三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

1 / 7 函数图像与性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx y=tanx322-32--2oyx 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； xysin的 递 增 区 间 是2222kk，)(Zk ， 递 减 区 间 是23222kk，)(Zk ； xycos的 递 增 区 间 是kk22，)(Zk ， 递 减 区 间 是kk22，)(Zk ， xytan的递增区间是22kk，)(Zk ， 3．对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k； tanyx无对称轴，对称中心为k2(,0)； 2 / 7 对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

4．函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初 相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By 的交点都是该图象的对称中心 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A＝最高点－最低点2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 B＝最高点＋最低点2； ③ω 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 T＝2πω(ω>0)来确定 ω； ④φ 的确定：把图像上的点的坐标带入解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ 即可， 例如由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋K 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令 ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定 φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sinyx的图象 向左( >0)或向右( 0)平移个单位长度 得sin()yx的图象()横坐标伸长(0< <1)或缩短( >1)1到原来的纵坐标不变 得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长( 1)或缩短(0<<1)为原来的 倍 横坐标不变 得sin()yAx的图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度 得sin()yAxk的图象． 先伸缩后平移 sinyx的图象(1)(01)AAA 纵坐标伸长或缩短为原来的 倍( 横坐标不变) 得sinyAx的图象(01)(1)1() 横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 3 / 7 得sin()yAx的图象(0)(0) 向左或向右平移个单位 得sin ()yAxx的图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象． 6．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

7．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω| . 8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取 0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图 9. 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用 sin x、cos x 的有界性； 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]， 因此对于∀ x∈R， 恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，. (2)形式复杂的函数应化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如： y＝sin2x－4sin x＋5，令 t＝sin x(|t|≤1). 三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调性 在 [ －π2＋ 2kπ ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在 [π2＋ 2kπ ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ， 2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增 4 / 7 对称性 对称中心： (kπ， 0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(kπ2，0)(k∈Z) 四．典例解析 题型 1：三角函数的图象 例 1． （全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ） 解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2）时，y＝－xcosx＜0。

答案为 D 题型 2：三角函数图象的变换 （四川）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （A）sin(2)10yx （B）y sin(2)5x （C）y 1sin()210x （D）1sin()220yx 解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解 析式为 y＝sin(x－10) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是1sin()210yx. 题型 3：三角函数图象的应用 例 1：函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．求 f(x)的解析式； 解：由图可知 A＝2，T4＝π3，则2πω＝4×π3 ∴ω＝32. 又 f(－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0 ∴sin(φ－π4)＝0 ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即 φ＝π4∴f(x)＝2sin(32x＋π4)． 5 / 7 例 2．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则 φ＝________. 解析：由图可知，T2＝2π－34π， ∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45， ∴y＝sin(45x＋φ)． 又∵sin(45×34π＋φ)＝－1， ∴sin(35π＋φ)＝－1， ∴35π＋φ＝32π＋2kπ，k∈Z. ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：910π 例 3．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则 φ＝________. 解析：由图象知 T＝2(2π3－π6)＝π. ∴ω＝2πT＝2，把点(π6，1)代入，可得 2×π6＋φ＝π2，φ＝π6. 例 4．(辽宁卷改编)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f(π2)＝－23，则 f(0)＝________. 解析：T2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT＝3. 又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)， 得 φ＝－π4＋2kπ， k∈Z， 代入f(π2)＝－23，得A＝2 23，∴f(0)＝23. . )0, 0)(sin(. 5求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例AxAy 解：由函数图象可知 522yox1266 / 7 ).32sin(2.32652065(22,)1265(34, 2xyTA所求函数的解析式为，即第五个点，）是“五点法”作图的，又，即 .)sin(6析式的图象的一段，求其解右图为例xAy： 解 1：以点 N 为第一个零点，则, 3A ,)365(2T )32sin(3.3026)0 ,6().2sin(3, 2xyNxy所求解析式为点此时解析式为 解 2：以点)0 ,3(M为第一个零点，则, 22, 3TA 解析式为),2sin(3xy将点 M 的坐标代入得,32032 ).322sin(3xy所求解析式为 小结： 的表达式：求函数)sin(xAy ;. 1由图像中的振幅确定A ;. 2由图像的周期确定 代点法平移法常用的两种方法：求)2( ) 1 ( . 3 题型 4：三角函数的定义域、值域 已知函数( )2sin()cosf xxx. （1）求( )f x的最小正周期； （2）求( )f x在区间,6 2 上的最大值和最小值. 解： （1）∵ 2sincos2sincossin2f xxxxxx 53yox363NM7 / 7 ∴函数( )f x的最小正周期为. （2）由2623xx ，∴3sin212x， ∴( )f x在区间,6 2 上的最大值为 1，最小值为32. 题型 5：三角函数的单调性 例．求下列函数的单调区间： ysin(2)6x+1 解：因为函数sinyx的单调递增区间为2,2()22kkkZ， 故 222()262kxkkZ ()36kxkkZ 故函数sin(2) 16yx的单调递增区间为[,]()36kkkZ 。