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1、实验二 高斯-赛德尔迭代法 一、实验目的 1）了解迭代法的基本思想及原理 2）判断 Jaconbi 迭代、Guass-Seidei 迭代对任意向量的收敛性及其应用价值 3）实现 Guass-Seidei 迭代算法的程序设计。 二、实验设备和实验环境 操作系统: Windows XP Professional 软件: MATLAB7.0 或 Visual C+ 6.0 三、实验内容及要求： 对于线性方程组 BAx ，记方程组的系数矩阵为： nnnnnn212222111211 ， nbbbB21 ， nxxxx21 用 Guass-Seidei 迭代法求解。并且用 Jaconbi 迭代法和列主元
2、消去法进行算法比较，同时得出 Guass-Seidei 迭代法的优劣性，从而得出一些结论。 四、算法描述： 1. 选取迭代初值)x,x,(xx(0)n(0)2(0)1(0)i。 2. 将方程组 ),2, 1,0xiiniabA （设 化为等价方程组： ),2, 1(1nixabaxijjijiiii 将老值 )(kix加工成新值)1( kix，得到： ),2, 1(11111)()1()1(nixaxabaxijnjkjijkjijiiiki。 3. 若迭代偏差)() 1(maxkikikxxe小于指定精度，则输出结果，终止计算； 否者执行下一步。 4. 若迭代次数 k 小于事先设定的最大迭代
3、次数 N,则转入第 2 步继续迭代；否则输出迭代失败的标志，并终止计算。 五、实验步骤与结果分析 (一) 实验源程序 function x,k,xx=GuassSeider(A,b,x0,emg,N) % A 是线性方程组的系数矩阵 % b 右端向量 % x0 迭代的初始值向量 % emg 控制精度 % N 迭代的上限，如果迭代的次数大于 N 时候，则迭代失败 % x 表示用迭代法求的的线性方程的近似解 % k 表示迭代的次数 % xx 表示迭代过程中的变量变换 If nargin5 N=400; end if narginemg)&(ki sum=sum+A(i,j)*x1(j); end
4、if jN warning(迭代次数达到上限); return ; end end x=x1; xx=xx; （二）实验数据 035. 3643. 5072. 1835. 2137. 2623. 4712. 3347. 1183. 1555. 3304. 2101. 0321321321xxxxxxxxx 71912263532311321321321xxxxxxxxx 1=x+2x+2x1=x+xx1=2x-2x+x321321321 MATLAB 程序如下： 程序（1） 程序（2） 程序（3） (三) 实验结果分析 结果： 程序（1） 运行结果： 程序（2） 运行结果： 程序（ 3） 运行
5、结果： 分析： 从程序（1）可以得出 Guss-Seidel 迭代法的收敛速度明显比 Jacobim 迭代法快得多，因为 Guss-Seidel 迭代法迭代法利用了迭代过程中的新信息，从而加快收敛速度。 从程序（2）可以看到 Guss-Seidel 迭代法不起作用了，没有列主元消元法好。在迭代过程中，Guss-Seidel 迭代法必须保证迭代过程是收敛的，一个发散的迭代过程，即使迭代千万次，其计算结果也毫无价值。 从程序（3）可以看出 Guss-Seidel 迭代法发散，而 Jacobim 迭代法收敛，这也显现出Jacobim 迭代法在某些线性方程组中比 Guss-Seidel 迭代法优越。 总之，每一种迭代法都有自己的优 势与不足，在实际应用中，我们要善于寻找最优方案。
