二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 记号记号 (设下面涉及的偏导数连续): • 一般地, • • 表示表示 定理定理1 1. .的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中①②① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,②称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 . 证证: : 令令令令则 利用多元复合函数求导法则可得: 一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. (1) (1) 当当当当 n n = 0 = 0 时时时时, , 得二元函数的拉格朗日中值公式得二元函数的拉格朗日中值公式得二元函数的拉格朗日中值公式得二元函数的拉格朗日中值公式: :(2) 若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, 由中值公式可知在该区域上 说明说明: : 例例1. 1. 求函数求函数求函数求函数解解: 的带Peano型余项的四阶泰勒公式. 例例2. 2. 求函数求函数求函数求函数解解: 的三阶泰勒公式. 因此, 其中 时, 具有极值极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A < 0 时取极大值时取极大值;A > 0 时取极小值时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数定理定理2 (充分条件充分条件) 证证: : 由二元函数的泰勒公式由二元函数的泰勒公式由二元函数的泰勒公式由二元函数的泰勒公式, , 并注意并注意并注意并注意则有所以 其中其中 , , , , 是当是当是当是当h h →0 , →0 , k k →0 →0 时的无穷小量时的无穷小量时的无穷小量时的无穷小量 , ,于是(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而△z＞0 , 因此 从而 △z＜0,(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则 时, 有异号;同号.可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, ++－若若若若 A A＝＝＝＝C C ＝＝＝＝0 , 0 , 则必有 B≠0 ,不妨设 B＞0 , 此时 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A≠0, 则若 A＝0 , 则 B＝0 ,为零或非零 此时因此 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据求它们的近似函数关系 y＝f (x) .需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型• 根据数据点的分布规律• 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求最小二乘法最小二乘法 • 偏差偏差有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理最小二乘法原理最小二乘法原理: :设有一列实验数据分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式经验公式 ., 它们大体 特别特别特别特别, , 当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时, ,问题为确定 a, b 令满足:使得解此线性方程组即得 a, b 观测数据:用最小二乘法确定a, b 通过计算确定某些经验公式类型的方法通过计算确定某些经验公式类型的方法: : 例例1. 1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解解: 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 得方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003－0.021 0.086 0.093 －0.200 例例2. 2. 在研究某单分子化学反应速度时在研究某单分子化学反应速度时在研究某单分子化学反应速度时在研究某单分子化学反应速度时, , 得到下列数据得到下列数据得到下列数据得到下列数据: :57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻 反应 物的量. 试根据上述数据定出经验公式解解:由化学反应速度的理论知, 经验公式应取其中k , m 为待定常数. 对其取对数得(线性函数) 因此因此因此因此 a a , , b b 应满足方程组应满足方程组应满足方程组应满足方程组: : 经计算得 解得: 所求经验公式为其均方误差为 。