变换投影面法

1  9.19.1换面法的基本概念换面法的基本概念  9.29.2点点的的投影变换投影变换  9.39.3直线的投影变换直线的投影变换  9.49.4平面的投影变换平面的投影变换  9.59.5应用举例应用举例2第一节第一节 换面法的基本概念换面法的基本概念换面法的基本概念换面法的基本概念 当当直线或平面相对于投影面处于一般位相对于投影面处于一般位置时，其投影往往不能直接反映交点、交线置时，其投影往往不能直接反映交点、交线的位置或图形实形、线段实长的位置或图形实形、线段实长 当当直线或平面对投影面处于特殊位置时，它们的投影能直接反映交点、实长、实形、夹角、距离等度量值的真实大小 换面法就是换面法就是解决这一这一间题的一种图解方法3a’abb’ 两点之间距离a’abb’c’c 三角形实形a’abb’c’cdd’ 直线与平面的交点直线与平面的交点a’b’c’d’abcd 两平面夹角几何元素的一般位置和特殊位置分析几何元素的一般位置和特殊位置分析4 如果空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置处于有利解题的位置，然后求出其在新投影面上的投影，此方法称为变换投影面法，简称换面法。

选择新投影面的原则 ⑴⑴新投影面必新投影面必须对空对空间几何元素处于有利于间几何元素处于有利于解题的位置解题的位置 ⑵新投影面必须垂直原投影面体系中的某一投影面以构成新的相互垂直的投影面体系旧投影面新投影面不变投影面5X XV VH Ha'a'a aa ax xX X1 1H HV V1 1a a＇＇1 1a ax1x1变换变换V V面面第第二二节节 点的投影变换点的投影变换点的投影变换点的投影变换 一、点的一次变换aa'a'a ax xA AV VH HX XX X1 1V V1 1a ax1 x1 ' 'a a1 1 ' 'o oo o1 1o o1 1o o6 点的投影变换规律 ⑴点的新投影与不变投影的连线，必定垂直于新投影轴 ⑵点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离X XV VH Ha'a'a aa ax xX X1 1H HV V1 1a a1 1＇＇a ax1x1o o1 1o o7 点的投影变换基本作图法 ⑴根据需要，在投影图中的适当位置，画出新投影轴O1X1。

⑵过不变投影a作新投影轴O1X1的垂直线aax1 ⑶在aax1的延长线沿V1的一侧，截取一段距离a1'ax1，使其等于被更换的投影a’至旧投影轴OX的距离a'ax，即a1'ax1＝a'ax，求出a1＇X XV VH Ha'a'a aa ax xX X1 1H HV V1 1a a1 1＇＇ax1ax1o o1 1o o8 二、点的二次变换二、点的二次变换 1）V面和H面交替变换； 2）每后一次变换把前次变换的结果作为旧体系9第三节第三节 直线的投影变换直线的投影变换直线的投影变换直线的投影变换 一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线 二、将二、将投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 三三、把一般位置直线变换成投影面垂直线、把一般位置直线变换成投影面垂直线10VHAB a  b abV1a1 b1 换换H面行吗？面行吗？ 一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线一、把一般位置直线变换为投影面平行线 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。

空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，必须满足二个条件： 1）V1⊥H 2）AB// V1 a  b abXVHX1HV1a1 ●b1 ● .作图作图X1与与ab平行aXbXaX1bX111 二、将二、将投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 空间分析：用H1面代替H面，在V/H1投影体系中，必须满足以下条件：AB⊥H1ab12b1 ●三三、、把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析：把一般位置直线变换成投影面垂直线必须经过两次变换投影面，第一次换面把一般位置直线变成投影面平行线；第二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线a  b abXVHX1HV1V1H2X2作图X1轴与ab垂直X2轴与a1  b1 垂直a2 (b2) .a1 ●aXaX1bXbX1VH a aXB b bAX1V1a1 b1 X2H2a2 (b2)ax2aXbXaX1bX113第四节第四节 平面的投影变换平面的投影变换平面的投影变换平面的投影变换一、把一般位置一、把一般位置一、把一般位置一、把一般位置平面平面平面平面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面二、把二、把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面三三. . 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面14 一、把一般位置一、把一般位置一、把一般位置一、把一般位置平面平面平面平面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面 空间分析：如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。

作图方法：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面 a  b  c abcdVHABCDX d  V1X1c1 b1  a1  (d1   )b a bacc d dXHVH HV V1 1O OO O1 1a1  (d1  )b1 c1 a a15α a  b  c acbXVH 例：把例：把三角形三角形ABCABC变变换换成投影面垂直面成投影面垂直面HV1X1 作图过程 ★在平面内取一条水平线AD ★将AD变换成新投影面的垂直线　d db1 ●a1  (d1)●c1 ● 反映平面对哪个投影面的夹角？反映平面对哪个投影面的夹角？.16 思考题： ⑴ 两平面垂直需满足什么条件？ ⑵ 若变换H面，需在面内取什么位置直线？ 变换H面 — （利用正平线） 变换V面 — （利用水平线）17 二、把二、把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面 空间分析：设立一新投影面V1，使V1// ABC，V1⊥H，那么 ABC平面则成了V1投影面的平行面了。

作图方法：设置新投影轴O1X1// abc；再求出 ABC的顶点在V1面上的投影a1、b1、c1，连接各点得 a1b1c1 ，则 a1b1c1反映实形HVXHOO1V1c1b1a1abcacbX118X1 三三. . 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面 空间分析：空间分析：一次换面一次换面, ,把一般位置平面变换成新投影把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面ab a  c XVHc 作图方法：： ①在 ABC平面内作水平线KB；a2c2b2c1  平面的实形平面的实形 b  k k 001HV1V1HX2k1  a1  (b1  )KBKB是水平线是水平线 ②作OX1⊥kb； ③作OX2//a1b1c119第五节第五节 应用举例应用举例应用举例应用举例 应用换面法解决实际问题时，先要弄懂题意，应用换面法解决实际问题时，先要弄懂题意，并进行空间分析，明确最终变换的结果，从而确并进行空间分析，明确最终变换的结果，从而确定解题的步骤，然后运用换面法的基本原理进行定解题的步骤，然后运用换面法的基本原理进行作图。

作图 例一例一 过点过点G G作直线与直线作直线与直线ABAB垂直相交垂直相交 分析：根据分析：根据直角投影原理直角投影原理可可知，若互相垂直知，若互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面面，，则两条直线在该投影则两条直线在该投影面面上的投影仍互相垂直上的投影仍互相垂直20 g  b  a  a g bX O g  b  a  a g bX OVHHV1X1 O1 a1  k1  b1  g1  k k  21a1  (b1)ABAB是水平线是水平线c1  ab a  c  b Xcab a  c  b XVHcX1Hv1. m  m m  mOO1c1   m1 k1 kOmk // O1X1 例二例二 求点求点M M到平面到平面ABCABC的距离及其的距离及其投影 分析：分析：当平面为某一投影当平面为某一投影面面的垂直面时的垂直面时，，则点至该平则点至该平面面的的垂线为该平面的平行垂线为该平面的平行线线。

此时，点到垂足的距离在该此时，点到垂足的距离在该投影投影面面上的投影必反映实长上的投影必反映实长22a1  (d1)c1  ab a  c  b Xcab a  c  b XVHcX1Hv1. mnOO1c1   m1 k1 kOmk // O1X1 例三例三 直直线线MNMN与与 ABCABC平行且相距平行且相距20mm20mm，己知，己知ABCABC的两个投影及MNMN的水平面投影，求作MNMN的正面投影 分析：用变换投影面法，经一次变换将分析：用变换投影面法，经一次变换将ABCABC平面变成平面变成投影面垂面即可求出投影面垂面即可求出MNMN的正面投影 m n   b1  d  m nn1 20mm23本本 章章 小小 结结 1.选择新投影面的原则 2.点的投影变换规律 3.直线的投影变换 ①将一般位置直线变换为投影面平行线 ②将投影面平行线变为投影面垂直线 ③将一般位置直线变换为投影面垂直线 4.平面的投影变换。

①将一般位置平面变换为投影面垂直面 ②将投影面垂直面变为投影面平行面 ③将一般位置平面变换为投影面平行面24 解题时一般要注意下面几个问题：解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素(点、线、面等) 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置(垂直或平行)，据此选择正确的解题思路与方法 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。