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1、机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室第二章第二章 有限元分析基础有限元分析基础2.1 有限元分析有限元分析( (FEA) )概述概述 有限元分析有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法，是是一种工程物理问题的数值分析方法，是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟，即根据近似分割和能量极值原理，把况）进行模拟，即根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个简单而又相互作用的单元的组求解区域离散为有限个简单而又相互作用的单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原合，研究每个单元的特性，组装各单元，
2、通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。理，把问题化成线性代数方程组求解。定义定义机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室历史典故历史典故结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。有限元分析理论已有有限元分析理论已有100100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础进行手算评核的基础。很多著名的大型有限元软件如很多著名的大型有限元软件如NASTRAN、ANSYS、ABAQUS 等。等。第二章第二
3、章 有限元分析基础有限元分析基础分析指导思想分析指导思想 化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室物理系统举例物理系统举例 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。定义定义机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室自由度自由度（DOFs）自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描
4、述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ 分析类型分析类型 自由度自由度 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 速度，压力速度，压力 磁磁 磁位磁位机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室节点和单元节点和单元节点节点: : 空间中的坐标位置，具有一空间中的坐标位置，具有一定自由度，定自由度，存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: : 一组节点自由度间相互作用一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵数矩阵) )。单元有线、面或实体以及。单元有线、面或实体以及二维或三维
5、的单元等种类。二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单组成，单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室节点和单元节点和单元 ( (续续) )l 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。l 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。l 尽管梯子的有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），），然而在今天一个小的然而在
6、今天一个小的 ANSYS分析就可能有分析就可能有5000个未知量，个未知量，矩阵可能有矩阵可能有25,000,000个刚度系数。个刚度系数。历史典故历史典故 ANSYS是随着计算机硬件的发展而发展壮大的。是随着计算机硬件的发展而发展壮大的。ANSYS最早最早是在是在1970年发布的。早期的计算机的处理能力远远落后于今天的年发布的。早期的计算机的处理能力远远落后于今天的PC机。随着机。随着HPC（High Performance Compute）技术的发展，）技术的发展，目前目前ANSYS可以求解可以求解1亿自由度的工程问题。亿自由度的工程问题。机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究
7、室信息是通过单元之间的公共信息是通过单元之间的公共节点节点传递的。传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递( (需进行节点合并处理）需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递.AB.AB1 node2 nodes节点和单元节点和单元 ( (续续) )机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室节点和单元节点和单元 ( (续续) )节点自由度是随连接该节点的节点自由度是随连接该节点的 单元类型单元类型 变化的。变化的。JJIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 ( (铰接铰接)
8、UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ,三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKIL三维实体结构单元三维实体结构单元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室单元形函数单元形函数u FEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOF值。值。u 单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了从节点DOF值值到单元内所有点处到单元内所有点处DOF值的计算
9、方法。值的计算方法。 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的的“形状形状”。u 单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性。的特性。u 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。求解精度。机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室单元形函数单元形函数( (续续) )真实的二次曲线真实的二次曲线节点节点单元单元二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 ( (不理想结果不理想结果) )2 2节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布1 1节点节点单元单
10、元线性近似线性近似 ( (更理想的结果更理想的结果) )真实的二次曲线真实的二次曲线. .3 3节点节点单元单元二次近似二次近似 ( (接近于真接近于真 实的二次近似拟合实的二次近似拟合) ) ( (最理想结果最理想结果) )4 4节点节点节点节点节点节点节点节点机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室单元形函数单元形函数( (续续) )遵循遵循: : DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元
11、DOFs推导推导出来的出来的 （如，结构应力，热梯度）。（如，结构应力，热梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。函数推导出来的。机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室单元形函数单元形函数( (续续) )遵循原则遵循原则: : u 当当选选择择了了某某种种单单元元类类型型时时，也也就就十十分分确确定定地地选选择并择并接受接受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单元类型所假定的单元形函数。u 在选定单元类型
12、并随之确定了形函数的情况下，在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有必须确保分析时有足够足够数量的单元和节点来精确数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。描述所要求解的问题。机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室2.2 有限元法的发展简史有限元法的发展简史l1943年，年，Courant提出有限元法概念提出有限元法概念l1956年，年，Turner和和Clough第一次用三角形单元离散飞机第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度l1960年，年，Clough正式提出有限元法（正式提出有限元法
13、（FEM）l20世纪世纪60年代，我国数学家冯康把年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用偏微分方程都可用FEM求解求解l20世纪世纪60年代以后，由于数学界的参与，年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发得到蓬勃发展，并且扩大了应用展，并且扩大了应用机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室发展方向发展方向l新型单元的研究新型单元的研究l有限元的数学理论有限元的数学理论l向新领域扩展应用向新领域扩展应用l大型通用程序的编制和设计大型通用程序的编制和设计 ANSYS, NASTRAN, ABAQUSl开发微机用版本开发微机用版本l设计自动化及优
14、化设计（设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室有限元法的分类有限元法的分类 以方程中未知数代表的意义分类以方程中未知数代表的意义分类u 有限元位移法有限元位移法：未知数为位移：未知数为位移u 有限元力法：未知数为力有限元力法：未知数为力u 有限元混合法：未知数为力和位移有限元混合法：未知数为力和位移 以推导方法分类以推导方法分类u 直接法直接法u 变分法变分法u 加权余数法加权余数法机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室2.3 有限元位移法的基本概念有限元位移法的基本概念u有限元分析的基本原理是把控制连续体的微分方程
15、变换有限元分析的基本原理是把控制连续体的微分方程变换为控制离散体的线性代数方程组为控制离散体的线性代数方程组u未知数为位移则称为未知数为位移则称为有限元位移法有限元位移法，若未知数为力则称，若未知数为力则称为为有限元力法有限元力法，若未知数为力和位移则称为，若未知数为力和位移则称为有限元混合法有限元混合法有限元位移法的线性代数方程组可写成下式有限元位移法的线性代数方程组可写成下式: : 是代数方程组的系数矩阵，称为刚度矩阵是代数方程组的系数矩阵，称为刚度矩阵 是代数方程组的未知数，称为位移列矩阵是代数方程组的未知数，称为位移列矩阵 P 是代数方程组的载荷列矩阵是代数方程组的载荷列矩阵 考虑研究
16、对象的边界条件后，求解上式方程组，就可得到研究考虑研究对象的边界条件后，求解上式方程组，就可得到研究对象的位移。对象的位移。 机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室l虚位移原理虚位移原理2.4 能量变分原理能量变分原理 虚位移虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为移过程中真实力所作的功，称为虚功虚功。 “如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所所作的总虚功必等于变形体所接受接受的总虚变形功。的总虚变形功。”
17、变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理 也称虚功原理也称虚功原理机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 假设结构受到外力假设结构受到外力F的作用的作用, ,内部产生应力内部产生应力 ，在某一时刻发生虚位移在某一时刻发生虚位移 ，虚位移产生虚应变，虚位移产生虚应变 ，则外力则外力F做的虚功做的虚功 在单位体积上，结构的虚变形能为在单位体积上，结构的虚变形能为 ，则整个，则整个结构的虚变形能为结构的虚变形能为根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室l能量变分原理能量变分原理结构的势能为结构的势能为 结构在给定外力作用下发生变形，则在所有满足边界条结构在给定外力作用下发生变形，则在所有满足边界条件和协调要求的位移函数中，使总势能为最小值的位移函数件和协调要求的位移函数中，使总势能为最小值的位移函数满足静力平衡条件，即为满足静力平衡条件，即为最小势能原理最小势能原理。据此，应有。据此，应有 最小势能原理是弹性力学的一个变分原理，又因弹性力学最小势能原理是弹性力学的一个变分原理，又因弹性力学变分原理的泛函是表示某种能量，如势能变分原理的泛函是表示某种能量，如势能 ，所以弹性力，所以弹性力学变分原理有时也称为弹性力学能量原理。学变分原理有时也称为弹性力学能量原理。
