。解：解： 欲使欲使F(s)存在，除非存在，除非即即 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通

11、信基础教学部由上例已知，对由上例已知，对有收敛域有收敛域故，当故，当 时，时，f(t) 的收敛域为的收敛域为 时，时，f(t) 的收敛域不存在，的收敛域不存在，F(s)不存在。不存在。 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部3. 3. 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 时间域为（时间域为（ ，）的拉氏变换叫做）的拉氏变换叫做双边拉氏变换双边拉氏变换。但是，由于现实信号都是有始信号，拉氏变换的积分从但是，由于现实信号都是有始信号，拉氏变换的积分从 t= 0 开开始，即：始，即： 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通

12、信基础教学部典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换1. 1.冲激信号冲激信号冲激信号冲激信号证明：证明：证明：证明： 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部2. 2.单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号对于单边拉氏变换对于单边拉氏变换证明：证明： 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部3. 3. 指数信号指数信号指数信号指数信号证明：证明：若若 则有则有 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部4. 4. 正弦信号正弦信号正弦信号正弦信号 4.1 4.1 拉普拉

13、斯变换拉普拉斯变换证明：证明：通信基础教学部通信基础教学部5. 5. 单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部5. 5. 单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号单边衰减正弦信号4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换同理：同理：同理：同理：通信基础教学部通信基础教学部6. 6. 单边双曲函数单边双曲函数单边双曲函数单边双曲函数证明：证明：4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通信基础教学部通信基础教学部7. t 7. t 的正幂信号的正幂信号的正幂信号的正幂信号 4.1 4.1 拉普拉斯变

14、换拉普拉斯变换令令 u= t n dv= e- stdtdu = n t n-1dt v = -e-st/ sLLLL证明：证明：通信基础教学部通信基础教学部典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换原函数原函数原函数原函数像函数像函数像函数像函数通信基础教学部通信基础教学部作业作业作业作业q4.1 4.1 （2 2）（）（3 3）q4.2 4.2 （b b）通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质1 1 线性性质线性性质线性性质线性性质若若则则拉氏变换性质与傅里叶变换性质极为相似。在某些性质中，拉氏变换性质与傅里叶变换性质极为相似。在某些性质中，只要把傅氏变

15、换中的只要把傅氏变换中的j 用用s替代即可。替代即可。例：例：例：例：解：解：解：解：例：例：例：例：解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 2 2、比例性、比例性、比例性、比例性若若若若 ，则则则则例：例：例：例：解：解：解：解：若若若若 ，则则则则傅氏变换通信基础教学部通信基础教学部 请注意请注意 a0 的限制，因为的限制，因为 f( t) 是有的的始信号，若是有的的始信号，若 a 0 的时间区间为零，因而其单边拉氏变换将为零。的时间区间为零，因而其单边拉氏变换将为零。如图所示如图所示4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教

16、学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 3 3、时移性、时移性、时移性、时移性若若若若 ，则则则则例：例：例：例：解：解：解：解：解：解：解：解：（不能用时移性）（不能用时移性）（不能用时移性）（不能用时移性）例：例：例：例：若若若若 ， 则则则则傅氏变换通信基础教学部通信基础教学部例例例例求下列波形的拉氏变换。求下列波形的拉氏变换。解：解：1 ）2 ）3 ）4 ）4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质其其其其中中中中 为为为为周周周周期期期期信信信信号号号号第第第第一一一一周周周周期期期期

17、信信信信号号号号波波波波形形形形（即即即即 时时时时的的的的信信信信号波形）的拉普拉斯变换，号波形）的拉普拉斯变换，号波形）的拉普拉斯变换，号波形）的拉普拉斯变换， 为周期信号的周期。为周期信号的周期。为周期信号的周期。为周期信号的周期。周期信号的拉普拉斯变换周期信号的拉普拉斯变换周期信号的拉普拉斯变换周期信号的拉普拉斯变换周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换等比数列等比数列等比数列等比数列通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例：例：例：例：解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质

18、拉氏变换的性质例：例：例：例：解：解：解：解：例：若例：若例：若例：若 ，则，则，则，则 解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部求半波整流信号求半波整流信号 f (t) 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 4 4、频移性、频移性、频移性、频移性若若若若 ，则则则则可见：时域里可见：时域里 f(t) 乘以乘以 相当于复频域里相当于复频域里F (s) 发生了发生了 移动。移动。 傅氏变换频移性频移性通信基础教学部通信基础教学部求求 已知已知解：解：4.2 4.2 拉氏变换的性质

19、拉氏变换的性质例：例：例：例：解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 5 5、时域微分、时域微分、时域微分、时域微分若若若若 ， 则则则则类推：类推：类推：类推：若若若若 ，则则则则傅氏变换通信基础教学部通信基础教学部证明：证明： L4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质L LL通信基础教学部通信基础教学部L则则LL4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部设设求求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：解法一：解法一：4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基

20、础教学部通信基础教学部解法二：解法二：尽管尽管 但但 4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部例：例：例：例：解：解：解：解：4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部v 6 6、时域积分、时域积分、时域积分、时域积分若若若若 ，则则则则其中其中其中其中傅氏变换中的傅氏变换中的时域积分性质时域积分性质若若若若则则则则4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部证明：证明： L

21、LLLL4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部例例例例求求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部v 7 7、时域卷积定理、时域卷积定理、时域卷积定理、时域卷积定理若若若若 、 为因果信号，且为因果信号，且为因果信号，且为因果信号，且 、 则则则则例：例：例：例：解：解：解：解：傅氏变换4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 4.2

22、4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质若若则则 积分路线积分路线=c时时F1()和和F2(s)的收敛域重叠部分内与虚的收敛域重叠部分内与虚轴平行的直线。这里对积分路线的限制较严，积分复杂，应用轴平行的直线。这里对积分路线的限制较严，积分复杂，应用较少。较少。对比傅氏变换的对比傅氏变换的频域卷积定理频域卷积定理8 8 8 8 复频域卷积定理复频域卷积定理复频域卷积定理复频域卷积定理通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质v9 9、复频域微分、复频域微分、复频域微分、复频域微分若若若若 ， 则则则

23、则类推：类推：类推：类推：例：例：例：例：解：解：解：解：傅氏变换通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 1010、复频域积分、复频域积分、复频域积分、复频域积分若若若若 ，且且且且 ，则则则则例：例：例：例：解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 1111、初值定理、初值定理、初值定理、初值定理若若若若 ，且，且，且，且 存在，则存在，则存在，则存在，则LL通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏

24、变换的性质若若若若 ，且，且，且，且 存在，则存在，则存在，则存在，则通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例：例：例：例： ，求，求，求，求解：解：解：解：例：例：例：例： ，求，求，求，求解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 1212、终值定理、终值定理、终值定理、终值定理若若若若 ，且，且，且，且 存在，则存在，则存在，则存在，则通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质若若若若 ，且，且，且，且 存在，则存在，则存在，则存在，则证明：证明： 利用时域微分性质利用时域微分

25、性质 L两边取两边取 s0 的极限得的极限得证毕证毕通信基础教学部通信基础教学部4.2 4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例：例：例：例： ，求，求，求，求解：解：解：解：例：例：例：例： ，求，求，求，求解：解：解：解：例：例：例：例： ，求，求，求，求解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部信号与系统的变换域分析信号与系统的变换域分析q1 1、线性、线性q3 3、时移性、时移性q2 2、比例性、比例性q4 4、频移性、频移性q5 5、时域微分、时域微分q6 6、时域积分、时域积分通信基础教学部通信基础教学部信号与系统的变换域分析信号与系统的变换域分析q8 8、频域积分、频域积分q7

26、7、频域微分、频域微分若若若若 ，且且且且 ，则则则则q9 9、时域卷积定理、时域卷积定理q1010、频域卷积定理、频域卷积定理q1111、初值定理、初值定理q1212、终值定理、终值定理条件：条件：F(s)的极点都在的极点都在S平面的左半平面或原点仅有单极点平面的左半平面或原点仅有单极点 通信基础教学部通信基础教学部作业作业作业作业q4.3 4.3 （3 3）q4.6 4.6 （2 2）q4.8 4.8 （2 2）（）（5 5）（）（8 8）（）（9 9）q4.12 4.12 （3 3）（）（5 5）（）（6 6） 通信基础教学部通信基础教学部4.3.1 4.3.1 部分分式展开法部分分式展

27、开法 根据信号的拉氏变换根据信号的拉氏变换F(s) 求解信号的原函数求解信号的原函数 f(t) ，就是所谓就是所谓的求取拉氏反变换。的求取拉氏反变换。 信号的拉氏变换信号的拉氏变换 F(s) 通常具有有理函数的形式通常具有有理函数的形式 ，可以表示，可以表示为两个为两个s的多项式之比，即的多项式之比，即 式中，式中，an bm 为实数；为实数； m 和和 n 是正整数。根据它们是正整数。根据它们大小的不同大小的不同 F(s) 呈假分式和真分式。呈假分式和真分式。 4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部其中，其中，N1(s) 的阶次已低于的阶次已低于D(s)的阶

28、次，的阶次， 为真分式。为真分式。1) 当当 m n 时，时， F(s) 是假分式，用长除法化成多项式是假分式，用长除法化成多项式+真分式的形式真分式的形式4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部1. 1. 若若若若D(s)=0 D(s)=0 的根为实数根且无重根，或者说的根为实数根且无重根，或者说的根为实数根且无重根，或者说的根为实数根且无重根，或者说 F(s) F(s) 具有单极点具有单极点具有单极点具有单极点 。 其中，其中，K1, K2, Kk Kn 为待定系数。如果为待定系数。如果n小，比如小，比如 n 3 , 可用比较系数法确定可用比较系数法确定 K

29、n ; n 较大时，用以下方法：较大时，用以下方法：2) 当当 m 0 , 如下图所示。如下图所示。1. 围线积分围线积分4.3.1 4.3.1 留数法留数法根据复变函数的留数相关理论，可证明：根据复变函数的留数相关理论，可证明：该积分为被积函数（该积分为被积函数（ ）在所有极点的留数之和）在所有极点的留数之和通信基础教学部通信基础教学部复变函数理论中的留数定理：复变函数理论中的留数定理： 复变函数在复变函数在 s 平面上沿一封闭平面的边沿平面上沿一封闭平面的边沿 c 作围线积分等于作围线积分等于该平面上被积函数所有极点的留数之和。如下图所示。该平面上被积函数所有极点的留数之和。如下图所示。

30、可见，如果拉氏反变换的积分路径能用一封闭平面可见，如果拉氏反变换的积分路径能用一封闭平面的边沿替代，的边沿替代，f(t)便可以用留数替求得。便可以用留数替求得。图图一一4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部 比较两图发现，如果图二所示的在比较两图发现，如果图二所示的在s平面上加上一平面上加上一个半径为个半径为R的圆，且令的圆，且令R, 以以 F(s)est 的积分路径直线的积分路径直线 c 为界，可得到两个半圆形封闭平面，其中一个半圆的为界，可得到两个半圆形封闭平面，其中一个半圆的边沿线为边沿线为CR1+C；另一个为另一个为CR2+C，如图所示。于是，如图所示

31、。于是，得到两个封闭平面的围线积分：得到两个封闭平面的围线积分：图二图二4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部 若沿路经若沿路经CR1或或CR2的积分为零，原的积分为零，原函数函数f(t)就是围线积分，便可用留数求得。就是围线积分，便可用留数求得。4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换约当约当（Jordan) 引理引理：1)2)指数因子指数因子 est 的幂系数的幂系数 st 的实部的实部 t 应小于应小于 0t ，3)即即4)则则时时通信基础教学部通信基础教学部 因此，当因此，当 t 0 时，由于时，由于CR1 可以选择足够大，使可以选择足够大，使F(

32、s)est 的全部极点包含在左半平面，有的全部极点包含在左半平面，有4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部2. 2. 留数的计算留数的计算 当当 F(s) 为有理函数时，为有理函数时，a) 若若 sk 是是 F(s)est 的单极点的单极点 ，则其留数为：，则其留数为：b) 若若 sk 是是 F(s) est 的的 p 重极点重极点 ，则其留数为：，则其留数为：4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部例例例例已知已知 ，试用留数法求，试用留数法求 f (t) 。 解：解：4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部

33、通信基础教学部4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部已知已知 ，试求，试求 f (t) 。 解：解：4.3 4.3 4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例例例 通信基础教学部通信基础教学部4.3 4.3 4.3 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换通信基础教学部通信基础教学部作业作业q4.13 4.13 （4 4）（）（7 7）q4.15 4.15 （3 3）（）（6 6）q4.16 4.16 （1 1）（）（3 3）通信基础教学部通信基础教学部4.4 4.4 拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与

34、傅氏变换的关系1.若若 F(sF(s) ) 的收敛坐标的收敛坐标 0 0 0 0，但傅氏变换不存在。但傅氏变换不存在。比如比如 f(t) = e t(t) 。0j02. 2. 若若 f(t)f(t) 的收敛坐标的收敛坐标 0 0 0, 0 时时的电压的电压 u2(t)。1） t 0 次级输出电压次级输出电压 u2 (t)。2） s 域电路模型如图域电路模型如图4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTI

35、LTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部其中，其中，通信基础教学部通信基础教学部3. 3. 自由响应和强制响应自由响应和强制响应自由响应和强制响应自由响应和强制响应 从复频域的角度，我们总能把零状态响应分成两部分，一从复频域的角度，我们总能把零状态响应分成两部分，一部分只与系统函数部分只与系统函数H(s)的极点相关；另一部分只与激励的极点相关；另一部分只与激励X(s)的的极点相关。例如极点相关。例如式中第一项完全由系统函数式中第一项完全由系统函数 极点，叫做极点，叫做自由响应自由响应，其波形的形状与其波形的形状与H(s)有关，但

36、大小和相位可能与激励有关；第有关，但大小和相位可能与激励有关；第二项由激励的极点决定，称为二项由激励的极点决定，称为强制响应强制响应，其波形的模样与激励，其波形的模样与激励X(s)有关，但大小和相位与系统函数有关，但大小和相位与系统函数H(s)有关。有关。4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部例例例例电路如图所示，已知电路如图所示，已知 u1(t) = 5cos2t (t), 求零状态响应求零状态响应u2(t)。解：解：1） 作作s 域等效电路如图域等效电路如图

37、4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部2） 根据电路模型根据电路模型 列方程并求解列方程并求解4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部与与F(s)极极点相同点相同与与H(s)极极点相同点相同强制响应强制响应自由响应自由响应4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统

38、的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部4. 4. 稳态响应和瞬态响应稳态响应和瞬态响应稳态响应和瞬态响应稳态响应和瞬态响应 一个稳定电路系统的零状态响应还可分为瞬态响应和稳态响一个稳定电路系统的零状态响应还可分为瞬态响应和稳态响应，前者随着时间的增长而衰减，当时间趋于无穷时它趋于零应，前者随着时间的增长而衰减，当时间趋于无穷时它趋于零.如上例：如上例：稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应4.5 4.5 4.5 4.5 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部作业作业作业作业q4

39、.20 4.20 （2 2）q4.224.22q4.264.26通信基础教学部通信基础教学部4.6.1 4.6.1 系统函数的特性和求法系统函数的特性和求法系统函数的特性和求法系统函数的特性和求法1. 1. 系统函数系统函数 H(s)H(s) 系统函数是一个系统的零状态响应的拉氏变换系统函数是一个系统的零状态响应的拉氏变换Yf(s)与与该该系统激励的拉氏变换系统激励的拉氏变换F(s)之比，用之比，用H(s)表示：表示：对应于时域，有对应于时域，有零状态系统4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分

40、析法通信基础教学部通信基础教学部2. 2. 系统函数的求法系统函数的求法系统函数的求法系统函数的求法(1) (1) 由冲击响应由冲击响应由冲击响应由冲击响应h(t)h(t)求求求求H(s)H(s) 冲击响应冲击响应h(t)的拉氏反变换就是系统函数的拉氏反变换就是系统函数H(s), 即即4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法(2) (2) 由微分方程求由微分方程求由微分方程求由微分方程求H(s)H(s)例例例例解：解：微分方程两边拉氏变换得微分方程两边拉氏变换得已知已知通信基础教学部通信基础

41、教学部(3) (3) 由给定电路求由给定电路求由给定电路求由给定电路求H(s)H(s)例例解：解：电路如图所示，求电路如图所示，求H(s)。4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部4.6.2 4.6.2 系统函数的零极点对系统特性的影响系统函数的零极点对系统特性的影响系统函数的零极点对系统特性的影响系统函数的零极点对系统特性的影响1. 1. 零点、极点与零极图零点、极点与零极图（1） 零极点 表示成两个多项式之比的系统函数表示成两个多项式之比的系统函数H(s)为：

42、为：分子多项式和分母多项式通常可以因式分解为：分子多项式和分母多项式通常可以因式分解为：其中，其中，1, 2, 3,m 是使系统函数是使系统函数H(s)为零的取值，称为系统为零的取值，称为系统函数的零点，函数的零点，(s-j)叫做零点因子；叫做零点因子；p1, p2, p3,pm是使系统函数是使系统函数H(s)为无穷大的取值，称为系统函数的极点，为无穷大的取值，称为系统函数的极点，(s-pk) 叫做极点叫做极点因子。因子。4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部（

43、2 2） 零极图零极图零极图零极图 将零极点值在复平面上用符号标示出来的图叫做系统函数将零极点值在复平面上用符号标示出来的图叫做系统函数H(s)的零极点分布图，简称零极图或极零图。途中零点用的零极点分布图，简称零极图或极零图。途中零点用“ ”标示；极点用标示；极点用“ ”。若遇。若遇 n 重零点或极点，则在旁边重零点或极点，则在旁边注以注以(n)。例例例例已知已知试绘其零极图。试绘其零极图。解：由解：由H(s)知，知，零点有零点有 极点有极点有认识零极图可以帮助我们了解系统的时域特性；也可以帮助认识零极图可以帮助我们了解系统的时域特性；也可以帮助我们了解系统的频率特性。我们了解系统的频率特性。

44、4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部2. 2. 系统函数的极点分布与冲激响应模式的关系系统函数的极点分布与冲激响应模式的关系系统函数的极点分布与冲激响应模式的关系系统函数的极点分布与冲激响应模式的关系（1 1） H(s) H(s) 的极点位于的极点位于的极点位于的极点位于 s s 平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面a. a. 极点为位于负实轴的单极点极点为位于负实轴的单极点极点为位于负实轴的单极点极点为位于负实轴的单极点 冲激响应模式是指

45、冲激响应模式是指h(t)随时间随时间t的变化规律特性，而不是指的变化规律特性，而不是指h(t)的具体大小。的具体大小。极点均在极点均在s 平面的左半平面，他们的时域模式平面的左半平面，他们的时域模式h(t)是收敛的，其是收敛的，其振幅都随时间振幅都随时间t 的增加而衰减，并最终趋于零，系统稳定。的增加而衰减，并最终趋于零，系统稳定。4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部b. b. 极点为位于负实轴的重极点极点为位于负实轴的重极点极点为位于负实轴的重极点极点为位于

46、负实轴的重极点c. c. 极点为位于极点为位于极点为位于极点为位于 s s 域左半平面的共轭极点域左半平面的共轭极点域左半平面的共轭极点域左半平面的共轭极点4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部2 2） H(s) H(s) 的极点位于的极点位于的极点位于的极点位于 s s 平面的虚轴上平面的虚轴上平面的虚轴上平面的虚轴上a. a. 极点为位于原点的单极点极点为位于原点的单极点极点为位于原点的单极点极点为位于原点的单极点b. b. 极点为位于原点的重极点极点为位于

47、原点的重极点极点为位于原点的重极点极点为位于原点的重极点4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部c. c. 极点为位于极点为位于极点为位于极点为位于 s s 域虚轴的共轭极点域虚轴的共轭极点域虚轴的共轭极点域虚轴的共轭极点 极点在虚轴上有两种情形：极点在虚轴上有两种情形：a). 对于原点的单极点和共轭极点，对于原点的单极点和共轭极点，h(t) 为有限振幅直流如为有限振幅直流如(t) 或等幅震荡，系统呈临界稳定；或等幅震荡，系统呈临界稳定；b). 重重极点时，极点时

48、，h(t) 随随t 的增加而增加，最后趋于无穷大，振幅发散。系的增加而增加，最后趋于无穷大，振幅发散。系统不稳定。统不稳定。4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部3 3） H(s) H(s) 的极点位于的极点位于的极点位于的极点位于 s s 平面的右半平面平面的右半平面平面的右半平面平面的右半平面a. a. 极点为位于正实轴的单极点极点为位于正实轴的单极点极点为位于正实轴的单极点极点为位于正实轴的单极点b. b. 极点为位于正实轴的二重极点极点为位于正实轴的二重

49、极点极点为位于正实轴的二重极点极点为位于正实轴的二重极点4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部c. c. 极点为位于极点为位于极点为位于极点为位于 s s 域右半平面的共轭极点域右半平面的共轭极点域右半平面的共轭极点域右半平面的共轭极点 三种情况的极点均在三种情况的极点均在s 平面的右半平面，它们的时域模式平面的右半平面，它们的时域模式h(t)是发散的，其振幅都随时间是发散的，其振幅都随时间t 的增加而增长，波形呈发散状，的增加而增长，波形呈发散状，系统不稳定。

50、系统不稳定。 H(s) 的零点对系统的稳定性没有影响，但会影响的零点对系统的稳定性没有影响，但会影响 h(t) 的幅的幅度和相位。度和相位。4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部通信基础教学部通信基础教学部3. 3. 系统函数的极点分布确定系统的频率响应特性系统函数的极点分布确定系统的频率响应特性系统函数的极点分布确定系统的频率响应特性系统函数的极点分布确定系统的频率响应特性 系统的频率响应特性就是频域内的系统函数系统的频率响应特性就是频域内的系统函数 H(j

51、) 随随 变变化的规律，对于稳定系统（即化的规律，对于稳定系统（即系统函数系统函数的极点位于复平面的左的极点位于复平面的左半平面）的系统而言半平面）的系统而言 ，可以由，可以由 H(s) 直接得到频率特性，即：直接得到频率特性，即：若若则则4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部 复平面上任意一点复平面上任意一点 p1 可表示为一个矢量，两点之间的差例如可表示为一个矢量，两点之间的差例如 (p1-p2) 便是矢量差，如图便是矢量差，如图 1 所示：所示： 因此，因

52、此， H(j ) 中的任一极点因子中的任一极点因子 (j -pk) 均相当于由极点均相当于由极点 pk 引至虚轴上引至虚轴上某变化的点矢量某变化的点矢量 j 的矢量的矢量, 如图如图2，称，称为极点矢量；而为极点矢量；而H(j ) 中的任一零点因中的任一零点因子子 (j - k) 均相当于由零点均相当于由零点 k 引至虚引至虚轴轴上某变化的点矢量上某变化的点矢量 j 的矢量的矢量, 称为零称为零点点矢量。矢量。 另外，矢量还可以写成指数形式，另外，矢量还可以写成指数形式，极点矢量：极点矢量：4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分

53、析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部零点因子：零点因子：4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法极点矢量极点矢量通信基础教学部通信基础教学部由此得到系统的由此得到系统的幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部 根据以上公式，可以利用复平面的矢量变化图来研究频率根据以上公式，可以利用复平面的矢

54、量变化图来研究频率特性，也就是寻找特性，也就是寻找H(j ) 随随 变化的规律变化的规律 。下面举例说明：下面举例说明：1. 1.单极点的频率特性单极点的频率特性单极点的频率特性单极点的频率特性高通滤波器电路如图所示，试分析其频响特性高通滤波器电路如图所示，试分析其频响特性。解：解：例例 4-194-194.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部由图可见：矢量由图可见：矢量 就是变化就是变化的零点矢量的零点矢量 j ，其长度为其长度为 ；极点极点矢量就是极点向矢量就

55、是极点向 j 点所作点所作 的矢量的矢量 。 零点矢量为零点矢量为 4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部 N N MM H(H( ) ) ( ( ) )0 00 09090 1/RC1/RC0 0 0 09090 1/RC1/RC1/RC1/RC9090 4545 9090- -4545=4545 N N9090 M M NN9090 110 0 4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的

56、复频域分析法系统的复频域分析法通信基础教学部通信基础教学部4.6 4.6 4.6 4.6 连续连续连续连续LTILTILTILTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法系统的复频域分析法例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。解：解：解：解：通信基础教学部通信基础教学部作业作业作业作业q4.344.34q4.384.38（1 1）q4.43 4.43 （b b）通信基础教学部通信基础教学部1. 1. 关于

57、系统稳定性的基本概念关于系统稳定性的基本概念关于系统稳定性的基本概念关于系统稳定性的基本概念(1) (1) 系统稳定性：系统稳定性：系统稳定性：系统稳定性： 如果一个系统对如果一个系统对有界的激励有界的激励之之产生产生有界的响应有界的响应，则称该系统为，则称该系统为BIBO稳定系统稳定系统。（bounded input/bounded output)得出得出LTI因果连续系统稳定的时域充要条件：因果连续系统稳定的时域充要条件：4.7 4.7 4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部v 系统的稳定性与极点分布的关系系统的稳定性与

58、极点分布的关系系统的稳定性与极点分布的关系系统的稳定性与极点分布的关系 稳定系统：稳定系统：稳定系统：稳定系统：HH( (s s) )的极点全部位于的极点全部位于的极点全部位于的极点全部位于s s左半平面（不包括虚轴）左半平面（不包括虚轴）左半平面（不包括虚轴）左半平面（不包括虚轴） 不稳定系统：不稳定系统：不稳定系统：不稳定系统： HH( (s s) )的极点至少有一个位于的极点至少有一个位于的极点至少有一个位于的极点至少有一个位于s s右半平面，或在右半平面，或在右半平面，或在右半平面，或在 虚轴上有重极点虚轴上有重极点虚轴上有重极点虚轴上有重极点 临界稳定系统：临界稳定系统：临界稳定系统

59、：临界稳定系统： HH( (s s) ) 的极点位于虚轴上，且为单极点的极点位于虚轴上，且为单极点的极点位于虚轴上，且为单极点的极点位于虚轴上，且为单极点。v 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 HH( (s s) )的的的的极极极极点点点点全全全全部部部部位位位位于于于于s s左左左左半半半半平平平平面面面面（不不不不包包包包括括括括虚虚虚虚轴轴轴轴），或或或或者者者者说说说说，系统的特征方程系统的特征方程系统的特征方程系统的特征方程D D( (s s)=0)=0的根都具有负的实部。的根都具有负的实部。的根都具有负的实部。的根都具有负的实部。(2) (2

60、) 系统稳定性的一般判别法系统稳定性的一般判别法4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部q 例：试判别下列系统是否稳定。例：试判别下列系统是否稳定。解：解：解：解：解：解：解：解：4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部4.7.2 4.7.2 劳斯劳斯霍尔维茨准则霍尔维茨准则( (RouthRouth-Hurwitz criterion)-Hurwitz criterion)1. 1. 劳斯准则劳斯准则劳斯劳斯霍尔维茨准则指出，若系统的特征方程霍尔维茨准则指出

61、，若系统的特征方程则方程则方程 的根全部位于的根全部位于s平面的左半平面的充要条件是平面的左半平面的充要条件是（1）D(s)多项式的多项式的全部系数为正值且不为零全部系数为正值且不为零；（；（2）按下列规则）按下列规则排列出的劳斯表（劳斯列阵）的第一列元素的符号相同。排列出的劳斯表（劳斯列阵）的第一列元素的符号相同。所有的根均在所有的根均在S左半平面的多项式称为左半平面的多项式称为霍尔维茨准则霍尔维茨准则多项式。多项式。表中，表中，4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部以此类推，直到第以此类推，直到第 n+1 行为止。行为止

62、。 若第若第1列元素符号全为正，则系统是列元素符号全为正，则系统是稳定的；若第一列的符号不相同，则稳定的；若第一列的符号不相同，则符号发生改变的次数就是根位于复平符号发生改变的次数就是根位于复平面右半平面的根的个数。面右半平面的根的个数。通信基础教学部通信基础教学部例例例例某系统的特征方程为某系统的特征方程为试判断该系统稳定性。试判断该系统稳定性。解：解： 符合系统稳定的条件（符合系统稳定的条件（1）D(s)多项式的全部系数为正值且不为零。多项式的全部系数为正值且不为零。系统不稳定系统不稳定4.7 4.7 4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础

63、教学部通信基础教学部2. 2. 当某一行的第一列出现出现当某一行的第一列出现出现当某一行的第一列出现出现当某一行的第一列出现出现0 0时，时，时，时，例例 4-224-22可以用一个任意小的可以用一个任意小的 替代，然后继续排写。替代，然后继续排写。某系统的特征方程为某系统的特征方程为试判断该系统稳定性。试判断该系统稳定性。解：解： 若视若视 为无穷小量，则在为无穷小量，则在s2行有行有 ，其余项当，其余项当 时均大于零，因此劳斯表第一列出现两次符号变化。时均大于零，因此劳斯表第一列出现两次符号变化。D(s)=0有有两个根在两个根在s的右半平面，系统不稳定。的右半平面，系统不稳定。4.7 4.

64、7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部通信基础教学部通信基础教学部3. 3. 当劳斯表某一行元素全为零时，当劳斯表某一行元素全为零时，当劳斯表某一行元素全为零时，当劳斯表某一行元素全为零时，例例 4-234-23则利用其前一项元素组成辅助则利用其前一项元素组成辅助多项式，然后用该辅助多项式的导数的系数代替全零行，再继续多项式，然后用该辅助多项式的导数的系数代替全零行，再继续排写。排写。试判断该系统稳定性。试判断该系统稳定性。解：解：排劳斯表排劳斯表对应辅助多项式4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的

65、判别通信基础教学部通信基础教学部令令 为辅助多项式为辅助多项式则则 以其系数代替以其系数代替 s1 行，继续排表行，继续排表结合前表整理后有结合前表整理后有：罗斯表出现一行全为零，通常出现在连续两罗斯表出现一行全为零，通常出现在连续两行相等或成比例，说明特征方程有共轭虚根，行相等或成比例，说明特征方程有共轭虚根，系统不是稳定的，可能是系统不是稳定的，可能是临界稳定临界稳定（当罗斯（当罗斯阵列中第阵列中第1列元素的符号无改变时），列元素的符号无改变时），也可也可能是不稳定能是不稳定（当罗斯阵列中第当罗斯阵列中第1列元素的列元素的符号无改变时符号无改变时）。事实上，）。事实上，处有共轭虚根。处有共

66、轭虚根。4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部4. D(s)=0 4. D(s)=0 为二阶特征方程的劳斯判定为二阶特征方程的劳斯判定为二阶特征方程的劳斯判定为二阶特征方程的劳斯判定例例4-244-24 尽管罗斯表是由高阶特征方程导出，它仍然适合于二阶特尽管罗斯表是由高阶特征方程导出，它仍然适合于二阶特征方程系统稳定性的判定。征方程系统稳定性的判定。二阶系统框图如图所示，问若使该系统稳定二阶系统框图如图所示，问若使该系统稳定K的取值的取值范围为何？范围为何？解：解：由框图得由框图得4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的

67、判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别对于二阶系统，系统稳定的充要条件对于二阶系统，系统稳定的充要条件对于二阶系统，系统稳定的充要条件对于二阶系统，系统稳定的充要条件：D D( (s s) )各次系数为正。各次系数为正。各次系数为正。各次系数为正。通信基础教学部通信基础教学部4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部解：解：例例例例已知已知 求使系统稳定的求使系统稳定的K的的取值范围。取值范围。4.7 4.7 系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别系统稳定性的判别通信基础教学部通信基础教学部作业作业作业作业q4.49 4

68、.49 （3 3）q4.51 4.51 （3 3）（）（4 4）通信基础教学部通信基础教学部4.8.1 4.8.1 连续系统复频域的基本图示法连续系统复频域的基本图示法连续系统复频域的基本图示法连续系统复频域的基本图示法1. S 1. S 域基本运算器的域基本运算器的域基本运算器的域基本运算器的s s域模拟域模拟域模拟域模拟 模拟框图是系统的表达方式之一，首先比较模拟框图是系统的表达方式之一，首先比较s域基本元件的域基本元件的框图模型与时域模型：框图模型与时域模型：时时时时 域域域域复频域复频域复频域复频域加加加加法法法法器器器器4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图

69、连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部标标量量乘乘法法器器积积分分器器延延时时器器通信基础教学部通信基础教学部4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图引入引入引入引入 由系统函数直接模拟系统由系统函数直接模拟系统由系统函数直接模拟系统由系统函数直接模拟系统X X ( (s s) )Y Y( (s s) )s s-1-1 -a-a1 1-a-a0 0 b b0 0b b1 1s s-1-1Q Q ( (s s) )通信基础教学部通信基础教学部 x (t)y(t) -a1 -a0 b0b14.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统

70、域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部4.7.3 4.7.3 系统框图化简系统框图化简(3)(3)qq并联并联并联并联X X ( (s s) )HH1 1( (s s) )HH2 2( (s s) ) Y Y( (s s)= )= X X( (s s) ) HH1 1( (s s) ) + + HH2 2( (s s) ) qq级联级联级联级联qq反馈反馈反馈反馈X X ( (s s) )HH1 1( (s s) )HH2 2( (s s) )Y Y( (s s)= )= X X( (s s) ) HH1 1( (s s) ) HH2 2( (s s) )2. 2. 子系统的基本联接方式

71、子系统的基本联接方式子系统的基本联接方式子系统的基本联接方式X X ( (s s) )HH1 1( (s s) )HH2 2( (s s) ) Y Y ( (s s) ) HH1 1( (s s) ) HH1 1( (s s) ) HH2 2( (s s) ) 1 1X X ( (s s) )通信基础教学部通信基础教学部3 3连续系统的信号流图表示法连续系统的信号流图表示法连续系统的信号流图表示法连续系统的信号流图表示法 连续系统还可以用信号流图（简称信流图）来表示。连续系统还可以用信号流图（简称信流图）来表示。信号流信号流图是用点和有向线段来描述线性方程组变量间因果关系的一种图图是用点和有向

72、线段来描述线性方程组变量间因果关系的一种图示示，用它来描述系统不但比方框图更为简便，而且还通过梅森公，用它来描述系统不但比方框图更为简便，而且还通过梅森公式求解信号流图的系统函数。式求解信号流图的系统函数。信信号号流流图图可可以以从从方方框框图图演演变变而而来来。有有线线线线段段表表示示信信号号传传输输的的路路径径和和方方向向，一一般般称称为为支支路路，支支路路上上的的系系统统函函数数相相当当于于一一个个乘乘法法器器。有线有线线段端点代表信号，称为节点。线段端点代表信号，称为节点。4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通

73、信基础教学部通信基础教学部4.8.2 4.8.2 连续系统的连续系统的连续系统的连续系统的s s域模拟域模拟域模拟域模拟 系统函数表征了系统的输入输出特性，而且它是有理分式，系统函数表征了系统的输入输出特性，而且它是有理分式，运算较为简便，因而域连续系统模拟常通过系统函数进行。运算较为简便，因而域连续系统模拟常通过系统函数进行。 对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的模拟实现方案。常用的有直接形式（又称卡尔曼形式）、级联形模拟实现方案。常用的有直接形式（又称卡尔曼形式）、级联形式和并联形式。以下举例说明。式和并联形式。以下举例说

74、明。例例4-264-26 某系统的系统函数为某系统的系统函数为 ，试分别用，试分别用直接形式、级联形式和并联形式模拟该系统。直接形式、级联形式和并联形式模拟该系统。 解：（解：（1）直接实现，上式分子、分母同乘以）直接实现，上式分子、分母同乘以s-3，得，得4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部直接实现直接实现(卡尔蔓框图）卡尔蔓框图）4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图Q Q ( (s s) )通信基础教学部通信基础

75、教学部直接实现直接实现(卡尔蔓框图）卡尔蔓框图）H(s)含有含有s-3，因此该系统具有三个积分器；从分母知该系统分别从三个积分，因此该系统具有三个积分器；从分母知该系统分别从三个积分器的输出引出三个负反馈支路，从分子可知输出器的输出引出三个负反馈支路，从分子可知输出Y(s)从第二级和第三级积分从第二级和第三级积分器输出的叠加。故有器输出的叠加。故有 4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部（2）级联实现级联实现4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流

76、图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部级联实现级联实现4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部（3）并）并联实现联实现4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部并联实现并联实现4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部4.8.3 4.8.3 梅森公式及应用梅森公式及应用梅森公式及应用梅森

77、公式及应用 1950年，梅森年，梅森 (Samuel J. Mason) 教授利用一套瞬时代数方教授利用一套瞬时代数方程的卡尔蔓程的卡尔蔓(Cramer)方法证明了一种算法，并用于求解信号流方法证明了一种算法，并用于求解信号流图或系统框图输入点与输出点之间的系统函数。这个算法后来图或系统框图输入点与输出点之间的系统函数。这个算法后来被称为梅森公式，被广泛用在连续系统的域和离散系统的被称为梅森公式，被广泛用在连续系统的域和离散系统的Z域作域作化简和模拟。化简和模拟。4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基

78、础教学部1 1信号流图中一些专门术语：信号流图中一些专门术语：信号流图中一些专门术语：信号流图中一些专门术语：（1）节点）节点表示信号或系统中变量的点，其中有：表示信号或系统中变量的点，其中有： 输入节点（源点）输入节点（源点）仅有输出支路的节点，代表系统的仅有输出支路的节点，代表系统的输入信号，如下图中所示的。输入信号，如下图中所示的。输入源点输出阱点节点支路系统函数支路4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部输出节点（阱点）输出节点（阱点）仅有输出支路的节点，代表系统的输出仅有输出支路的节点

79、，代表系统的输出信号，如下图所示的。信号，如下图所示的。混合节点混合节点既有输入支路又有输出支路的节点，代表该点输既有输入支路又有输出支路的节点，代表该点输入信号之和，如图中的入信号之和，如图中的X1(s)、 X2(s)、 X3(s)、 X4(s)、 X5(s)。输入源点输出阱点节点支路系统函数支路和点：和点：和点：和点：仅有一条输出支路的混合节点。仅有一条输出支路的混合节点。仅有一条输出支路的混合节点。仅有一条输出支路的混合节点。分点：分点：分点：分点：仅有一条输入支路的混合节点。仅有一条输入支路的混合节点。仅有一条输入支路的混合节点。仅有一条输入支路的混合节点。通信基础教学部通信基础教学部

80、（2）支路）支路连接两个节点之间的有向线段，在方向箭头旁标连接两个节点之间的有向线段，在方向箭头旁标出支路的系统函数。出支路的系统函数。（3）通路）通路从任一节点出发沿着支路箭头方向穿过各相连支从任一节点出发沿着支路箭头方向穿过各相连支路至另一节点的路径。路至另一节点的路径。开通路开通路与任一节点相遇不多于一次的通路与任一节点相遇不多于一次的通路前向通路前向通路 从源点到阱点的开通路。从源点到阱点的开通路。FX1H1X2H2X3H3X4 H4 X5Y；4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部闭通

81、路闭通路(回路或环回路或环)如果通路的终点就是通路的起点，并且如果通路的终点就是通路的起点，并且如果通路的终点就是通路的起点，并且如果通路的终点就是通路的起点，并且与任一节点相遇不多余一次。与任一节点相遇不多余一次。与任一节点相遇不多余一次。与任一节点相遇不多余一次。下下图中共有四个环。图中共有四个环。4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图不接触回路不接触回路不接触回路不接触回路：两环路之间没有任何公共节点。两环路之间没有任何公共节点。两环路之间没有任何公共节点。两环路之间没有任何公共节点。X1H1X2H8X1 与与X3

82、H3X4H4X5 -H7X3回路；回路；通信基础教学部通信基础教学部前向通路增益：前向通路增益：前向通路的各系统函数的乘积，用前向通路的各系统函数的乘积，用P表示。表示。 FX1H1X2H2X3H3X4 H4 X5Y : P= H1 H2H3 H4回路增益：回路增益：回路的各系统函数的乘积，用回路的各系统函数的乘积，用L表示。表示。X1X2X3X4 X5 X1 : L1=H1 H2H3 H4H5X2X3X4 X2 : L2=H2H3 H6 X3X4 X5 X3 : L3=H3 H4H7X1X2X1: L4=H1 H84.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图

83、和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部不接触回路增益：不接触回路增益：不接触回路的各系统函数的乘积。不接触回路的各系统函数的乘积。X3X4 X5 X3 : L3=H3 H4H7X1X2X1: L4=H1 H8 L3L4= H1 H3 H4H7 H84.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部b. b. 梅森公式梅森公式梅森公式梅森公式系统信号流系统信号流图的系统函数可由以下公式求得图的系统函数可由以下公式求得其中，其中，Pi为第为第 i 条条前向通路增益前向通路增益 ； 为信

84、号流图的特征行列式：为信号流图的特征行列式：所有回路的增益之和所有回路的增益之和4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图所有两个不接触回路增益之和。所有两个不接触回路增益之和。所有三个不接触回路增益之和。所有三个不接触回路增益之和。i 将第将第i条前向通路除去后（包括前向通路经过的所有条前向通路除去后（包括前向通路经过的所有节点）再计算的节点）再计算的通信基础教学部通信基础教学部例例例例 4-274-27ABCDE 系统信流图如图所示，试用梅森公式求等效系统系统信流图如图所示，试用梅森公式求等效系统函数函数H(s)。解：解：前向通路增益前向通路增益 P= H1 H2H3 H4特征行列式特征行列式4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图通信基础教学部通信基础教学部4.8 4.8 连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图连续系统域框图和信号流图ABCDE通信基础教学部通信基础教学部作业作业q4.524.52（1 1）q4.544.54通信基础教学部通信基础教学部