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1、8.5 z变换的基本性质一线性a,b为任意常数。为任意常数。ROC：取二者的重叠部分：取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。( (叠加性和均匀性）叠加性和均匀性）二位移性二位移性1.1.双边双边z变换变换2.2.单边单边z变换变换(1) 左移位性质左移位性质(2) 右移位性质右移位性质原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。1 1双边双边z变换的位移性质变换的位移性质根据双边根据双边z变换的定义可得变换的定义可得证明双边z变换的位移性2 2单边单边z变换的位移性质变换的位移性质
2、若若x(n)为双边序列，其单边为双边序列，其单边z变换为变换为左移位、右移位性质左移位、右移位性质证明左移位性质证明左移位性质根据单边根据单边z变换的定义，可得变换的定义，可得证明右移位性质证明右移位性质根据单边根据单边z变换的定义，可得变换的定义，可得结论：三序列线性加权性质三序列线性加权性质共求导共求导m次次四序列指数加权四序列指数加权同理同理证明：证明：（z z域尺度变换）域尺度变换）五初值定理五初值定理证明略，见书证明略，见书P68。六终值定理六终值定理证明略，见书证明略，见书P68。七时域卷积定理七时域卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即
3、即描述：时域作卷积，描述：时域作卷积，z z域域作乘法。作乘法。注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。相抵消，则收敛域可能扩大。证明时域卷积定理证明时域卷积定理因为因为 所以所以八z域卷积定理描述：时域作乘法，描述：时域作乘法，z z域域作卷积。作卷积。例8-5-1 解：解：例8-5-2解解：8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系代入代入比较比较一一z平面与平面与s平面的映射关系平面的映射关系情况讨论s平面平面z平面平面左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上 单位圆外单位圆外半径扩
4、大半径扩大（2 2）（3 3） zs映射不是单值的。映射不是单值的。 见书见书p76p76，图，图8 81111 （1 1）= =Tre s s8.7 用z变换解差分方程Z Z域分析法域分析法序言u描述离散时间系统的数学模型为差分方程。描述离散时间系统的数学模型为差分方程。u求解线性时不变离散系统差分方程两种方法：求解线性时不变离散系统差分方程两种方法： 时域方法时域方法第七章中介绍第七章中介绍 Z Z变换方法变换方法u差分方程经差分方程经Z Z变换变换代数方程；代数方程；u求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0- -的条件）的条件）一应用一应用z z变换求
5、解差分方程步骤变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边对差分方程进行单边z变换（移位性质）；变换（移位性质）；(2)由由z变换代数方程求出响应变换代数方程求出响应Y(z) ；(3) 求求Y(z) 的反变换，得到的反变换，得到y(n) 。差分方程差分方程ZZ域方程域方程N N阶阶: : 初始状态初始状态:y(-1),y(-2),y(-N):y(-1),y(-2),y(-N) 激励激励: :因果信号因果信号k=0k=0接入接入.x(-1)=x(-2)=0.x(-1)=x(-2)=0对方程两边取对方程两边取Z变换变换（单边）：（单边）：若系统无激励，响应仅由系统的起始状态产生，为零输入若系统无激
6、励，响应仅由系统的起始状态产生，为零输入响应响应Yzi(z)。若系统起始状态为零，仅由激励（为因果信号）产生的响若系统起始状态为零，仅由激励（为因果信号）产生的响应为零状态响应应为零状态响应Yzs(z)。例8-7-1解解：方程两端取方程两端取z变换变换例8-7-2解解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程列出系统的差分方程。（1） 列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手求系统的响应求系统的响应 y(n)。 （3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质（2）a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应零状态响应为零状态响应为即即b.由储能引起
7、的零输入响应由储能引起的零输入响应即即零输入响应为零输入响应为全响应为全响应为8.8 离散系统的系统函数系统函数的定义系统函数的定义H(z)系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响h(n)的时域性能的时域性能 系统稳定性系统稳定性 系统因果性系统因果性一、离散时间系统系统函数定义一、离散时间系统系统函数定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态在零状态条件下两边取在零状态条件下两边取z变换得：变换得： 只与系统的差分只与系统的差分方程的
8、系数、结构有方程的系数、结构有关，描述了系统的特关，描述了系统的特性。性。 h(n)和H(z)为一对z变换例8-8-1则则解：解：零状态响应零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：二、系统函数的零极点分布二、系统函数的零极点分布对系统特性的影响对系统特性的影响1 1由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根） 极点位置与极点位置与h(n)形状的关系形状的关系H(z)H(z)的极点决定的极点决定h(n)h(n)的形式，其规律如
9、下：的形式，其规律如下：极点在单位圆上：等幅振荡极点在单位圆上：等幅振荡极点在单位圆内：减幅极点在单位圆内：减幅极点在单位圆外：增幅极点在单位圆外：增幅s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅利用利用zs平面的映射关系平面的映射关系2 2离散系统的稳定性离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的。定是有界的。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：
10、定义：判判据据1 1：离离散散系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件：单单位位样样值值响响应应绝绝对对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为： H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内: 。 (3)连续系统和离散系统稳定性的比较连续系统和离散系统稳定性的比较 连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点H(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面H(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内3 3系统的因果性系统的因果性系统因果性的
11、判断方法：系统因果性的判断方法：输出不超前于输入输出不超前于输入例8-8-2下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？ 解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。例8-8-3解：解：不稳定系统不稳定系统从时域判断从时域判断因果系统因果系统例8-8-4LTILTI系统，系统， ，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。 注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。从时域判断：从时域判断：不稳定不稳定从从z域判断：域判断：收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。
12、是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断： 不是因果系统不是因果系统 见书见书P86例例819综合例题：综合例题：8.10 离散系统的频率响应特性一、频响特性（正弦序列作用下系统的稳态响应）一、频响特性（正弦序列作用下系统的稳态响应）( ( ) )nxnO( () )1sinnA - -1A( ( ) )nyzsnO( () )2sinnB - -2B激励激励稳态响应稳态响应1.若输入是正弦序列，则系统的稳态响应也是同频率若输入是正弦序列，则系统的稳态响应也是同频率的正弦序列，只是幅值被加权，相位发生变化。的正弦序列，只是幅值被加权，相位发生变化。2.系统对不同频率的输入，
13、产生不同的幅值加权和相系统对不同频率的输入，产生不同的幅值加权和相位变化，这就是系统的频率响应特性位变化，这就是系统的频率响应特性H(ejw)。见书见书p95说明：说明：二、由系统函数得到频响特性二、由系统函数得到频响特性系统的频率响应特性系统的频率响应特性: :输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移：相频特性：相频特性离散系统区别于连续系统的一个突出的特点。离散系统区别于连续系统的一个突出的特点。离散系统（数字滤波器）的分类离散系统（数字滤波器）的分类当当T1时，时，ws2例例: 已知离散系统的系统函数为已知离散系统的系统
14、函数为 求系统的频率响应。求系统的频率响应。 解：解： |H(ej)|o2p2pp2 p(a)j ( )op2pp2 p(b)4p4p系统的幅频曲线：系统的幅频曲线：系统的相频曲线：系统的相频曲线：三、频响特性的几何确定法三、频响特性的几何确定法几点说明几点说明 。零点的作用与极点相反零点的作用与极点相反趋于无穷大。趋于无穷大。，则频率响应的峰值，则频率响应的峰值落在单位圆上，落在单位圆上，若极点若极点值附近愈尖锐；值附近愈尖锐；愈短，则频率响应在峰愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，越靠近单位圆，若极点若极点 0iiiiBpBp本章小结：本章小结：u Z Z变换的定的定义，典型序列的，典型序列的Z Z变换u Z Z变换的收的收敛域域u 逆逆Z Z变换( (部分分式展开法）部分分式展开法）u Z Z变换的基本性的基本性质u Z Z变换与拉氏与拉氏变换的关系的关系u Z Z域分析法求解系域分析法求解系统响响应u 离散系离散系统的系的系统函数函数H(zH(z）u 离散系离散系统的因果性与的因果性与稳定性的判定定性的判定u 离散系离散系统的的频响特性响特性H(eH(ej j)本章作业：本章作业：P1038 81 1 （7 7、8 8、9 9）8 810 10 （1 1、2 2） 8 812128 829298 83636
