《臧珏杨 李博斐 王晨逸数学研究性课件(第三版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《臧珏杨 李博斐 王晨逸数学研究性课件(第三版)（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 1 12 2 2 2 小组：小组：小组：小组：组长兼美工作图：编纂兼论文执笔：审订兼信息搜集：臧珏杨李博斐王晨逸前前 言言 幂函数，指数函数，对数函数的增长情况触及到了现所学函数的单调性，齐偶性，定义域，值域诸多问题，是一个综合性较强的课题。在此，我们主要研究函数的增长趋势增长趋势增长趋势增长趋势及函数的增长速度增长速度增长速度增长速度这两方面。 其他的部分问题，我们以例题的方式一带而过。幂函数的增长情况 y=x4y=x5 幂函数y=x，从表达式来看，它有两个变量，一个常量。问：当中的x与n对函数图象有何影响呢？下面，我们来看两个图象：当n为正整数时：（1）图象恒过原点；（2）函数y=
2、x 的齐偶性取决于n的奇偶性。若n 为偶数，则其关于y轴对称，若n 为奇数，则其关于原点对称。 由此可得： 当函数y=x中的n为正奇数时，整个函数为增函数。 若函数y=x中的n为正偶数时，x0的部分减函数，x0的部分为增函数当当n n为负数为负数, ,分数分数, ,无理数时无理数时, ,奇奇偶偶性往往比较复杂性往往比较复杂, ,在这里就不作讨在这里就不作讨论论. .那么，n对函数增长快慢的有什么影响呢？y=x2与y=x3y=x1/2与y=x3/2y=x2与y=x342-2-45g x ( ) = x32f x ( ) = x12y=x2y=x3y=x1/2y=x3/2y=x3y=x2从上图中，
3、我们比较了n0的情况，可知，无论n为整数，分数还是无理数，只要n为实数，对于任意n1 n2当0 x 1时，必有y1 y2 ，当x 1时，必有y1 y2 即当即当n n0时。对于任意n1 n2 ，当0 x 1时，函数y2增长较快.当x 1时，函数y1增长较快y=x-2与y=x-3当n n2当0x1时，必有y1 y2 ，当x1时，必有y1y2 即即对于任意n1n2 ，当0x1时，函数y2增长较快.当x1时，函数y1增长较快 函数函数y=y=x xn n当当n n趋向趋向1 1时，函数图象趋向于时，函数图象趋向于y=xy=x 且当且当x=0x=0时，时，y y始终为始终为1 1指数函数的增长情况指数
4、函数指数函数y=ax,当中同样有两个变量当中同样有两个变量,一个常量一个常量,首先我首先我们先探究指数函数们先探究指数函数y=ax的增长趋势的增长趋势当a 1时当0 a 1时下面，我们来探究指数函数y=ay=ax x中a的大小对函数图象的影响当a1时,指数函数y=ay=ax x是增加的是增加的当0a1时,指数函数y=ay=ax x是减小的是减小的y=2x与y=3xy=1/2x与y=1/3xy=2xy=3xy=1/2xy=1/3x由图象可得，当 a 1时， a越大，指数函数y=ax的增长速度越快；当 0a1时， a越小，指数函数y=ax的减小速度越快。 当当a a趋于趋于1 1时时, ,指数函数
5、指数函数y=ay=ax x 的的图象越远离图象越远离x,yx,y轴轴。由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸指数爆炸”例:y=x和y=2x的图象有几个交点的图象有几个交点?解：从图象中可以看到，幂增长和指数增长的快慢交替出现，有两个交点是显而易见的，那么当x x2 2时，一定有幂函数y=xy=x2 2增长快于y=2y=2x x吗？ 其实，幂函数幂函数幂函数幂函数y=xy=xy=xy=x2 2 2 2与与与与y=2y=2y=2y=2x x x x还有第三个交点（还有第三个交点（还有第三个交点（还有第三个交点（4 4 4 4，161616
6、16），并且可以发现，当x x4 4时，二者不会再有交点，即当x x4 4时，指数函数的增长快于幂函数y=xy=x2 2。y=xy=x2 2y=2y=2x x对数函数的增长情况当0a1时当a1时y=y=logloga ax xy=y=logloga ax x当a1时.对数函数y=y=logloga ax x是增加的是增加的当0a1时,对数函数y=y=logloga ax x是减小的是减小的下面，我们来探究一下下面，我们来探究一下对数函数对数函数y=y=logloga ax x中的中的a a对函数图象的影响对函数图象的影响y=log2x与y=log3xy=log1/2x与y=log1/3xy=l
7、og1/3xy=log1/2xy=log2xy=log3x由图象可得，当 a1时， a越小，对数函数y=y=logloga ax x的增长速度越快当 0a1时， a越大，对数函数y=y=logloga ax x的增长速度越快 a a趋于趋于1 1时时, ,对数函数对数函数y=y=logloga ax x的图象远的图象远离离x,yx,y轴。轴。例题:比较比较LOGLOG3 35 5和和LOGLOG4 45 5的大小的大小解解: :因为因为A A趋于趋于1 1时时, ,对数函数对数函数Y=Y=LOGLOGA AX X的图的图象远离象远离X,YX,Y轴。轴。因为134，所以由图象所以由图象易得易得l
8、og35log45y=logy=log3 3x xy=logy=log4 4x xy=xy=x0 0x x1 1时时x x增增 - - y y增增n n小小- - y y快快x x增增 - - y y增增n n大大 - - y y快快x x1 1时时x x增增 - - y y增增n n大大 - - y y快快y=ay=ax x a a1 1时时x x增增 - - y y增增a a大大 - - y y快快0 0a a1 1时时x x增增 y y减减a a小小 - - y y快快y=y=logloga ax xa a1 1时时x x增增 - - y y增增a a小小 - - y y快快0 0a a
9、1 1时时x x增增 y y减减a a大大 - - y y快快总 结综合训练综合训练例1:如图1-1是指数函数(1)y=ax (2) y=bx(3) y=cx(4) y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc分析:可先分为两类:(3),(4)的底数一定大于1,(1),(2)的底数一定小于1,然后再由(3)(4)中比较c.d的大小,由(1)(2)中比较a.b的大小.642-2-4-6-55(1)(4)(3)(2)例1:如图1-1是指数函数(1)y=ax (2) y=bx(3) y=cx(4) y=dx的图象,则a,b,c
10、,d与1的大小关系是 ( )A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc解:当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近y轴; 当底数大于0且小于1时,图象下降,且当底数越小,图象向右越靠近y轴所以.ba1dc 选B例2:若logloga a2 2loglogb b20,20,则则( )( )A.0ab1 B. 0bab1 D. ba1 分析:比较大小,最好利用函数的单调性,因此,先把它们化为同底数.解:显然a,b都小于1又logloga a2 2loglogb b2 0 2 0 所以所以loglog2 2b bloglog2 2a a 所以所以bab1,1
11、,则则a a的取的取值范围是值范围是 ( ) ( )A.21a2且a1B.a20或1a2C.C. 1a2或0a1时, y=logax在2,+)上是增函数,且y0,要恒有 y1,只须y的最小值大于1,即y=loga21,可得1a2当0a1时, y=logax在2,+)上是减函数,且y1,只须y的最大值小于-1,即loga2-1,可得21a2A 关于指数函数、对数函数、幂函数的横向比较，我们一般用图象的方法进行研究，下面让我们来看一个例子：例例4 4：已知：已知m=0.9m=0.95.15.1、 n=5.1n=5.10.90.9、p=logp=log0.90.95.1 5.1 则这三个数的大小关系是什么？则这三个数的大小关系是什么？解：从右图可见，当x=5.1时pmnp=logp=log0.90.9x xm=0.9m=0.9x xn=xn=x0.90.9多谢指教！1 1 1 12 2 2 2 小组：小组：小组：小组：组长兼美工作图：编纂兼论文执笔：审订兼信息搜集：臧珏杨李博斐王晨逸
