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1、第四章第四章第四章第四章 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径子午圈（线）曲率半径子午圈（线）曲率半径子午圈（线）曲率半径子午圈（线）曲率半径卯酉圈（线）曲率半径卯酉圈（线）曲率半径卯酉圈（线）曲率半径卯酉圈（线）曲率半径任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径平均曲率半径平均曲率半径平均曲率半径平均曲率半径1 1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴短半轴；扁率扁率；第一偏心率第一偏心率e；第二偏心率第二偏心率e ？2 2、旋转椭球计算中旋转椭球计算中常引入以下符号：
2、常引入以下符号： c、t、W、V3 3、经线、纬线、法线的、经线、纬线、法线的特性特性4 4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系子午面直角坐标系子午面直角坐标系 (L,x,y)地心纬度坐标系地心纬度坐标系 （L L，）归化纬度坐标系归化纬度坐标系 （L L，u）大地极坐标系大地极坐标系 （S S，A）大地坐标系大地坐标系 （L L，B）上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容公式写在黑板上上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容5 5、各坐标系间的关系、各坐标系间的关系子午平面坐标系与大地坐标系的关系子午平面坐标系与大地坐标系的关系 (L，x，y) (L，B)空间直角坐
3、标与子午面平面坐标系的关系空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，x，y) 空间直角坐标系与大地坐标系的关系空间直角坐标系与大地坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，B)上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容5 5、各坐标系间的关系、各坐标系间的关系空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，u)空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系 (X，Y，Z) （L L，）大地极坐标系同大地坐标系的关系大地极坐标系同大地坐标系的关系 (S，A) (L，B)大地主题解算大地主题解算上一讲应掌握的内容上一讲
4、应掌握的内容在赤道圈上： B=u=0在两极处: B=u=90在其他处: BuuB大地纬度、地心纬度、归大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，化纬度之间的差异很小，经过计算，当经过计算，当B=45B=45时时（六）六） B、u、之间的关系之间的关系过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线法截线。有无数个法截面或法截线。两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径曲线的曲率曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度量的。曲线上任一点的曲率
5、的倒数称为曲率半径曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高一、椭球面上法截线有关概念一、椭球面上法截线有关概念二、二、子午圈（线）曲率半径子午圈（线）曲率半径推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率，曲率的倒数是曲率半径。或：子午线曲率半径（另一种推导）子午线曲率半径（另一种推导）子午圈曲率半径随纬度变化情况子午圈曲率半径随纬度变化情况卯酉圈卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时
6、斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。三、卯酉圈（线）曲率半径三、卯酉圈（线）曲率半径卯酉线（圈）曲率半径推导思路卯酉线（圈）曲率半径推导思路卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径的的特特点点: : 卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径恰恰好好等等于于法法线线介介于于椭椭球球面面和和短短轴轴之之间间的的长长度度，亦亦即即卯卯酉酉圈圈的的曲曲率率中中心心位在椭球的旋转轴上。位在椭球的旋转轴上。 卯酉线（圈）曲率半径卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况随纬度变化情况 大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由微分几何的尤拉公式得：四、任意法截弧的曲率半径四、任意法截弧的曲率半径子午线卯酉
7、线T（北）APQD（东） 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方有关，而且还与过该点的法截弧的方位角位角A有关。有关。当当时，变为计算子午圈曲率半径的，即时，变为计算子午圈曲率半径的，即当当90时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即主曲率半径主曲率半径M及及N分别是分别是的极小值和极大值的极小值和极大值。当当A由由090时，时，之值由之值由当当A由由90180时，时，值由值由N，可见，可见值的变化值的变化是以是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。任意法截弧的曲率半径的变化规律任意法截弧的曲率半径的变化规律五、平均曲率半径五、平
8、均曲率半径l只要取A自0至90范围内的RA的平均值即可：l椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。 六、椭球面上几种曲率半径的关系六、椭球面上几种曲率半径的关系为了便于记忆，为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式的公式可表示成有规律的形式椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径及卯酉圈曲率半径N，是，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为称为主曲率半径主曲率半径。 六、主曲率半径的计算公式六、主曲率半径的计算公式不同的椭球元素对应不同的系数不同的椭球元素对应不同的系数主曲率半径的计算公式系数主曲率半径的计算公式系数主曲率半径的计算公式（续）主曲率半径的计算公式（续）亦可按： 展开。则得：主曲率半径的计算公式系数（续）主曲率半径的计算公式系数（续）结束谢谢谢谢!经线、纬线、法线的特性经线、纬线、法线的特性BM经线与纬线互相垂直除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低同一点的经线切线经线切线与纬线切线纬线切线垂直，也与法线法线垂直，三者可构成三维直角坐标系平行圈的主法线、副法线及切线亦可构成三维直角坐标系RSTPONZ法截线法截线
