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1、一. 数的分类 第一种分法 : 树状图 韦恩图 整数 第二种分法 整数 第三种分法： 正整数 一些关于数的结论: 是最小的自然数,-1 是最大的负整数,1 是最小的正整数 2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数 3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的 二整除 1.整除定义概念：整数 a 除以整数 b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说 a 能被 b 整除；或者说 b 能整除 a 注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的 a 相当于被除数,b 相当于除数 2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数 2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零 注意点：区分整除与除尽：整除
2、是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即 a 能被 b 整除,则 a 一定能被 b 除尽,反之则不一定即 a 能被 b 除尽,则 a 不一定能被 b 整除;如 42=2, 4 既能被 2 除尽,也能被 2 整除；45=, 4 能被 5 除尽,却不能说 4 能被 5 整整数 奇数 偶数 整数 自然数 负整数 零 正整数 正奇数 正偶数 整数 素数 合数 1 正整数 零 负整数 奇数 偶数 素数 1 合数 除 三因数与倍数 1.因数与倍数的定义：整数 a 能被整数 b 整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的因数约数; 注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数
3、是倍数;如： 63=2,不能说 6 是倍数,3 是因数；要说 6 是 3 的倍数,3 是 6 的因数; 2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如 4=20,一般是不说 4 是的倍数,是 4的因数; 2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是 1,最大的因数是它本身; 一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数; 因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的; 3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如 16=116=28=44,那么 16的因数就有 1、2、4、8、16,计算时一定不要忘
4、了 1 和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏; 4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以 1、2、3、4、5即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用 n 表示所有的正整数,则 2 的倍数可表示为 2n, 5 的倍数可表示为 5n 四能被 2、5、3 整除的数的特点 1.能被 2 整除的数即 2 的倍数个位上的数字是 0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是 0、2、4、6、8 的数也能被 2 整除 2.能被 5 整除的数即 5 的倍数个位上的数字是 0、5,反之,个位上的数字是 0、5 的数都能被 5整除 3.能被 3 整除的数即 3 的倍数各个位数上的数字之和是 3 的倍数,
5、反之,各个位数上的数字之和是 3 的倍数的数都能被 3 整除 4.能被 2、5 同时整除的数的个位数字都是 0,个位数字为 0 的数也能被 10 整除,能被 10 整除的数一定能被 2 或 5 其中的一个或两个同时整除; 五奇数、偶数 1.奇数与偶数的定义：能被 2 整除的整数叫做偶数,不能被 2 整除的整数叫做奇数;按照能否被 2 整除来划分奇数与偶数 2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9 偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、8 3.在连续的正整数中除 1 外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数 4.相邻的奇数或偶数数字相差 2,奇数可用 2n-1 或 2n+1
6、 表示,偶数可用 2n 表示; 5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 奇数奇数=奇数 偶数偶数=偶数 奇数偶数=偶数 利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积 六.素数、合数 1.素数与合数定义：一个正整数如果只有 1 和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了 1 和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数; 注意点： 1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2 个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除 1 外都有 1 和它本身两个因数; 2. 1
7、 既不是素数也不是合数; 3最小的素数是 2,最小的合数是 4 2.素数与奇数的联系和区别 奇数不一定都是素数; 1 既不是素数也不是合数,9、15 等是奇数但是合数 所有素数都是奇数; 2 是素数,但 2 是偶数 3.合数与偶数的联系与区别 合数不一定都是偶数;9、15 等都是合数,但它们是奇数 偶数都是合数; 2 是偶数但 2 是素数 注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例; 七素因数与分解素因数 1.素因数与分解素因数的定义： 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数; 注意：1.
8、求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个; 如 24=2223,则素因数是 2、2、2、3,而不是 2、3 2.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多; 2.分解素因数的方法 树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现 1. 要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列; 短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用 2 除,奇数一般从 3 开始一个个带入验算 2.得出
9、的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止; 3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式; 3.由一个数分解素因数求这个数的因数 12=223,素因数是 2、2、3,除 1 外由单个的素因数组成因数有 2、3,由两个素因数组成的因数有 22=4,23=6,由三个素因数组成的因数有 223=12,所以 12 的因数有 1、2、3、4、6、12. 4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数 1 所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如 8=222,素因数是 2、2、2,则 8 的因数的个数是它素因数的个数+1,即 4 个 2 素因数不完全相同时
10、,因数的个数是每个素因数个数+1 后相乘的积,如 12=223,素因数 2 的个数是 2,素因数 3 的个数是 1,则 12 的因数的个数是 2+11+1=6 八.公因数与最大公因数 1. 公因数与最大公因数定义: 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数. 2. 互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如 8 和 9 注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是 1. 两个互素的数未必都是素数; 8 和 9 互素,但 8 和 9 都是合数 两个不同的素数一定互素. 若缺少“不同的”,则错,因为 3 和 3 都是素数
11、但不互素 3. 求两个数最大公因数的方法： 1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数 2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数; 3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法 4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是 1. 九.公倍数和最小公倍数 1.
12、公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数. 2.求两个数最小公倍数的方法: 1 一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数 2 分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数. 3 短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积. 注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相
13、同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数. 2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是 1,最小公倍数就是它们的乘积. 3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除. 十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展 1 求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分 2 求三个整数的最小公倍数: 一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数. 分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数. 短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数
