控制系统的数学模型.ppt

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1、控制系统的数学模型 第一节教学模型的基本概念第一节教学模型的基本概念第二节控制系统的动态微方程第二节控制系统的动态微方程第三节控制系统的传递函数第三节控制系统的传递函数第四节动态结构图及其等效变第四节动态结构图及其等效变换换控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式式: 本章重点：本章重点：.了解建立微方程的一般方法.掌握运用拉氏变换解微方程的方法.熟练运用梅狲公式求传递函数以及从不同途径求传递函数的方法第二次课第二次课教学学时：教学学时：2学时学时目的要求：通过本次课程了解数学模型的基本概念，控制系统目的要求：通过本次课

2、程了解数学模型的基本概念，控制系统的动态微方程的一般写发与求解的动态微方程的一般写发与求解知识要点：知识要点： 1.数学模型的基本概念数学模型的基本概念 2.控制系统的动态微方程控制系统的动态微方程 a.列写动态微方程的一般写法列写动态微方程的一般写法 b.线形系统微方程的求解线形系统微方程的求解 教学步骤：先介绍数学模型的基本概念，在围绕概念讲述动态教学步骤：先介绍数学模型的基本概念，在围绕概念讲述动态微方程的的一般写法与求解并举例说明微方程的的一般写法与求解并举例说明教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等课后作业：习题课后作业：习题2-

3、1（a c ) 只要求写出微方程只要求写出微方程板书或旁注板书或旁注：.图2-1、2-4的讲解和例题2-5的讲解 （30分钟）.列写系统动态微方程的一般步骤 （30分钟）.用拉氏变换法求解微分方程的一般步骤 （30分钟）教学内容：教学内容：第一节数学模型的基本概念第一节数学模型的基本概念自动控制系统的数学模型是描述系统在运动过程中各物自动控制系统的数学模型是描述系统在运动过程中各物理变量之间相互关系的数学表达式的。因为系统在运动中理变量之间相互关系的数学表达式的。因为系统在运动中各物理变量是随时间而变化的各物理变量是随时间而变化的,所以这个运动方程是微分方所以这个运动方程是微分方程而不是代数方

4、程，通常称为动态微分方程。程而不是代数方程，通常称为动态微分方程。线性微分方程在一定条件下，可以用拉氏变换转换成传线性微分方程在一定条件下，可以用拉氏变换转换成传递函数并用动态结构图表示，所以系统数学模型的形式有递函数并用动态结构图表示，所以系统数学模型的形式有微分方程微分方程传递函数和动态结构图。传递函数和动态结构图。建立系统数学模型，有两种基本方法：解析法和实验法。建立系统数学模型，有两种基本方法：解析法和实验法。所谓解析法就是根据系统及元件各变量遵循的物理规律，推所谓解析法就是根据系统及元件各变量遵循的物理规律，推导出其数学表达式，从而建立数学模型。导出其数学表达式，从而建立数学模型。

5、第二节控制系统的动态微分方程一一列写动态微分方程的一般方法列写动态微分方程的一般方法1.确定系统或各元件的输入变量输出变量。系统的 给定或扰动量都是输入变量，而被控量是输出变量。2.从系统的输入端开始，依据各变量所付值的物理归（如电路中的基尔霍夫定律；力学中的牛顿定律；热力学 定律以及能量守衡定律等），列写出在变化过程中的各个动态微分方程。并考虑其它因数。3.消去所列各微分方程组的中间变量，得到描述系统的输入 输出变量的微分方程。4.整理所得微分方程，一般将输出量放在分号左侧按降序排列。 以下举例说明建立动态微分方程的步骤和方法:例2-1 如图2-1所示，列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程

6、式。 解：电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，改解：电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，改变电枢电压变电枢电压u ua a，可控制其转速，可控制其转速n n或角速度的变化。或角速度的变化。 (1) .(1) .输入变量为输入变量为u ua a输出变量为输出变量为n n。 (2).(2).电动机转动原理，列出各运动微分方程：电动机转动原理，列出各运动微分方程：电路的电压平衡方程式：电路的电压平衡方程式： ifGD2N1MLnRaeaLaUaM 若忽略电枢反应，涡流及磁滞影响。当励磁电流if一定时，磁通为恒定，则电枢反电动势式中 角速度，单位s-1ce电动势常数，单位v.s电磁力矩

7、式中cm力矩常数，单位.m/A转动方程：机械力矩平衡方程式：式中f集中粘性摩擦系数，单位 .m.sML负载力矩，单位 .m(3)消去中间变量，可得输入ua与输出w间的函数关系 负载ML能带来扰动。上式为二阶常数线性微分方程，简称二阶系统。JLa为两个储能元件。 (4)讨论：在大电机中，粘性摩擦力矩相对较小而可忽略，则上式有：将上式除以Ce并令Tm= 称为机电时间常数； 称为电枢电磁时间常数。 则上式可简化成如果进一步忽略电机电枢的La时，TL=0,则有 例2-2写出图2-3RLC串联电路的微分方程，设ui为输入变量，u0为输出变量。LRU0i0UiUic解：根据电路原理、各元件上: , , ,

8、忽略与输出端相并联的电流i0，有:则代入整理得：令 , 均为时间常数则：为二阶常系数线性微分方程，有LC两个储能元件。令 , 均为时间常数则：返回上页:例24 列写图24所示弹簧质量块阻尼器的机械位移系统的微分方程。设外作用力F为输入变量，位移x为输出变量。图2-弹簧、质量、阻尼器动力系X(t)fKF(t)m解：根据力学原理，弹簧弹力F1=kx 式中： k弹性系数； x位移。质量作用力F=ma式中： m质量； a加速度。阻尼电阻力 式中： f粘性摩擦系数； v移动速度。 在外力F作用下，克服弹簧恢复力及阻力，使质量m发生位移x，并有加速度 产生。根据牛顿定律，系统的力学平衡方程式有令: mF

9、F1F2 为时间常数， 为阻尼比 , 为放大系数。 上式可写成二阶系统标准形式的微分方程二线性系统微分方程的求解用拉氏变换法求解微分方程的一般步骤是：1.对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，以将微分方程变成带s的代数方程。2. 整理代数方程，求出待求函数的拉氏变换式。3. 通过查变换表求经过某些数字处理后，变成适于查表的形式再查表，求得拉氏变换的反变换式。它即是微分方程的解自动控制系统动态过程的时域表达式。第三次课第三次课教学学时：2学时目的要求：通过本次课程熟练掌握求解控制系统的传递函数和几个典型环节知识要点： 1.控制系统的传递函数 b.关于传递函数的几点说明c.典型环节的传递函数教学步骤

10、：先介绍传递函数的基本概念，在围绕概念重点讲述典型环节的传递函数并举例说明课后作业：习题2-1板书或旁注：1.传递函数的基本概念的介绍 （16分钟）2.图2-6、2-7既比例环节的讲解 （16分钟）3.图2-8、2-9即惯性环节的讲解 （16分钟）4.图2-10、2-11既积分环节的讲解 （16分钟）5. 图2-12、2-14既微分环节的讲解 （16分钟）教学内容：第三节第三节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数一传递函数的基本概念1定义：线性系统在零初始条件下，输出量与输入量的拉氏变换之比，称该系统的传递函数。自动控制系统微分方程的一般形式可写成：式中 xi(t)输入量； x0(t)输出量

11、；a0a1 an , b0b1bm常系数决定结构参数。在零初始条件下取拉氏变换：传递函数:则 : 可用框图表示如图25所示：图25线性系统的输入输出关系传递函数可称为放大倍数。2关于传递函数性质的几点说明 (1)传递函数的概念只适用于定常线性系统，它只反映系统在零初始条件下的系统动态性能或者加输入前系统处于相对静止状态 (2)系统的传递函数，完全由系统的结构及其参数决定，而与外作用（输入与干扰）信号的形式无关。(3)系统的实际传递函数，一般有nm。 (4)一个传递函数只能表达一对输入输出间的关系。因而在分析和求取传递函数时必须明确是哪个输入与哪个输出间的关系。同一系统不同输入则传函不同。 (5

12、)不同元件和系统，物理构成不同，但可能有相同的传递数，传函相同则对应物理量就有相同的动态特性。 (6)在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各系数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。 在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各系数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。式中kg放大系数；G(s)也用时间常数表示。式中: k放大系数, 1 2，T1T2组成系统各环节的时间常数；N积分环节的个数；二典型环节的传递函数及其动态响应。(一） 比例(放大)环节。输出量与输入量成比例关系叫比例环节。代数方程 传递函数 式中：k比例常数或称放大系数。只有比例环节的系统，成为零阶系统。

13、比例环节的单位过渡函数是输出随输入成比例变化，反观输入没有时间滞后。 如图26所示，故又成为无惯性环节。 图26比例环节的输入输出关系下面通过电子放大器举例说明：图27电子放大器，输出电压式中R1R2电阻。（二）惯性环节微分方程 传递函数 此为一阶系统，其中T是惯性环节的时间常数。动态响应 ：求拉氏反变换得 4TRCUiUo图29常见惯性环节（三）积分环节微分方程 即输出量与输入量随时间的积分，其中T为积分时间常数。传递函数 动态响应单位阶跃输入时 它的缺点是输出量为输入量对时间的积累，呈线性增大，对于输入的突变，输出要等T时后才能等于输出，故有滞后缓冲的作用。_RCUiUs+图211为电子积

14、分调节器，以ui(t)为输入，u0(t)为输出（四）微分环节 常有的微分环节有两种，即理想微分环节和比例微分环节，向看理想微分环节。微分方程 式中 微分时间常数。 其传递函数为 动态响应 其输出为相同方向的冲击函数，其特点有加快作用，反映了变化的趋向。如图212UiUoCR实例：图213为RC微分电路，以ui(t)输入，u0(t)输出，（五）一阶微分环节微分方程 传递函数 一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节，其动态响应为：其特性如图215 图215 一阶微分环节的输入输出关系六振荡环节 微分方程： 传递函数： 图2-17 振荡环节阶跃响应 以R-L-C串联电路为例 （七）

15、时滞环节时滞环节也称延迟环节，是信号输入后需经过一个时间延迟输出才完全复现输入信号。数学方程： 传递函数： 可以近似为一惯性环节。 第四次课第四次课教学学时：2学时目的要求：通过本次课程了解动态结构框图的概念，掌握传达室递函数的求取同时初步了解结构框图的等效变换知识要点： 1. 传达室递函数的求取 2. 动态结构框图的基本概念 3. 结构框图的等效变换 教学步骤：先介绍传达室递函数的求取方法，然后介绍动态结构框图的基本概念在围绕概念重点讲述结构框图的等效变换教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等课后作业：习题2-1板书或旁注：1.传达室递函数的求取 （30分钟）2. 动态结构框图的基本

16、概念 （25分钟）3. 图229到231既 串并联、反馈方框图的等效变换的讲解 （35分钟 )教学内容：第三节第三节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 三传达室递函数的求取 在列写出系统的微分方程之后，将其取拉氏变换，由定义可得传递函数，如上述所举各例。 例：求图，调节器的传递函数。R1R3R2U1C_+解： 例：2-10求传递函数以UI(t)为输入，U0(t)为输出。 此为一阶微分环节，即比例微分调节器（PD）。（三）利用动态结构图求解 对于一个复杂自控系统，所列各环节微分方程但方程数较多，消去中间变量的工作很麻烦，若利用动态结构图化简，求解传递函数将大大简化计算，下节将详细介绍有关结构

17、图内容。（四）实验法 通过实验，测取系统在阶跃输入下的动枋响应，或用测频率特性的方法，可近似地计算出被测系统的传递函数。第四节：动态结构图及其等效变换第四节：动态结构图及其等效变换一动态结构图的概念 信号线表示信号的流传方向，可以标出信号的复域名称， 举例说明系统动态结构图的建立过程。 例：求如图2-23所示RC网络的动态结构图，设Ui(t)为输出Uo(t)。 a)原理图 例：求如图2-24所示二级阻容滤波电路的结构图。 解：把二级滤波器看成一个组合网络，但忽略Uo端输出电流时有 a) 原理图 R1R2R3R4C_+ 图2-27速度调节器 (2)速度反馈的传递函数: 式中Kfd-速度反馈系统(

18、3)晶闸管功率放大环节的传递函数: 二.结构图的等效变换(一) 串联方框图的等效变换当各环节之间不存在(或可忽略)负载效应时 串联时等效传函等于并联各环节传递数之代数积. (二) 并联方框图的等效变换并联时等效传函等于并联各环节传递数之代数和. (三) 反馈联接的等效变换+式中: G(s)-开环传递函数 (s)-闭环传递函数 分母中的对应于负反馈，对应于正反馈 若反馈通道中(s)=1，称为单位反馈，分析中常用，此时有第五课次第五课次教学学时：2学时目的要求：通过本次课程掌握结构框图的等效变换、梅逊公式并学会用公式法求相关多回路系统的传递函数知识要点： 1.结构框图的等效变换 a.分支点的移动b

19、.综合支点的移动2.梅逊公式 3.用公式法求相关多回路系统的传递函数 教学步骤：先介绍动态结构的等效变换并举例说明同时介绍梅逊公式同时以及用公式法求相关多回路系统的传递函数的方法并举例说明教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等课后作业：习题2-6、2-7、2-11、2-12板书或旁注：1图2-32、2-33既分支点移动的讲解 (30分钟)2. 例题2-36、2-44的讲解 （15分钟）3. 非单位反馈系统变换成单位反馈系统的两种方法 （30分钟)4. 梅逊公式的几点说明以及例题2-39的讲解 （15分钟）教学内容：第四节：动态结构图及其等效变换第四节：动态结构图及其等效变换（四）分支点

20、的移动（五）综合点的移动(六) 分支之间，综合点之间相互移动 例：化简图2-36 , 并求: 图2-36例题化例；化简2-37 解：此结构图有三个回路，但其中两个回路是相互独立的，即不交叉也不包围，因此不能使用上式去求 例2-18，在分析设计系统中，常将非单位反馈系统变换成单位反馈系统，根据不同的要求，有两种办法： 方法一：已知系统结构图 ，试化为单位负反馈系统2)已知非单位反馈的闭环传递函数为 求变成单位反馈后的传递函数G(s)，变换前后相等则 图2-42为非单位反馈系统，可以变换成2-43等效单位反馈系统图2-42 非单位化 图2-43 例：求图2-44所示传递函数 解：在求某一对输入输出

21、间的传递函数时，其它的输入输出可以不看，若要多个输入对某一个输出，则可用叠加原理相叠加（当X1(s)作用时X3(s)输入为零）则(1)由以上计算可见，同一闭环系统对不同输入点的信号和不同输出点的信号间的传递函数，有共同的分母，它就是这个系统微分方程的特征方程的拉氏变换式，常称特征多项式，它决定了系统响应的基本特点和动态本质三梅逊公式G1GH 图3-28多回路系统结构图的化简 _R(s)C(s)四用公式法求相关多回路系统的传递函数 梅逊公式： 式中: T-从源节点至任何节点的传输； Pk-第条前向通道的传输； -信号流图的特征工，是信号流图所表示的方程组的系数行列式，其 表达工为： 1.根据梅逊公式来求图3-29的信号流图的总传输 解：此系统有六个环，即，ab,cd,ef,gh,ij,kfdb.因此：由此可求特征式： 因此： 另一条前向通道为kgl，它不与回路cd接触，所以 将此上结果代入公式，可得总传输：