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1、概率统计矩是随机变量的更为广泛的一种数字特征，前面介矩是随机变量的更为广泛的一种数字特征，前面介绍的数学期望及方差都是某种矩绍的数学期望及方差都是某种矩.第四节第四节 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵 一一. 矩矩 定义定义:设设 和和 是随机变量是随机变量则称它为则称它为 的的 阶原点阶原点(1).(2).若若 存在，存在，简称简称 阶矩。阶矩。矩矩，若若 存在，存在，则称它为则称它为 的的 阶中心矩阶中心矩。 概率统计(3). 若若 存在，存在，则称它为则称它为和和 的的 阶混合矩。阶混合矩。(4). 若若 存在，存在，则称它为则称它为和和 的的 阶阶混合中心矩混合中心矩。注：注：数学期望数学
2、期望 是随机变量是随机变量 的一阶的一阶显然显然：原点矩；方差原点矩；方差 是随机变量是随机变量 的的二阶中心矩；协方差二阶中心矩；协方差 是随是随的二阶混合中心矩。的二阶混合中心矩。机变量机变量 和和概率统计二二. 协方差矩阵协方差矩阵将它们排成矩阵的形式将它们排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1, X2）的）的协方差矩阵协方差矩阵.这是这是一个一个对称对称矩阵矩阵定义定义: 若二维随机变量（若二维随机变量（X1, X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩都存在，分别记为：都存在，分别记为：概率统计 类似可定义类似可定义 n 维随机变量维随机变量( X1, X2, , Xn ) 的的
3、 协方差矩阵协方差矩阵.为为( X1, X2, , Xn ) 的的协方差矩阵协方差矩阵都存在，则都存在，则称称矩阵：矩阵：i, j = 1, 2, n若若注注： 概率统计f ( x1, x2, , xn )则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.C 是是( X1, X2, , Xn ) 的协方差矩阵的协方差矩阵.|C| 是它的行列式，是它的行列式， 表示表示 C 的逆矩阵的逆矩阵.X 和和 是是 n 维列向量，维列向量， 表示表示 X 的转置的转置. 设设 =( X1, X2, , Xn )是一个是一个 n 维随机向量，维随机向量，若若 它的概率密度为：它的概率密度为： n 维正态分
4、布的概率密度的定义维正态分布的概率密度的定义.其中：其中：推导过程见教推导过程见教材材P135概率统计n 元正态分布的四条元正态分布的四条重要性质重要性质X = ( X1, X2, , Xn ) 服从服从 n 维正态分布的维正态分布的充充 分必要条件分必要条件是：对一切不全为零的实数：是：对一切不全为零的实数： a1, a2, , an ， ( X1, X2, , Xn ) 的任意线性组的任意线性组合：合：a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服从一维正态均服从一维正态分布分布.(1).(2).若若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服从服从 n 维正态分布，维正态分布， Y1,
5、 Y2, ，Yk 是是 Xj（j = 1, 2, n）的线性）的线性函数，则函数，则 ( Y1, Y2, ，Yk ) 也服从多维正态也服从多维正态分布分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性这一性质称为正态变量的线性变换不变性.概率统计若若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服从服从 n 维正态分布，维正态分布， 则它的每一个分量则它的每一个分量 Xj（j = 1, 2, n）都服从）都服从(3).正态分布；正态分布；反之反之，若，若 X1, X2, , Xn 都服从都服从正态分布，且相互独立，则正态分布，且相互独立，则 ( X1, X2, , Xn ) 服从服从 n 维正态分布。维
6、正态分布。设设 ( X1, X2, , Xn ) 服从服从 n 维正态分布，则：维正态分布，则：(4).“ X1, X2, , Xn 相互独立相互独立 ” 与与 “ X1, X2, , Xn 两两不相关两两不相关 ”是是等价等价的的。上述的四条性质在后续的上述的四条性质在后续的“随机过程随机过程”与与“数理统数理统计计”课程中会经常用到。课程中会经常用到。概率统计设随机变量设随机变量 X 和和 Y 相互独立，且相互独立，且 X N ( 1, 2 ),Y N (0, 1 ).故故: X 和和 Y 的联合分布为正态分布，的联合分布为正态分布，X 和和 Y 的任的任 意线性组合是正态分布意线性组合是正态分布.X N ( 1, 2 ), Y N ( 0, 1 )，且，且 X 与与 Y 独立独立D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 即：即： Z N ( E(Z)，D(Z) )例例试求试求：Z = 2X Y + 3 的概率密度的概率密度解解: 因为因为：而而：概率统计故：故： Z 的概率密度为：的概率密度为：Z N ( 5, 32 )所以所以：
