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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 拉格朗日定理和函数的单调性一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别质来得到 f 在该区间上的整体性质.中值定理,就可以根据在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.1( (罗尔中值定理罗尔中值定理) )一、罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间那么在开区间(a, b)内必定内必定(至少至少)存在一点存在一点 , 使使(i) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;(ii) 在开区间在开区间 (a, b) 上可导上可导;(iii) f(a) = f(b).
2、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(1) 几何意义几何意义据右图据右图, , 平的平的. .一点处的一点处的切线也是水切线也是水 看出看出, , 曲曲线上至少有线上至少有 的的. .由几何直由几何直观可以观可以所以线段所以线段 AB 是水平是水平因为因为点击上图动画演示点击上图动画演示f (a) = f (b), 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2) 条件分析条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个定理中的三个条件都很重要，缺少一个, ,结论不结论不在在 0, 1 上满足条件上满足条件 (ii) 和和一定成立一定成立. .数在数在 (0, 1) 上的导数恒为上
3、的导数恒为1.(iii), 但条件但条件 (i) 不满足不满足, ,该该函函 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页满足条件满足条件 (i) 和和 (iii), 但条但条件件条件条件 (i) 和和 (ii), ,但条件但条件 (iii)满足满足处不可导处不可导), 结论也不成立结论也不成立.(ii) 却遭到破坏却遭到破坏 ( f 在在 x = 0 内的导数恒为内的导数恒为1. 却遭到破坏却遭到破坏, ,该函数在该函数在 (0, 1)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页-1O121234条件都不满足条件都不满足, 却仍有却仍有 f (0)=0. 这说明罗尔定这说明罗尔定 理
4、的三个条件是充分理的三个条件是充分 条件条件, 而不是必要条件而不是必要条件. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理的证明定理的证明因为因为 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, ,所以由连续函数的最大、所以由连续函数的最大、 情形情形1 M = m. .此时此时 f (x) 恒为常数恒为常数, ,它的导函数恒它的导函数恒 f ( ) = 0 . 小值小值 m .下面分两种情形加以讨论下面分两种情形加以讨论. . 最小值定理最小值定理, ,f (x) 在在 a, b 上能取得最大值上能取得最大值 M 和最和最 等于零等于零, ,此时可在此时可在 (a, b) 内随意取一点
5、内随意取一点 , 就就有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页情形情形2 m 0 , 存在存在 使使返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于, 有有因因返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、函数单调性的判别改为严格不等号改为严格不等号, 则相应地称它为严格增则相应地称它为严格增 (减减).下面的定理是本节中的两个主要定理下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不今后将不若函数若函数若若“”断地使用断地使用.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.3证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.4 可微函数可微函
6、数 f (x) 在区间在区间 I 上严格递增的充上严格递增的充即即证证个区间个区间. .满足满足 的点集不含一的点集不含一要条件是：要条件是：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页矛盾矛盾. 充分性得证充分性得证.注注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.必要性请读者自证必要性请读者自证. .在实际应用中我们经常会用到下面这个事实在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.性质性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作为应用，下面再举两个简单的例子作为应用，下面再举两个简单的例子.例例7 求证求证证证恒有恒有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 设设 f (x) = x 3 x. 讨论函数讨论函数 f 的单调区间的单调区间.解解 由于由于因此因此即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题的证明相的证明相比较比较. 罗尔定理证明的主要方法是什么罗尔定理证明的主要方法是什么? 试与达布定试与达布定理理
