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1、变化率与导数变化率与导数16718牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分第三章 导数及其应用如果用小男孩在某段时间内的平均速度 来描述其运动状态，那么-v在0t1这段时间内在1t2这段时间内-v1-v2作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系h(t)= -gt212可以看出，可以看出，随着跳后的时间的推移，随着跳后的时间的推移，小男孩下落的速度越来越大。小男孩下落的速度越来越大。思考思考小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少。h(t)= -gt212在高台跳水运动中在高台跳水运动中, , 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h h (
2、(单位单位:m):m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t t ( (单位单位: :s s) ) 存在函数关系存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运描述其运动状态动状态,那么那么:在在0t 0.5这段时间里这段时间里,在在1t 2这段时间里这段时间里,问题四:高台跳水式子式子称为函数称为函数f (x)从x1到到x2的平均变化率的平均变化率.令令 x =x2x1, f = f (x2) f (x1) ,则则平均变化率的定义令令x2=x1 +x，则则 思考思考? 观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么? ?O
3、ABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1= xf(x2)-f(x1)= y直线直线直线直线ABABABAB的斜的斜的斜的斜率率率率例例1 1、已知函数、已知函数 ，分别计算，分别计算 在下列区间上在下列区间上 的平均变化率：的平均变化率： （1 1）11，33；（2 2）11，22；（3 3）11，1.11.1432.1例例2 2：已知函数：已知函数 分别计算在区间分别计算在区间-3-3，-1-1，00，55上上 及及 的平均变化率。的平均变化率。 1. 一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一，则在一段时间段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（） A
4、4 B8 C 6 D6C练习题练习题2.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数的改变量为（）时，函数的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0)D 3.求函数求函数y=5x2+6在区间在区间2，2+x 内的平均变化率。内的平均变化率。 y=5(2+ x)2+6-(522+6) =20x+5x2所以平均变化率为小结：小结： 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: : 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义：(1)求
5、函数的增量：求函数的增量：f；(2)计算平均变化率计算平均变化率表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)连线（割线）的斜率。连线（割线）的斜率。在高台跳水中在高台跳水中, ,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(h(单位：米单位：米) )与起与起跳后的时间跳后的时间t t（单位：秒）存在关系（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10通过计算可得运动员在通过计算可得运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为0 0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？，这是否说明运动员在这段时间里
6、是静止的？由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映某一刻的运动状态。这就需要用反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度瞬时速度来更精来更精细地刻画运动员的运动状态。我们把细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻物体在某一时刻的速度称为瞬时速度的速度称为瞬时速度. .如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位
7、：单位：s)存存在函数关系在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？2我们先考察我们先考察2附近的情况。附近的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2t0时时,在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t
8、 = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面
9、的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作或或 , 即即由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的
10、的形式是多样的,但不论但不论x选择选择哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.求函数在某求函数在某处的的导数数636例例2:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.例2
11、、将原油提炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：OC）为y=f(x)=x2-7x+15(0x8)。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明他们的意义。在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别原油温度的瞬时变化率分别为为3和和5.它说明在第它说明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3/h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5/h的速率上升的速率上升.练习练习:例2、将原油提炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：O
12、C）为y=f(x)=x2-7x+15(0x8)。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明他们的意义。在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别原油温度的瞬时变化率分别为为3和和5.它说明在第它说明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3/h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5/h的速率上升的速率上升.小结：小结： 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: :(1)(1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(xf=y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )f f（x x1 1xx）f(xf(x1 1););(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义： 表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1), B(x), B(x2 2,f(x,f(x2 2)连线连线（割线）的斜率。（割线）的斜率。4.4.函数在函数在x=xx=x0 0的瞬时变化率的瞬时变化率结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！36
