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1、案例案例1：如何估计池塘中鱼的数量：如何估计池塘中鱼的数量一、问题：要估计一个池塘里有多少条鱼，可以采用一、问题：要估计一个池塘里有多少条鱼，可以采用“标志标志重捕法重捕法”，即：先重池塘中捕出，即：先重池塘中捕出r条，每条鱼都做上记号，经条，每条鱼都做上记号，经过一段时间后，再从池塘中捕出过一段时间后，再从池塘中捕出s条（条（sr），统计其中标有），统计其中标有记号的鱼的条数记号的鱼的条数t,利用这些信息，估计池塘中鱼的条数利用这些信息，估计池塘中鱼的条数N.需需要要作作哪哪些些假假设设？1、实验期间，标记个体不会变化。、实验期间，标记个体不会变化。2、标记不会对鱼造成伤害。、标记不会对鱼造
2、成伤害。3、期间没有迁出、迁入、新生和死亡。、期间没有迁出、迁入、新生和死亡。4、所有鱼被捕获的概率相等。、所有鱼被捕获的概率相等。模模型型假假设设二、问题的分析与求解二、问题的分析与求解解法一：用概率的统计定义方法求解法一：用概率的统计定义方法求从而，从而，N的估计为：的估计为：可用参数估计方法求解可用参数估计方法求解解法二：用矩估计方法求解法二：用矩估计方法求易求得：易求得：与解法一结果一致！与解法一结果一致！解法三：二项分布与最大似然估计解法三：二项分布与最大似然估计评述：评述：1、同一问题可用不同方法求解。、同一问题可用不同方法求解。2、类似问题可用同样方法去考虑。、类似问题可用同样方
3、法去考虑。3、估计动物群体数量还可用其它方法，如、估计动物群体数量还可用其它方法，如“轰轰赶法赶法”.案例案例2：产品质量验收中抽样方案的确定：产品质量验收中抽样方案的确定一、问题：一批产品出厂之前，要进行质量验收，一般采用一、问题：一批产品出厂之前，要进行质量验收，一般采用抽样检验法，即从一大批产品中随机抽出抽样检验法，即从一大批产品中随机抽出n件，用这件，用这n件产件产品的质量信息推断整批产品的质量状况，以确定这批产品是品的质量信息推断整批产品的质量状况，以确定这批产品是否合格。在抽样之前要确定抽样方案，即样本容量及接受这否合格。在抽样之前要确定抽样方案，即样本容量及接受这批产品的准则。批
4、产品的准则。二、问题的分析与模型的建立二、问题的分析与模型的建立显然，接受概率显然，接受概率L是是p的函数，记为的函数，记为L=L(p)，称为接受概率称为接受概率曲线，或抽样特征曲线，也称曲线，或抽样特征曲线，也称OC曲线曲线. L(p)是是p的减函数的减函数.p由于抽样的随机性，有可能拒绝由于抽样的随机性，有可能拒绝一批高质量的产品，犯这类错误一批高质量的产品，犯这类错误的概率记为的概率记为 ，称为生产风险；，称为生产风险；也有可能接受一批低质量的产品，也有可能接受一批低质量的产品，犯这类错误的概率记为犯这类错误的概率记为 ，称为，称为使用风险。使用风险。 只有增大容量n才能同时降低这两类错
5、误的概率，但这样做通常是不可行的！一种折衷的方案是生产者和使用者都承担一定的风险. 高质量的产品高质量的产品(p较小较小)使用方以高概率接受，以保护厂方使用方以高概率接受，以保护厂方利益；低质量的产品利益；低质量的产品(p较大较大)使用方以低概率接受，以保护使用方以低概率接受，以保护使用方利益。使用方利益。p由于由于L(p)是是p的减函数，所以的减函数，所以n,d也可由下式确定也可由下式确定 现要验收一批产品，如果该批产品的次品率现要验收一批产品，如果该批产品的次品率p0.1就拒绝这批产品。并且要求当就拒绝这批产品。并且要求当p0.1时接受这时接受这批产品的概率为批产品的概率为0.1，试为验收
6、者制定验收抽样方案。，试为验收者制定验收抽样方案。三、举例三、举例抽查抽查112件产品，如果抽得的不合格品数不超过件产品，如果抽得的不合格品数不超过8件，就接件，就接受该批产品，否则拒绝该批产品。受该批产品，否则拒绝该批产品。四、问题的扩展四、问题的扩展也可用上述方法确定计量质量指标抽样检验方案也可用上述方法确定计量质量指标抽样检验方案因此，抽样检验检验方案可以用(n,c)表示。解上述方程组，得五、问题的进一步思考五、问题的进一步思考一、问题：一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回卖掉的报纸退回. . 每份报纸订购价格为每份
7、报纸订购价格为b，零售价格为零售价格为a ，退退回价格为回价格为c (a b c ). 请你为报童制定一个最佳订购方案请你为报童制定一个最佳订购方案. 案例案例3：报童的订报模型：报童的订报模型二、问题的分析二、问题的分析 报童每天卖出报纸的数量报童每天卖出报纸的数量 是一个随机变量，因此报童每是一个随机变量，因此报童每天的收入也是一个随机变量天的收入也是一个随机变量, , 所以作为优化模型的目标函数所以作为优化模型的目标函数, ,不能是报童每天的收入不能是报童每天的收入, , 而应该是他长期卖报的日平均收入而应该是他长期卖报的日平均收入. . 从大数定律的观点来看从大数定律的观点来看, 这相
8、当于他每天收入的期望值这相当于他每天收入的期望值. 另一方面另一方面,如果报纸订得太少如果报纸订得太少,供不应求供不应求, 报童就会失去一些报童就会失去一些挣钱的机会挣钱的机会,将会减少收入将会减少收入;但如果订多了但如果订多了,当天卖不完当天卖不完,每份得每份得赔钱赔钱, 报童也会减少收入报童也会减少收入. 设报社有足够的报纸可供定购；设报社有足够的报纸可供定购； 当天卖不出去的报纸只能退回；当天卖不出去的报纸只能退回； 报童除了订购报纸费用外报童除了订购报纸费用外, , 其它费用其它费用( (如交通费、摊位费等如交通费、摊位费等) )一概不计；一概不计； 报童每天订购报童每天订购n份报纸份
9、报纸, , 实际能卖出实际能卖出r份报纸份报纸, , 且且P = r = p(r). .（分布律是什么？泊松分布还是正态分布？）（分布律是什么？泊松分布还是正态分布？）三、模型的假设三、模型的假设 如果如果00rn, ,则售出则售出r份报纸增加收入份报纸增加收入( (a - - b) )r, , 退回退回n- -r份份减少收入减少收入( (b- -c)()(n- -r) )； 如果如果rn, , 则售出则售出n份报纸增加收入份报纸增加收入( (a - -b) )n. . 因此报童每天收入的期望值：因此报童每天收入的期望值：问题归结为在问题归结为在a, ,b, ,c, ,p( (r) )为已知时
10、为已知时, ,求求n使使f( (n) )最大最大. .四、模型的建立四、模型的建立期期望望值值模模型型将将r视为连续变量视为连续变量五、模型的求解与结果五、模型的求解与结果结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp六、模型结果的模拟检验六、模型结果的模拟检验 poisscdf(104,100)ans = 0.6784此时，平均每天收益的期望此时，平均每天收益的期望cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;n=104;x=0:n;p=poisspdf(x,100);d=(a-b)*x-(b-c)*(n-x);f=su
11、m(d.*p)f=f+n*(a-b)*(1-poisscdf(n,100)f = 94.5115这是解析计算的结果！这是解析计算的结果！利用伪随机数产生函数利用伪随机数产生函数poissrnd作随机模拟作随机模拟clearN=5000;G=zeros(N,1);m=104;a=2.0;b=1.0;c=0.5;X=poissrnd(100,N,1);for I=1:N if X(I)=m G(I)=(a-b)*m; else G(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I); endend f=mean(G)f = 94.5863f = 94.7597再算一次！再算一次！每天平均的收益
12、的模拟值每天平均的收益的模拟值随机模拟求最佳订购数量随机模拟求最佳订购数量cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;M=50:150;k=length(M);A=zeros(k,1);for J=1:kN=5000;G=zeros(N,1);m=M(J);X=poissrnd(100,N,1);for I=1:N if X(I)=m G(I)=(a-b)*m; else G(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I); endend A(J)=mean(G);end Y,I = max(A) n=M(I) Yn = 105Y = 94.6011再算一次！再算一次！n = 104
13、Y = 94.8050七、模型的推广七、模型的推广 报童订报模型适用于一些季节性强、更新快、不易保存报童订报模型适用于一些季节性强、更新快、不易保存等特点的货物订货模型等特点的货物订货模型. . 但是模型中有一个严格的限制条件：但是模型中有一个严格的限制条件：两次订货之间没有联系两次订货之间没有联系, , 这种策略是决策论中的一种定期定这种策略是决策论中的一种定期定量订货策略量订货策略. . 案例案例4：轧钢中的浪费：轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧) 形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧) 得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分
14、布钢材长度正态分布均值可以调整均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m, 2)
15、切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率整根报废整根报废的概率的概率存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lP0p(概率密度概率密度)mxPmPP建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费 =+粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mN共浪费长度共浪费长度 mN-lPN选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适
16、的目标函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m) 最小（已知最小（已知l , ）建模建模粗轧粗轧N根得成品材根得成品材 PN根根求解求解求求 z 使使J(z) 最小（已知最小（已知 ） 求解求解例例设设l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪费最小。使浪费最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02
17、.00-1.0-2.0105F(z)z97年赛题：零件的参数设计年赛题：零件的参数设计 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特
18、殊要求时，容差通常规定为均方差的求时，容差通常规定为均方差的3 倍。倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。试通过如下的具体问题给出
19、一般的零件参数设计方法。一、模型的假设（略）一、模型的假设（略）二、问题的分析与建模二、问题的分析与建模 该优化问题的目标是：由产品的质量损失该优化问题的目标是：由产品的质量损失L和零件的成本和零件的成本C二者构成的费用函数最小，质量损失取决于产品参数偏离二者构成的费用函数最小，质量损失取决于产品参数偏离目标值目标值y0的大小，由所给数据，可设质量损失函数的大小，由所给数据，可设质量损失函数function z=ff(x)z=174.42*(x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)0.85*sqrt(1-2.62*(1-0.36*(x(2)/x(4)(0.56)1.5*(x(4)/
20、x(2)1.16)/(x(6)*x(7);function y=ff1(x)y=-8721/250000*(3*x(1)-20*x(2)*x(3)*10(1/2)*(6250*x(2)-3275*(25-9*(x(2)/x(4)(14/25)(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2)(4/25)+1179*(25-9*(x(2)/x(4)(14/25)(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2)(4/25)*(x(2)/x(4)(14/25)/x(2)/x(6)/x(7)(1/2)/x(5)/(-x(3)/(-x(2)+x(1)(3/20)/(-x(2)+x(1)2;function f,g=j
21、ianm97(x,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10)%本函数为优化目标函数本函数为优化目标函数K=100000;%t=0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.05,0.05;t=0.05,p1,p2,p3,0.1,p4,p5;C=25+p6+p7+p8+50+p9+p10;a=0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625;b=0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935;%C=275;f=K*(ff(x)-1.5)2+(K/9)*(ff1(x)*x(1)*t(1)2+(ff2(x)*x(2)
22、*t(2)2+.(ff3(x)*x(3)*t(3)2+(ff4(x)*x(4)*t(4)2+(ff5(x)*x(5)*t(5)2+.(ff6(x)*x(6)*t(6)2+(ff7(x)*x(7)*t(7)2)+C;g=a-x x-b;%97年建模题年建模题 零件参数的设计零件参数的设计(A题题)%本文件为可执行文件（主程序）本文件为可执行文件（主程序）clear allx1=0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5626;f=100000;N=0;ch2a=0.1,0.05;%第二个零件的等级第二个零件的等级ch3a=0.1,0.05,0.01;ch4
23、a=ch3a;ch6a=ch3a;ch7a=0.05,0.01;cb2n=20,50;%第二个零件的成本第二个零件的成本cb3n=20,50,200;cb4n=50,100,500;cb6n=10,25,100;cb7n=25,100;for I=1:2 for J=1:3 for K=1:3 for L=1:3 for M=1:2x,opt=constr(jianm97,x1,ch2a(I),ch3a(J),ch4a(K),ch6a(L),. ch7a(M),cb2n(I),cb3n(J),cb4n(K),cb6n(L),cb7n(M);N=N+1if opt(8)f f=opt(8); ch2=ch2a(I);ch3=ch3a(J);ch4=ch4a(K);ch6=ch6a(L);ch7=ch7a(M); cb2=cb2n(I);cb3=cb3n(J);cb4=cb4n(K);cb6=cb6n(L);cb7=cb7n(M); xx=x;end end end end endendfxxch=0.05,ch2,ch3,ch4,0.1,ch6,ch7cb=25,cb2,cb3,cb4,50,cb6,cb7三、模型的结果三、模型的结果参数的标定值：参数的标定值：容差等级容差等级：（：（B,B,B,C,C,B,B）平均每件产品的总费用平均每件产品的总费用Z=748.7（元）（元）
