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1、一元一次方程方程应用题归类分析列方程解应用题，是初中数学的重列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面解决实际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助学们有所帮助. .1. 和、差、倍、分问题：和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词）倍数关系：通过关键词
2、语语“是几倍，增加几倍，增加到几是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率倍，增加百分之几，增长率”来体现。来体现。 （2）多少关系：通过关键词）多少关系：通过关键词语语“多、少、和、差、不足、剩余多、少、和、差、不足、剩余”来体现。来体现。2. 等积变形问题：等积变形问题： “ “等积变形等积变形”是以形状改变是以形状改变而体积不变为前提。常用等量而体积不变为前提。常用等量关系为：关系为： 形状面积变了，周长没形状面积变了，周长没变；变； 原料体积成品体积。原料体积成品体积。例2. 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中
3、的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积积长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度下降的高度就是倒出水的高度 解：设玻璃杯中的水高下降解：设玻璃杯中的水高下降xmmxmm3. 劳力调配问题：劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：见题型有： （1）既有调入又有调出；）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。分变化，其余不变
4、。 例例3. 机械厂加工车间有机械厂加工车间有85名工人，名工人，平均每人每天加工大齿轮平均每人每天加工大齿轮16个或小个或小齿轮齿轮10个，已知个，已知2个大齿轮与个大齿轮与3个个小齿轮配成一套，问需分别安排多小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：列表法。分析：列表法。等量关系：小齿轮数量的等量关系：小齿轮数量的2倍大齿轮数量的倍大齿轮数量的3倍倍 每人每天每人每天 人数人数 数量数量 大齿轮大齿轮 16个个 x人人 小齿轮小齿轮 10个个x人人解：设分别安排解：设分别安排x名
5、、名、 名工人加工大、小齿轮名工人加工大、小齿轮 由题可得由题可得: 答：略答：略.问题二问题二 某车间每天能生产甲种零件某车间每天能生产甲种零件120120个，个，或乙种零件或乙种零件100100个，甲、乙两种零件分别取个，甲、乙两种零件分别取3 3个、个、2 2个才能配成一套，现要在个才能配成一套，现要在3030天内生产最多的天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？天数？1 1、你能找出题中的等量关系吗？、你能找出题中的等量关系吗？ 生产出的甲、乙两种零件恰好能配套生产出的甲、乙两种零件恰好能配套2 2、该如何设未知数呢？、该如何
6、设未知数呢？设安排生产甲种零件设安排生产甲种零件 x x 天，则生产乙种零件为天，则生产乙种零件为 （30 30 x x ）天。）天。3 3、你能列出此方程吗？、你能列出此方程吗？4 4、你会解此方程吗？、你会解此方程吗？5 5、你该如何取数呢？、你该如何取数呢？4. 比例分配问题：比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设这类问题的一般思路为：设其中一份为其中一份为x，利用已知的比，写，利用已知的比，写出相应的代数式。出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和常用等量关系：各部分之和总量。总量。 例例4. 4. 三个正整数的比为三个正整数的比为1 1：2 2：4 4，它，它们的和是们的和是84
7、84，那么这三个数中最大的，那么这三个数中最大的数是几？数是几？ 解：设一份为解：设一份为x x，则三个数分别为，则三个数分别为x x，2x2x，4x4x 分析：等量关系：三个数的和是分析：等量关系：三个数的和是8484 答：略答：略. .5. 5. 数字问题数字问题（1 1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为百位数字为a a，十位数字是，十位数字是b b，个位数字为，个位数字为c c（其中（其中a a、b b、c c均为整数，且均为整数，且1a91a9， 0b90b9， 0c90c9）则这个三位数表示为：）则这个三位数表示为：100a+10b+c
8、100a+10b+c。（2 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大间的关系，较大的比较小的大1 1；偶数用；偶数用2N2N表示，连续的偶数用表示，连续的偶数用2n+22n+2或或2n2n2 2表示；奇表示；奇数用数用2n+12n+1或或2n2n1 1表示。表示。例例5. 一个两位数，个位上的数是十位上的一个两位数，个位上的数是十位上的数的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两，求原来的两位数位数等量关系：原两位数等量关系：原两位数
9、+36=对调后新两位数对调后新两位数解：设十位上的数字解：设十位上的数字X，则个位上的数是，则个位上的数是2x，102x+x=（10x+2x）+36解得解得x=4，2x=8.答：略答：略.6. 工程问题：工程问题： 工程问题中的三个量及其关系工程问题中的三个量及其关系为：工作总量为：工作总量=工作效率工作效率工作时间工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位设工作总量为单位1。例例6. 一件工程，甲独做需一件工程，甲独做需15天完天完成，乙独做需成，乙独做需12天完成，现先由甲、天完成，现先由甲、乙合作乙合作3天后，甲有其他任务，剩天后，甲有其他任务
10、，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？天才能完成全部工程？ 7. 7. 行程问题：行程问题： （1 1）行程问题中的三个基本量及其关系：）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程路程= =速度速度时间。时间。 （2 2）基本类型有）基本类型有 相遇问题；相遇问题； 追及问题；常见的还追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3 3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还
11、常常借助画草问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。图来分析，理解行程问题。 例例7. 甲、乙两站相距甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲公里，一列慢车从甲站开出，每小时行站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开公里，一列快车从乙站开出，每小时行出，每小时行140公里。公里。 （1）慢车先开出）慢车先开出1小时，快车再开。两车小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距后两车相距600公里？公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同）
12、两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出）慢车开出1小时后两车同向而行，快小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？慢车？ 8. 利润赢亏问题利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：）有关关系式： 商品利润商品利润=商品售价
13、商品售价商品进价商品进价=商品商品标价标价折扣率折扣率商品进价商品进价商品利润率商品利润率=商品利润商品利润/商品进价商品进价 商品售价商品售价=商品标价商品标价折扣率折扣率商品标价商品标价折扣率折扣率商品进价商品进价= =进价进价利润率利润率例例8. 一家商店将某种服装按进一家商店将某种服装按进价提高价提高40%后标价，又以后标价，又以8折优折优惠卖出，结果每件仍获利惠卖出，结果每件仍获利15元，元，这种服装每件的进价是多少？这种服装每件的进价是多少？ 本金本金：顾客存入银行的钱：顾客存入银行的钱利息利息本金本金年利率年利率年数年数从从19991999年年1111月月1 1日日起起，国国家家
14、对对个个人人在在银银行行的的存存款款征征得得利利息息税税20： 税后利息税后利息本金本金年利率年利率年数年数（120） 本息和本息和：本金与税后利息的和：本金与税后利息的和即：即：本息和本息和本金本金本金本金年利率年利率年数年数（120） 9. . 储蓄问题储蓄问题 问题问题1 1： 一年期定期储蓄年利率为一年期定期储蓄年利率为2.252.25，所得利息要交纳所得利息要交纳2020的利息税，已知小帅有的利息税，已知小帅有一笔一年期定期储蓄，到期纳税后得利息一笔一年期定期储蓄，到期纳税后得利息450450元，问小帅存入多少本金？元，问小帅存入多少本金？解解： 设小帅存入本金设小帅存入本金 元元.
15、 . 根据题意，得根据题意，得 解方程，得解方程，得答：小帅存入本金答：小帅存入本金2500025000元元分析：等量关系：分析：等量关系： 本息和本息和= =本金本金（1+1+利率）利率）例例9. 9. 某同学把某同学把250250元钱存入银行，元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共整存整取，存期为半年。半年后共得本息和得本息和252.7252.7元，求银行半年期元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）的年利率是多少？（不计利息税）问题问题2 2： 小帅存入本金小帅存入本金10001000元，作为两年元，作为两年期的定期储蓄，到期后他共取出期的定期储蓄，到期后他共取出1039.2
16、1039.2元，元，已知利息税税率是已知利息税税率是2020，求该储蓄的年利，求该储蓄的年利率率 解方程，得解方程，得解解: : 设两年期储蓄年利率为设两年期储蓄年利率为 . . 根据题意，得根据题意，得 答：两年期储蓄的年利率是答：两年期储蓄的年利率是2.452.45 有有关关溶溶液液的的浓浓度度应应用用题题是是初初中中代代数数中中列列方方程程解解应应用用题题的的一一类类基基本本题题解解这这类类应应用用题题，关关键键的的问问题题是是：抓抓住住不不变变量量( (如如稀稀释释前前溶溶质质重重量量等等于于稀稀释释后后溶溶质质重重量量) )列列方方程程 （1）求溶质例例5 5、现现有有浓浓度度为为2
17、020的的盐盐水水300300克克和和浓浓度度为为3030的的盐盐水水200200克克，需需配配制制成成浓浓度度为为6060的的盐盐水水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？解解：设设两两种种溶溶液液全全部部混混合合后后，还还需需加加盐盐x x克克，注注意混合前后溶质总量不变，依题意得方程：意混合前后溶质总量不变，依题意得方程： 20 20300+30300+30200+200+x=60x=60(300+200+x)(300+200+x) 化简得化简得2 2x=900x=900解这个方程得解这个方程得x=450x=450答：两种溶液全部混合后，还需加盐答
18、：两种溶液全部混合后，还需加盐450450克克（2）求溶剂例例6 6、要要把把浓浓度度为为9090的的酒酒精精溶溶液液500500克克，稀稀释释成成浓浓度度为为7575的的酒酒精精溶溶液液，需需加加水水多少克多少克解解：设设需需加加水水x x克克，因因为为加加水水前前后后溶溶质质数数量不变，依题意得方程量不变，依题意得方程 75 75( (x+500)=90x+500)=90 500500 化简得化简得1515x=1500x=1500 解这个方程得解这个方程得x=100x=100 答：需加水答：需加水100100克克（3）求溶液例例7 7、有有若若干干克克4 4的的盐盐水水蒸蒸发发了了一一些些
19、水水分分后后，变变成成1010的的盐盐水水，接接着着加加进进4 4的的盐盐水水300300克克，混合后变为混合后变为6.46.4的盐水，的盐水， 问问: :最初有盐水多少克？最初有盐水多少克？解解：设设最最初初有有盐盐水水x x克克，注注意意混混合合后后的的含含盐盐量量，依题意得方程依题意得方程 化简得化简得 1.44 1.44x=720x=720 解这个方程得解这个方程得x=500x=500答：最初有盐水答：最初有盐水500500克克（4）求浓度例例8 8、甲甲种种硫硫酸酸溶溶液液含含硫硫酸酸的的百百分分数数是是乙乙种种硫硫酸酸溶溶液液的的1.51.5倍倍，甲甲种种硫硫酸酸溶溶液液5 5份份
20、与与乙乙种种硫硫酸酸溶溶液液3 3份份混混合合成成的的硫硫酸酸溶溶液液含含硫硫酸酸52.552.5，求求两两种种硫硫酸酸溶溶液液含含硫酸的百分数硫酸的百分数解解：设设乙乙种种硫硫酸酸溶溶液液含含硫硫酸酸的的百百分分数数为为x x，则则甲甲种种硫硫酸溶液含硫酸的百分数为酸溶液含硫酸的百分数为1.51.5x x，依题意得方程依题意得方程5 51.51.5x+3x=52.5x+3x=52.58 8化简得化简得105105x=42x=42解这个方程得解这个方程得x=0.4=40x=0.4=40，则则 1.5 1.5x=1.5x=1.50.4=0.6=600.4=0.6=60答答：甲甲种种硫硫酸酸溶溶液液含含硫硫酸酸的的百百分分数数是是6060，乙乙种种硫硫酸酸溶液含硫酸的百分数是溶液含硫酸的百分数是4040四、实际应用四、实际应用 方程建模方程建模问题：列一元一次方程解决实际问题一般问题：列一元一次方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤？要经过哪几个步骤？（1 1）设未知数；）设未知数；（2 2）列方程；）列方程；（3 3）解方程；）解方程；（4 4）检验；）检验；（5 5）写答案）写答案. .
