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1、第第4 4章章 车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础 对对于于汽汽车车、飞飞机机及及其其他他一一些些具具有有复复杂杂外外形形的的机机电电产产品品，CAD/CAMCAD/CAM的的一一个个关关键键性性环环节节，就就是是用用数数学学方方法法来来描描述述它它们们的的外外形形，并并在在此此基基础础上上建建立立它它们们的的几几何何模模型型。本本章章介介绍绍定定义义车车身身外外形形曲曲线线和和曲曲面面的的一一些些常常用用的的、基基本本的的数数学学方方法法。主主要要内内容容有有：参参数数样样条条曲曲线线及及孔孔斯斯曲曲面面、贝贝齐齐尔尔方方法法、均均匀匀B B样样条条曲曲线线、非非均均匀匀B
2、 B样样条条曲曲线线、双双三三次次B B样样条条曲曲面面、非非均均匀匀有有理理B B样样条条曲曲线线和和曲面等。曲面等。4.1 4.1 参数样条曲线及孔斯曲面参数样条曲线及孔斯曲面4.1.1 4.1.1 三次样条曲线三次样条曲线(cubic spline curve)(cubic spline curve) 数数学学上上的的样样条条函函数数是是对对绘绘图图用用的的样样条条的的模模拟拟。如将样条简化为弹性细杆如将样条简化为弹性细杆, ,必定满足欧拉方程：必定满足欧拉方程： M(x) = EIK(x) (4.1.1-1)(4.1.1-1) 其其中中M（x）是是弯弯矩矩，E E是是杨杨氏氏系系数数，
3、I I是是截截面面惯惯性性矩矩，K(x)是是样样条条的的曲曲率率。从从(4.1.1-1)(4.1.1-1)式式出出发发，经经数数学学推推导导可可得得出出如如下下的的三次样条函数表达式：三次样条函数表达式： （4.1.1-15)4.1.1-15)三次样条函数三次样条函数S(x)的本质是是：一致通过型值点、二阶连续可导一致通过型值点、二阶连续可导的分段三次多项式函数。的分段三次多项式函数。 M（二阶导数）关系式（二阶导数）关系式在各中间（连接）点一阶导数连续，在各中间（连接）点一阶导数连续，SS( (xi-0) =) = S S( (xi+0) )，即，即(式中式中:hi = xi - xi-1
4、)各项乘以各项乘以 ，得：，得： 令令: : 则则有有Mi-1+2Mi +i Mi+1= di (i=1,2,n-1)(4.1.1-16)当当i取取值值1,2,n-1时时，可可得得到到n-1个个形形如如(4.1.1-16)的的M关关系系式式。但但未未知知数数二二阶阶导导数数Mi却却有有n n+1+1个个, ,即即M0,M1,Mn 。要要唯唯一一定定解解, ,必必须须再再附附加加两两个个方方程程。通通常常按按实实际际问问题题的的具具体体情情况况, ,在在样样条两端条两端, ,即即P P0 0和和P Pn n处给出约束条件，常用的边界条件有：处给出约束条件，常用的边界条件有： 常用的边界条件有：常
5、用的边界条件有：给定两端的斜率给定两端的斜率1m0=y0 和和mn=yn以以x=x0 ,i=，得，得(4.1.1-14)代入式代入式1(4.1.1-17)以以x=xn ,i=n，得，得(4.1.1-14)代入式代入式(4.1.1-18)线线的的解解定定确确有有到到得得起起一一在在合合程程方方加加附附个个两两这这和和(4.1.1-16)式式 。(4.1.1-19)性方程组。写成矩阵形式为性方程组。写成矩阵形式为给定两端的二阶导数给定两端的二阶导数2.M0=y0,Mn= yn2：这可以写成这可以写成M0+0M1=2y00Mn-1+2Mn=2 yn中的中的(4.1.1-19)此时式此时式0=0,d0
6、=2y0，n=0,dn=2 yn。如果如果y0= yn则称为自然插值三次样条函数。则称为自然插值三次样条函数。=0,如果取如果取3.0=-2,d0，=0n = -2,dn =0则则M0=M1,Mn-1=Mn，这就是抛物端边界条件。，这就是抛物端边界条件。三次样条函数的解法三次样条函数的解法（) )由端点条件补充两个方程后，得出如下线性方程组：由端点条件补充两个方程后，得出如下线性方程组：（4.1.1-19)式中:可以用可以用“追赶法追赶法”(参看附录参看附录A)求解求解(4.1.1-19)式式,解出解出Mi(i=1,2,n)代入代入(4.1.1-15),便可由便可由(4.1.1-15)式计算出
7、式计算出样样条曲线上的一系列插值点。条曲线上的一系列插值点。4.1.2三次参数样条曲线三次参数样条曲线在在大大挠挠度度情情况况下下,三三次次样样条条函函数数的的光光顺顺性性可可能能变变坏坏。用用三三次次样样条条函函数数表表示示的的插插值值曲曲线线,依依赖赖于于座座标标系系的的选选择择,不不具具有有几几何何不不变变性性。有有时时旋旋转转座座标标轴轴也也不不可可能能满满足足小小挠挠度度条条件件在在这这些些情情况况下下,最最常常用用的的处处理理办办法法之之一一是是将将曲曲线线参参数数化化,即即将将曲线上点的座标分别用某种参数表示：曲线上点的座标分别用某种参数表示：(4.1.2-1)其其中中t为为参参
8、数数，常常取取曲曲线线内内在在的的量量弧弧长长作作为为参参数数，它它与与坐坐标标系系无无关关。若若将将t取取作作弧弧长长s，则则x和和y作作为为分分量量，dxds和和dyds都都不不会会大大于于1，在在(x,s),(y,s)平平面面上各构造一个三次样条函数：上各构造一个三次样条函数：(4.1.2-2)曲曲线线上上的的点点比比较较密密时时，弦弦长长之之和和近近似似于于弧弧长长，因因此此可可取取累累加加弦弦长长作作为为三三次次参参数样条曲线的参数。数样条曲线的参数。设给定个点设给定个点Pi（xi,yi）,i=0,1,n,两相邻点之间的弦长为：两相邻点之间的弦长为：(4.1.2-3)记记:这里这里t
9、i的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。在每一个节点在每一个节点pi 都有一个确定的都有一个确定的ti与之对应。当然与之对应。当然pi 的每一的每一个坐标个坐标xi或或yi也与也与ti一一对应。这就相当于给定了两组点一一对应。这就相当于给定了两组点（xi , ti）和（）和（yi , ti）,i=0n。对于每一组点，都可按节所。对于每一组点，都可按节所述方法构造一个三次样条函数。述方法构造一个三次样条函数。这种曲线称为累加弦长三这种曲线称为累加弦长三次参数样条曲线。在平面曲线的情况下，构造三次参数样次参数样条曲线。在平面曲线的情况下，构造三次参数样
10、条曲线相当于构造两遍三次样条曲线。这在工程上是经常条曲线相当于构造两遍三次样条曲线。这在工程上是经常使用的方法。使用的方法。弗格森曲线弗格森曲线下下面面讨讨论论参参数数样样条条曲曲线线中中的的某某一一段段，并并用用端端点点及及端端点点的的导导数数来来表表达达出出这这段段曲曲线线的的方方程程。设设参参数数为为u，第第i段段曲曲线线对对应应的的参参数数范范围围为为，在在0,1区区间间上上对对应应于于两两个个端端点点型型值值点点的的函函数数值值及及一一阶阶导导数数值值分分别别为为r(0),r(1),r(0),r(1)。则插值函数为则插值函数为(4.1.3-1)那那么么(4.1.3-2)将将四四个个已
11、已知知条条件件代代入入以以上上两两式式，可可解解得得四四个个系系数数a0 , a1 , a2 ,a3 , ,再将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为：再将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为：(4.1.3-3)式式中中(4.1.3-4)我们称我们称F0( u), F1( u),G0 ( u),G1( u) 为埃尔米特为埃尔米特(Hermite)基函数。基函数。由式由式(4.1.3-4)可见，可见，F0与与F1专门控制端点的函数值专门控制端点的函数值对对曲线形态的影响，曲线形态的影响，G0和和G1专门控制端点的一阶导数专门控制端点的一阶导数对对曲曲线线形形态态的的影影响响。或或者者说说，F0和和
12、G0控控制制左左端端的的影影响，响，F1和和G1控制右端的影响。控制右端的影响。由由式式(4.1.3-3)确确定定的的曲曲线线可可以以进进一一步步整整理理为为矩矩阵阵形形式：式：（）（）该曲线也叫弗格森曲线。该曲线也叫弗格森曲线。4.1.4 4.1.4 孔斯孔斯(Coons)(Coons)曲面曲面 是是S.A.Coons(S.A.Coons(是美国波音公司搞实际设计的专家是美国波音公司搞实际设计的专家) )提出提出的一种适用于的一种适用于CAGDCAGD的构作自由型曲面的方法。的构作自由型曲面的方法。孔斯曲面的基孔斯曲面的基本思想是：把所要描述的曲面看作由若干曲面片光滑拼接而本思想是：把所要描
13、述的曲面看作由若干曲面片光滑拼接而成成, ,每个曲面片一般用四条边界曲线来定义。且尽量用简缩每个曲面片一般用四条边界曲线来定义。且尽量用简缩符号来表达。符号来表达。双三次孔斯曲面的表达形式为：双三次孔斯曲面的表达形式为： uw=UMCMTWT (4.1.4-1)式中 U=1 u u2 u3 MTWT分别是分别是M和和W的转置。的转置。 = （4.1.4.2) C称为角点信息矩阵。称为角点信息矩阵。 Coons曲面主要用于曲面设计，但用于曲面拟合也曲面主要用于曲面设计，但用于曲面拟合也有较好的效果。（如，用零扭矢有较好的效果。（如，用零扭矢Coons曲面拟合飞曲面拟合飞机局部复杂曲面）。机局部复
14、杂曲面）。Coons曲面方法的主要缺点：曲面方法的主要缺点：1）角点扭矢与曲面内部形状的联系，难以掌握；）角点扭矢与曲面内部形状的联系，难以掌握；2）确定扭矢是个难题；）确定扭矢是个难题；3）双三次）双三次Coons曲面的拼接只能达到一阶连续；曲面的拼接只能达到一阶连续；4）角点信息多，占内存大，计算量也大。）角点信息多，占内存大，计算量也大。这些缺点限制了这些缺点限制了Coons曲面的广泛应用。曲面的广泛应用。4.2贝齐尔贝齐尔(Bezier)方法方法 法法国国雷雷诺诺汽汽车车公公司司的的贝贝齐齐尔尔(P(PBezier)Bezier)于于19621962年年着着手手研研究究一一种种以以逼逼
15、近近为为基基础础的的构构造造曲曲线线与与曲曲面面的的方方法法, ,并并以以这这种种方方法法建建立立了了一一种种自自由由型型曲曲线线与与曲曲面面设设计计系系统统UNISURFUNISURF系系统统。该该系系统统于于19721972年年投投入入使使用用, ,至至今今已已有有很很大大的的发发展展。应应用用该该方方法法的的还还有有英英国国剑剑桥桥大大学学的的MultiobjectMultiobject实实用用设设计计系系统统等等。贝贝齐齐尔尔方方法法有有许许多多优优良良的的性性质质，已已成成为为 自由型曲线曲面造型先进的数学方法之一。自由型曲线曲面造型先进的数学方法之一。贝齐尔曲线贝齐尔曲线 设设有有
16、n+1个个控控制制顶顶点点P0, P1, ,Pn，借借助助于于一一组组Bernstein基基函函数数Bi,n(u)=C(n,i)ui(1-u)n-i (i=0,1,2,n),可可以以定定义义一一条曲线条曲线: (4.2.1-1) 该曲线称为该曲线称为n次贝齐尔曲线次贝齐尔曲线。 其中其中 ：C(n，i) 是组合数，是组合数，n是贝齐尔曲线次数，是贝齐尔曲线次数，i是顶点标号是顶点标号,u为曲线的参数为曲线的参数。贝齐尔曲线的分量的形式：贝齐尔曲线的分量的形式： P(u)=x(u), y(u), z(u) (4.2.1-2) Pi=(xi, yi, zi,) (4.2.1-3) (4.2.1-4
17、) 为了了解控制顶点Pi(i=0,1,2,n)如何通过基函数Bi,n(u)控制曲线的形状，先考察n3的情形。由定义可得： (4.2.1-6)Bi,3(u) (i=0,1,2,3)的图形见图。控制顶点控制顶点Pi通过基函数通过基函数Bi,n(u)控制曲线的形状控制曲线的形状 B0,3(u)在在u=0附近影响最大，附近影响最大，B1,3(u)在在u=13附近，附近，B2,3(u)在在u=23附附近影响最大，而近影响最大，而B3,3(u)在附近影响最大。因为在附近影响最大。因为u=0时时P(0)= P0,故故P0决定曲线的起点。决定曲线的起点。U=1时时P(1)= P3，故，故P3决定曲线的终点。决
18、定曲线的终点。P1则主要通过则主要通过B1,3(u)影响曲线在影响曲线在u=13附附近的形状；近的形状；P2则主要通过则主要通过B2,3(u)影响曲线在影响曲线在u=23附近的形附近的形状。状。图是图是P0, P1,P2, P3控制曲线形状的几个例子。控制曲线形状的几个例子。贝齐尔曲线的性质贝齐尔曲线的性质1 1端点性质。端点性质。根据贝齐尔曲线的定义可以证明：P P(0)=(0)= P P0 0，P P(1)=(1)= P Pn n，表明P0和Pn是贝齐尔曲线的起点和终点。 还可以证明：P P (0)=(0)=nana1 1 , , P P (1)=(1)=nanan n 式中ai =Pi-
19、Pi-1 (i=1,2,n)代表贝齐尔多边形的边向量，说明贝齐尔曲线分别以a1和an为起端和终端的切向，类似地也有： P ”(0)=n(n-1)( a2- a1) P ”(1)=n(n-1)( an- an-1) 2 2对称性。对称性。保持贝齐尔曲线诸顶点的位置不变，只把次序完全颠倒过来，新的顶点序列记为P *i=Pn-i (i=0,1,2,n)生成贝齐尔曲线仍然是原曲线， 3 3凸包性。凸包性。贝齐尔曲线上各点一定落在特征多边贝齐尔曲线上各点一定落在特征多边 形在的凸包之中。形在的凸包之中。 4 4几几何何不不变变性性。由由于于贝贝齐齐尔尔曲曲线线曲曲线线的的形形状状与与特特征征多多边边形形
20、各各顶顶点点P Pi i有有关关，它它不不依依赖赖于于座座标标系系的的选选择择。5 5交交互互能能力力。控控制制多多边边形形P P0 0, , P P1 1,P Pn n大大致致地地勾勾画画出出BezierBezier曲曲线线P P( (u u) )的的形形状状，要要改改变变P P( (u u) )的的形形状状，只只需需改改变变P P0 0, , P P1 1,P Pn n 的的位位置置，把把控控制制多多边边形形作作为为曲曲线线输入和人机交互的手段，既直观又简便。输入和人机交互的手段，既直观又简便。 6 6保保凸凸性性。如如果果平平面面上上的的凸凸控控制制多多边边形形能能导导致致所所生生成成的
21、的曲曲线线为为凸凸曲曲线线，则则称称这这个个生生成成曲曲线线的的方方法法具具有有保凸性。保凸性。 Bezier Bezier曲线具有这种保凸性质。曲线具有这种保凸性质。 7.7.变变差差缩缩减减性性。如如果果BezierBezier曲曲线线P P( (u u) )的的控控制制多多边边形形是是一一平平面面图图形形, ,则则该该平平面面内内的的任任意意直直线线与与P P( (u u) )的的交交点点个个数数不不多多于于该该直直线线与与控控制制多多边边形形的的交交点点的的个个数数。这这一一性性质质被被称称为为变变差差缩缩减减性性。此此性性质质反反映映了了BezierBezier曲曲线比控制多边形所在
22、的折线更光顺。线比控制多边形所在的折线更光顺。8.曲线的可分割性。曲线的可分割性。为求出曲线上任意一点，贝齐尔曾给出一种有趣的几何分割作图法。贝齐尔曾给出一种有趣的几何分割作图法。 设Pk(k=0,1,2,n)是控制多边形顶点,在每边上取点 ，重复上面的过程 (4.2.1-14)可以证明，如图是入=1/2的分割情况。入可取几个不同的值，得到曲线上几个不同的点，再根据贝齐尔曲线端点性质，便可绘出曲线。（画图讲解）三次贝齐尔曲线三次贝齐尔曲线 在产品外形设计中，在产品外形设计中，C2阶连续的三次贝齐尔曲线已相当理想。阶连续的三次贝齐尔曲线已相当理想。高次贝齐尔曲线的许多问题还有待于理论上的解决。下
23、面给高次贝齐尔曲线的许多问题还有待于理论上的解决。下面给出实际中常用的三次贝齐尔曲线的表达式。出实际中常用的三次贝齐尔曲线的表达式。根据贝齐尔曲线根据贝齐尔曲线的表达式并设的表达式并设n =3，则得三次贝齐尔曲线的表达式：，则得三次贝齐尔曲线的表达式：（）（）或写成矩阵形式：或写成矩阵形式：（）（）这里的四个基函数分别为这里的四个基函数分别为:贝齐尔曲线的计算贝齐尔曲线的计算1.正算正算根据给定的特征多边形顶点根据给定的特征多边形顶点Pi，构造，构造贝齐尔曲线表达式（按照（贝齐尔曲线表达式（按照（4.2.2-1)式式),并计并计算曲线上的一系列点。（写成分量形式表达算曲线上的一系列点。（写成分
24、量形式表达式进行计算）。式进行计算）。2.反算反算用给定的曲线上的型值指点用给定的曲线上的型值指点xi ，yi及及对应的参数对应的参数ui反求出顶点反求出顶点Pi(运用贝齐尔曲运用贝齐尔曲线公式进行逆运算线公式进行逆运算)，再构造贝齐尔曲线表，再构造贝齐尔曲线表达式并计算曲线上的一系列点。达式并计算曲线上的一系列点。4.2.3贝齐尔样条曲线贝齐尔样条曲线贝贝齐齐尔尔曲曲线线是是一一整整段段n次次参参数数曲曲线线，不不是是样样条条，但但可可以以把把多多段段贝贝齐齐尔尔曲曲线线光光滑滑连连接接起起来来构构造造样样条条曲曲线线，为为了了使使合合成成后后的整条曲线达到一定的连续性的整条曲线达到一定的连
25、续性，连接处要满足特定的条件。连接处要满足特定的条件。设设已已经经给给定定两两条条贝贝齐齐尔尔曲曲线线L(n次次)和和L*(m次次)，它它们们的的特特征征顶顶点点分分别别为为Pi(i=0,1,2,n)和和Qi(i=0,1,2,m)，特特征征多多边边形形的的边边向向量量分分别别为为ai(i=1,2,n)和和bi(i=1,2,m)，见见图图。两两条条曲线曲线L和和L*达到达到C1连续的充耍条件是连续的充耍条件是:(1)P(1)=Q(0)(4.2.3-1)；(2)Q /(0)=P/(1)0(4.2.3-2)由由此此可可知知两两条条贝贝齐齐尔尔曲曲线线L与与L*达达到到C1连连续续的的充充要要条条件件
26、是是L的的终点同终点同L*的起点重合的起点重合,且且b1=an 0(4.2.3-3)对于两条空间曲线对于两条空间曲线L和和L*如果要达到如果要达到C2连续要求，连续要求，那么除了上述那么除了上述(4.2.3-2)条条件以外件以外,还应使连接点处还应使连接点处有连续变化的曲率有连续变化的曲率K和单位主法矢和单位主法矢N 。因因为为在在连连接接处处已已有有相相同同的的单单位位切切矢矢T，又又由由于于单单位位副副法法矢矢B=TN。因此在连接处还应满足。因此在连接处还应满足(3)、(4)两条件：两条件：(3)副法矢同向；副法矢同向；(4)曲率相等。曲率相等。从从贝贝齐齐尔尔曲曲线线的的端端点点性性质质
27、可可推推得得，L在在终终点点的的副副法法矢矢和和L*在在起起点的副法矢分别是点的副法矢分别是:(1)=n2(n-1)( an-1 an)(4.2.3-4)(0)=m2(m-1)( b1 b2)(4.2.3-5)由由于于要要求求副副法法线线向向量量同同向向，则则边边向向量量an-1, an,b1, b2共共面面。又又知知an-1, an是两个线性无关的量，再考虑到式是两个线性无关的量，再考虑到式(4.2.3-3)，则有，则有(3)b2=-an-1+ an(4.2.3-6)如如果果只只考考虑虑条条件件(3)，和和可可以以是是任任意意常常数数。若若考考虑虑条条件件(4)，则则还还有有一一定定的的限限
28、制制。由由曲曲线线L和和L*在在连连接接点点的的曲曲率率可可推推得得:，(4)（）（）综上所述可得出如下结论综上所述可得出如下结论:1.L和和L*拼拼接接达达到到一一阶阶连连续续,要要满满足足条条件件（1）和和（2），即即L的的末末端点与端点与L*的首端点重合且斜率相等的首端点重合且斜率相等；2.L和和L*拼拼接接达达到到二二阶阶连连续续,要要满满足足条条件件（1）、（2）、（3）、(4)，即除了满足（即除了满足（1）、（2）外，在连接点处）外，在连接点处L和和L*的副法矢同向且曲率相等。的副法矢同向且曲率相等。4.2.4贝齐尔曲面贝齐尔曲面利利用用控控制制顶顶点点和和基基函函数数生生成成曲曲
29、线线的的方方法法很很容容易易推推广广来来生生成成曲曲面面。现现在在，我我们们考考虑虑(n+1)(m+1)个个排排成成网网格格的的控控制制顶顶点点Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)利利用用基基函函数数Bi,n(u), Bi,m(w)就就可可以生成一块曲面以生成一块曲面: （4.2.4-1)该曲面称为该曲面称为nm次的贝齐尔曲面。次的贝齐尔曲面。显然显然,固定固定w ,对对u而而言是一簇贝齐尔曲线言是一簇贝齐尔曲线;固定固定u,对对w而言也是一而言也是一簇贝齐尔曲线。簇贝齐尔曲线。可以认为可以认为,贝齐尔曲面贝齐尔曲面是由贝齐尔曲线交织而是由贝齐尔曲线交织而成的曲面成的曲面。也就是说可以也
30、就是说可以利用贝齐尔曲线的网格来利用贝齐尔曲线的网格来绘制或显示贝齐尔曲面绘制或显示贝齐尔曲面。 注意到 时, ； 时， ；令 ，得，即Pi,0(i=0,1,n)恰好是P(u,0)的控制顶点。 令 ，得 ，即Pi，m(i=0,1,n)恰好是P(u,1)的控制顶点。 同理P0,j(j=0,1,m)恰好是P(0,w)的控制顶点，Pn,j(j=0,1,m)恰好是P(1,w)的控制顶点。而其余的Pi,j并不是P(u,w0)、P(u0,w)的控制顶点。此外，只有四个顶点P0,0 ,P0,m ,Pn,0 ,Pn,m ,与贝齐尔曲面的4个角点重合,并且在那里相切。一个复杂的曲面往往不能用单一的贝齐尔曲面来实
31、现。一个复杂的曲面往往不能用单一的贝齐尔曲面来实现。于是要用几块贝齐尔曲面拼接起来,这时就要注意一定的连续性。对于3 3次贝齐尔曲面的情形，要4 4个控制点阵。根据定义用矩阵表示为 (4.2.4-2) 其中 曲面拼接条件：曲面拼接条件：如果有二块如果有二块33次贝齐尔曲面次贝齐尔曲面要要进进行行拼拼接接，如如图图，当当P(1)(1,w)= P(2)(0,w)对对所所有有0w1成成立立时，时，拼接处连续。显然，这只要控制顶点满足拼接处连续。显然，这只要控制顶点满足P3,i(1)= P0,i(2)(i=0,1,2,3)(4.2.45)就行。而为了在拼接处满足就行。而为了在拼接处满足C1连续，还要满
32、足连续，还要满足Pu(1)(1,w)Pw(1)(1,w)=Pu(2)(0,w)Pw(2)(0,w)(4.2.4-6)其其中中为为常常数数，0w1。这这时时除除条条件件P3,i(1)= P0,i(2)(i=0,1,2,3)外，外，最简的充分条件是最简的充分条件是:P3,i(1)- P2,i(1)=(P1,i(2)- P0,i(2)(i=0,1,2,3)(4.2.4-7)图表示的两拼接图表示的两拼接曲面达到了曲面达到了C1级连续。级连续。图图4.3 4.3 均匀均匀B B样条曲线样条曲线 4.3.1 B4.3.1 B样条方法引论样条方法引论 。以上讨论的贝齐尔方法，因以上讨论的贝齐尔方法，因为它的
33、许多优良性质，诸如直观性、凸包性、变差减小，可为它的许多优良性质，诸如直观性、凸包性、变差减小，可分割性等，已经成为从事机电产品几何外形设计的得力工具。分割性等，已经成为从事机电产品几何外形设计的得力工具。但使用中也发现，但使用中也发现，由于贝齐尔曲线曲面是采取单一参数多项由于贝齐尔曲线曲面是采取单一参数多项式的整体表示，它难以构造形状复杂的曲线曲面，而不得不式的整体表示，它难以构造形状复杂的曲线曲面，而不得不借助于拼接。拼接虽然灵活，但使用起来却不够方便。借助于拼接。拼接虽然灵活，但使用起来却不够方便。正由正由于贝齐尔曲线曲面的整体性，不可能作局部修改，移动一个于贝齐尔曲线曲面的整体性，不可
34、能作局部修改，移动一个控制顶点的影响将波及整条曲线或整张曲面。控制顶点的影响将波及整条曲线或整张曲面。 在在1972197219761976年年期期间间，里里森森费费尔尔德德(Riesnfeld)(Riesnfeld)、戈戈登登(Gordon)(Gordon)、福福雷雷斯斯特特(Forrest)(Forrest)等等人人推推广广了了贝贝齐齐尔尔曲曲线线，改改用用B B样样条条基基代代替替贝贝齐齐尔尔曲曲线线的的伯伯恩恩斯斯坦坦基基，用用这这种种方方法法构构作作的的曲曲线线曲曲面面叫叫B B样样条条曲曲线线曲曲面面。B B样样条条曲曲线线与与曲曲面面也也具具备备良良好好的的性性质质。它它继继承承
35、了了贝贝齐齐尔尔曲曲线线的的直直观观性性等等优优良良属属性性，又又克克服服了了贝贝齐齐尔尔方方法法的的不不足足之之处处。B B样样条条曲曲线线与与特特征征多多边边形形相相当当接接近，便于局部修改。近，便于局部修改。 首先介绍工程上常用的三次首先介绍工程上常用的三次B B样条曲线，然后再对样条曲线，然后再对B B样条样条曲线作进一步讨论。曲线作进一步讨论。 4.3.2 4.3.2 三次三次B B样条曲线段样条曲线段 B B样样条曲条曲线线也是即分段又也是即分段又连续连续，先先讨论讨论各分段的特性，各分段的特性，再解决各分段再解决各分段间间的的连续连续性性问题问题。 (1)(1)三三次次B B样样
36、条条基基。B B样样条条基基函函数数可可以以由由多多种种方方法法推推导导：如如差差商商定定义义、德德布布尔尔一一考考克克斯斯的的递递推推定定义义、考考虑虑曲曲线线段段之之间间连连续续性性要要求求的的几几何何定定义义等等。由由于于推推导导的的途途径径不不一一，B B样样条条基基函函数数的的表表达达式式各各有有不不同同，但但实实质质是是完完全全一一致致的的。现现在在直直接接引引出出工工程程上上经经常常应应用的用的三次三次B B样样条基函数的矩条基函数的矩阵阵表达式表达式： (4.3.2-1) (4.3.2-1) Nj,4,4( (u)()(j=0,1,2,3)=0,1,2,3)是是一一组组重重要要
37、的的基基函函数数，利利用用它它和和四四个个相相邻顶邻顶点点线线性性组组合，可构成三次合，可构成三次B B样样条曲条曲线线段。段。(2) (2) 三次三次B B样条曲线段样条曲线段 (4.3.2-2)(4.3.2-2)它的端点具有如下的一些性质：它的端点具有如下的一些性质： (4.3.2-3) (4.3.2-3) 根据上述端点几何性质，根据上述端点几何性质，三次三次B B样条曲线段的形状样条曲线段的形状就大体确定了。就大体确定了。4.3.3 4.3.3 三次三次B B样条曲线样条曲线当特征多边形的顶点超过四点时，其上每增加一个顶点。当特征多边形的顶点超过四点时，其上每增加一个顶点。则相应地在样条
38、上增加一段曲线则相应地在样条上增加一段曲线, ,下图表示下图表示B B特征多边形及其特征多边形及其对应的对应的B B样条曲线样条曲线, ,多边形中每四个相邻的顶点按公式多边形中每四个相邻的顶点按公式（）（）定义定义一段曲线。一段曲线。现在从曲线连续、光现在从曲线连续、光滑的要求出发，推导滑的要求出发，推导出三次出三次B B样条曲线方样条曲线方程。推导过程的几何程。推导过程的几何意义十分明显。意义十分明显。 已已知知n+2+2个个按按顺顺序序排排列列的的顶顶点点矢矢量量V V0 0, , V V1 1, V Vn+n+1 1 ( (见见上上图图) )，设设N N0,40,4( (u u),),N
39、 N1,41,4( (u u),),N N2,42,4( (u u),),N N3,43,4( (u u), ), 分别为分别为u u的三次多项式。的三次多项式。顺次以相邻的四顶点顺次以相邻的四顶点V Vi i , ,V Vi+i+1 1 , ,V Vi+i+2 2 , ,V Vi+i+3 3作为一组作为一组, ,共得到共得到( (n-1)-1)个线性组合：个线性组合： (4.3.3-1)(4.3.3-1)这些线性组合在连接点处要求直到二阶连续，即 ri(1)= =ri+1(0)，ri(1)= =ri+1(0)，ri”(1)= =ri+1”(0)，由由此此可可推导出三次推导出三次B样条基函数：
40、样条基函数：（见（见115-116页）页）（4.3.3-6)(4.3.3-6)式正是前述的三次式正是前述的三次B样条基。样条基。在在(4.3.3-1)(4.3.3-1)式式中中，特特征征多多边边形形顶顶点点V Vi+ji+j和和三三次次B B样样条条基基函函数数N Nj j,4,4( (u u)()(j j=0,1,2,3)=0,1,2,3)线线性性组组合合得得到到r ri i( (u u) )。当当参参数数u u从从0 0变变化化到到1 1时时，上上式式描描绘绘出出第第i i段段曲曲线线。各各段段曲曲线线在在连连接接点点处处保保持持C C2 2连连续续。由由于于N Nj j,4,4( (u
41、u) )是是三三次次B B样样条条基基，故故上上述述曲曲线线叫叫三三次次B B样样条条曲曲线。它在工程上的应用最普遍。线。它在工程上的应用最普遍。将将(4.3.3-6)(4.3.3-6)代入代入(4.3.3-1)(4.3.3-1), ,写成矩阵形式得三次写成矩阵形式得三次B B样条样条曲线公式为：曲线公式为： （4.3.3-7)此式为三次此式为三次B B样条曲线的计算公式，请记住并会计算。样条曲线的计算公式，请记住并会计算。4.3.4B样条曲线的几何性质样条曲线的几何性质除除了了图图所所示示的的曲曲线线端端点点性性质质外外，B样样条条曲曲线线还还具具备备另另一一些些性质性质。下面以三次下面以三
42、次B样条曲线为例加以说明。但这些性质对任意次样条曲线为例加以说明。但这些性质对任意次B样条曲线也都成立。样条曲线也都成立。(1)直直观观性性B B样样条条曲曲线线的的形形状状决决定定于于B B特特征征多多边边形形，而而且且曲曲线和多边形相当逼近。线和多边形相当逼近。 (2)(2)局局部部性性 由由于于三三次次B B样样条条曲曲线线段段ri(u)仅仅由由四四个个顶顶点点矢矢量量确确定定, ,而而与与其其它它顶顶点点矢矢量量无无关关。所所以以改改变变特特征征多多边边形形的的某某一一顶顶点点矢矢量量, ,只只对对相相邻邻的的四四段段曲曲线线段段产产生生影影响响, ,而而对对其其它它曲曲线线段段不不会
43、会引引起起变变化化。B B样样条条所所具具备备的的局局部部性性在在B B样样条条曲曲线线的的几几何何性性质质中中占有很重要的地位。占有很重要的地位。 (3)(3)凸凸包包性性 所所谓谓空空间间点点的的凸凸包包是是指指连连接接各各空空间间点点所所围围成成的的空间区域。曲线段必空间区域。曲线段必 在在V Vi iV Vi+i+1 1V Vi i+2+2V Vi i+3+3所张所张 成的凸包内。而整条成的凸包内。而整条 B B样条曲线必定落在样条曲线必定落在 这种由相继的四个多这种由相继的四个多 边形顶点所组成的凸包的并集之中。边形顶点所组成的凸包的并集之中。(4)对称性对称性把特征多边形的顶点把特
44、征多边形的顶点V0, V1, Vn反序排反序排成成Vn Vn-1, V0按此顶点矢量序列用式按此顶点矢量序列用式(4.3.3-7)构成构成曲线，就将沿相反的方向描画出同一条曲线。曲线，就将沿相反的方向描画出同一条曲线。三三次次B样样条条曲曲线线的的几几种种退退化化情情况况（亦亦即即构构造造特特殊殊B样条曲线的技巧）：样条曲线的技巧）：(1)三顶点三顶点Vi,Vi+1,Vi+2共线共线m是线是线ViVi+2的中点，见的中点，见图图,则三次则三次B样条曲线段的样条曲线段的起点起点ri(0)所在位置为所在位置为利用端点性质容易证明，利用端点性质容易证明， r ri i(0)(0)处处的的曲曲率率K
45、K=0=0。曲曲线线起起点点ri(0)与与直直线线V Vi iV Vi i+2+2相相切切，利用此性质可设计出需要的拐点。利用此性质可设计出需要的拐点。(2)四顶点四顶点ViVi+1Vi+2Vi+3共线共线四个相邻顶点共线，构作的四个相邻顶点共线，构作的B样条曲线退化为直线样条曲线退化为直线，见图。见图。ri(0)和和ri(1)的位置同样可由作图法求出。的位置同样可由作图法求出。(3)两顶点两顶点Vi+1,Vi+2重合重合相当于三顶点共线，三次相当于三顶点共线，三次B样条曲线的端点样条曲线的端点ri(0)满足关系式满足关系式而且端点曲率而且端点曲率K=0,见图。见图。(4)三顶点重合三顶点重合
46、为了构作含有尖点的为了构作含有尖点的B B样条曲线，可以取三次重合样条曲线，可以取三次重合顶点，即把一个顶点重复取三次。顶点，即把一个顶点重复取三次。如图所示，由顶点如图所示，由顶点V Vi i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2,V Vi+i+3,3,V Vi i+4+4可以定义两段三次可以定义两段三次B B样条曲线，具有样条曲线，具有C C2 2连续连续条件。若把条件。若把V Vi i+2+2看作为重复的两个顶点，则由顶点看作为重复的两个顶点，则由顶点V Vi i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2, V Vi i+2,+2,V Vi+i+3,3,V Vi i+
47、4+4可以构作三段可以构作三段B B样条曲线。若把样条曲线。若把V Vi i+2+2看作为重复三看作为重复三次的顶点，则由顶点次的顶点，则由顶点i i, ,V Vi+i+1,1,V Vi i+2,+2,V Vi i+2,+2,V Vi i+2+2V Vi+i+3,3,V Vi i+4+4可以定义四段可以定义四段三次三次B B样条曲线。三重顶点样条曲线。三重顶点V Vi i+2+2处，曲线的斜率不连续形成尖处，曲线的斜率不连续形成尖点，而且两点，而且两侧含有直线段和。在尖点处侧含有直线段和。在尖点处斜率尽管不连续。然而对于斜率尽管不连续。然而对于参数曲线来说参数曲线来说, ,确实是达到确实是达到
48、了了C C2 2连续。因为在三重顶点连续。因为在三重顶点处的一阶和二阶导矢都退化处的一阶和二阶导矢都退化为零。为零。上述退化情况表明上述退化情况表明( (构造特殊构造特殊B B样条曲线的技巧样条曲线的技巧) )：(1)如果想构造一段直线如果想构造一段直线,只要使四个顶点共线就可以只要使四个顶点共线就可以了。了。(2)为为了了使使样样条条曲曲线线和和特特征征多多边边形形相相切切，可可以以采采用用三三顶点共线或两重顶点的技巧。顶点共线或两重顶点的技巧。(3)要要使使样样条条曲曲线线通通过过某某一一顶顶点点，即即在在曲曲线线上上使使之之形形成一个尖点，可以运用三重顶点的技巧。成一个尖点，可以运用三重
49、顶点的技巧。在具有复杂外形的机电产品设计中，常常要用到上述技巧。在具有复杂外形的机电产品设计中，常常要用到上述技巧。4.3.5三次三次B样条曲线的算法样条曲线的算法从已知从已知B特征多边形顶点特征多边形顶点Vi计算三次计算三次B样条样条曲线的结点曲线的结点Pi以及曲线上的任意点，是逼近问题，以及曲线上的任意点，是逼近问题，称为正算，而从已知型值点列称为正算，而从已知型值点列Pi反推多边形顶点反推多边形顶点Vi，是应用于插值的反问题，称为反算。，是应用于插值的反问题，称为反算。(1)曲线的正算曲线的正算给给定定特特征征多多边边形形顶顶点点Vi，构构作作B样样条条曲曲线线，按按式式(4.3.3-7
50、)计计算算曲曲线线上上结结点点以以及及任任意意点点的的位位置置矢矢量量，这这是是不不用用赘赘述述的的。在在数数控控绘绘图图和和数数控控加加工工中中往往往往需需要要对对参参数数进进行行等等间间隔隔插插值值，这这时时不不必必将将参参数数代代入入式式(4.3.3-7)逐逐点点计计算算，而而可可采采用用差差分分运运算算，使使计计算可以高速进行。算可以高速进行。差分法的算法及源程序见附录差分法的算法及源程序见附录B。(2) (2) 曲线的反算曲线的反算 在在机机电电产产品品外外形形设设计计实实际际中中，常常常常是是给给出出曲曲线线上上一一批批型型值值点点，希希望望用用B B样样条条曲曲线线来来拟拟合合这
51、这些些点点。然然后后求求出出其其它它需需要要的的插插值值点点。这这时时首首先先要要求求出出B B样样条条曲曲线线特特征征多多边边形形顶顶点点，才才能能构构造造曲曲线线，并并对对曲曲线线进进行行插值计算。插值计算。 设设已已知知( (n n+1)+1)个个有有序序型型值值点点列列P Pi i(i i=0,1,=0,1,n n) )。求求特特征征多多边边形形顶顶点点位位置置矢矢量量V Vi i(i i=-1,0,=-1,0,n n+1)+1)。 从从(4.3.2-3)(4.3.2-3)式式的的第第一一、第第二二式式可可看看出出，反反算算问问题归结为下列线性代数方程组的求解：题归结为下列线性代数方程
52、组的求解： (4.3.5-5)(4.3.5-5) 如如果果补补充充两两个个适适当当的的端端点点条条件件，方方程程组组就就有有唯唯一一解。解。工程中常见的情况有如下三种端点条件：工程中常见的情况有如下三种端点条件：(1)两端点给出切矢量两端点给出切矢量补充条件为：补充条件为：(4.3.5-6)其中其中P0和和Pn在实际设计中可以依据抛物线端点条件给出。在实际设计中可以依据抛物线端点条件给出。(4.3.5-6)经推导整理后与经推导整理后与(4.3.5-5)构成三对角线性方程组：构成三对角线性方程组：(4.3.5-9)用用“追追赶赶法法”求求解解方方程程组组(4.3.5-9)并并将将结结果果代代入入
53、式式(4.3.5-6)中求出中求出Vi(i=-1,0,n+1)。全部未知数求解完毕。全部未知数求解完毕。关关于于“追追赶赶法法”求求解解方方程程的的原原理理和和程程序序参参见见本本书书附附录录A。(2)自由端点条件自由端点条件一般可取一般可取(4.3.5-10)由由(4.3.5-10)、(4.3.5-5)构成三对角线性方程组构成三对角线性方程组(4.3.5-11)可由可由“追赶法追赶法”求解此方程组求解此方程组(3) (3) 封闭曲线封闭曲线为为使使曲曲线线起起点点和和终终点点光光滑滑连连接接,应应考考虑虑多多生生成成一一小小段段曲曲线线PnP0将将原原曲曲线线光光滑滑封封闭闭。考考虑虑Pn点
54、点的的连连续续性性,PnP0应应由由顶顶点点Vn-1VnVn+1Vx生生成成;考考虑虑P0点点的的连连续续性性，PnP0应应由由顶顶点点VyV-1V0V1生生成成,又知又知PnP0是同一条曲线是同一条曲线,所以必有：所以必有：即要曲线封闭即要曲线封闭,必须必须:Vn+1=V0,Vn=V-1(4.3.5-12)由由(4.3.5-12)和和(4.3.5-5)联联立立求求解解，但但它它不不能能构构成成三三对对角角线线性性方方程程组组，因因此此不不能能用用解解三三对对角角方方程程的的追追赶赶法法求求解解，只只能能用用一一般般的的线线性性方方程程组组解解法法求求解解Vi。方程的形式为。方程的形式为(4.
55、3.5-13)4.3.6 4.3.6 三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线可以用不同的方法构造三次参数曲线可以用不同的方法构造,列成附表。列成附表。三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线段的三种等价表示( (续续) )三种构作方法有其内在联系。从几何角度分析三种构作方法有其内在联系。从几何角度分析(见图所示见图所示),B0和和B3是曲线段是曲线段r(u)的始点的始点r(0)和终点和终点r(1),r(0)和和r(1)是曲线段是曲线段始点和终点的切矢量。根据贝齐尔曲线的性质可以验证始点和终点的切矢量。根据贝齐尔曲线的性质可以验证,从从B0开开始始,沿沿r(0)的方
56、向截取其模长的的方向截取其模长的13,得得B1点；从点；从B3开始开始,沿沿r(1)的的反方向截取其模长的反方向截取其模长的13,得得B2点点,则则B0B1B2B3即为即为r(u)曲线段的曲线段的贝齐尔特征多边形。贝齐尔特征多边形。再根据再根据B样条的端点样条的端点性质性质,将线段将线段B1B2向向两侧各延长自身的长两侧各延长自身的长度度,分别得分别得V1和和V2。用线段连接用线段连接V1B0,并延并延长两倍到长两倍到d0，再用线，再用线段连接段连接V2d0，并延长，并延长自身的长度到点自身的长度到点V0，在在V2和和B3方面作对称方面作对称的操作，得到的操作，得到V3,则则V0 V1V2 V
57、3即为即为r(u)曲线段的曲线段的B特征多边形。特征多边形。三者的几何关系是明显的三者的几何关系是明显的,三种几何表示方法可以相互转换三种几何表示方法可以相互转换。由一由一种几何表示方法很容易用作图法找出另外两种等价的几何表示。种几何表示方法很容易用作图法找出另外两种等价的几何表示。三三次次参参数数曲曲线线段段可可以以用用不不同同方方法法构构造造，表表示示形形式式有有所所不不同同,但但它们之间有其内在联系。它们之间有其内在联系。从代数上看，这三种表示式可以统一从代数上看，这三种表示式可以统一在矩阵形式之下：在矩阵形式之下： r（u）= U Mj BjT 0 u 1 （j = 1，2，3）其中:
58、U是参数矢量,Mj是基函数阵,BjT 是顶点信息(见前表)。从上述等价表示中可以看出，贝齐尔方法和从上述等价表示中可以看出，贝齐尔方法和B样条方法用特样条方法用特征多边形表示曲线，比一般参数曲线更加直观。征多边形表示曲线，比一般参数曲线更加直观。学习了三次参数曲线段的等价表示学习了三次参数曲线段的等价表示,同学们要会解决如下问题：同学们要会解决如下问题：1）给定一曲线段的）给定一曲线段的B特征特征多边形顶点多边形顶点,如何求出该曲如何求出该曲线段的贝齐尔多边形顶点？线段的贝齐尔多边形顶点？2）给定一曲线段的贝齐尔）给定一曲线段的贝齐尔多边形顶点，如何求出该曲多边形顶点，如何求出该曲线段的线段的
59、B特征多边形顶点？特征多边形顶点？4.3.7二次二次B样条曲线样条曲线在在实实际际应应用用中中，用用得得最最多多的的是是三三次次B样样条条曲曲线线，其其次次就就是是二二次。次。现在考察二次均匀现在考察二次均匀B样条曲线，其公式为：样条曲线，其公式为：曲线段的两端点是二次曲线段的两端点是二次B特征特征多边形两边的中点，并且以两多边形两边的中点，并且以两边为其端点切线边为其端点切线(图图4.3.7-1)。一次一次B样条曲线就是样条曲线就是B特征特征多边形本身。多边形本身。对于同一特征对于同一特征多边形而言，随着曲线次数多边形而言，随着曲线次数的的增增高高，曲曲线线拉拉紧紧，离离特特征征多多边边形形
60、越越来来越越远远。三三次次B B样样条条能能保保持持C C2 2连连续续，对对特特征征多多边边形形又又相相当当逼逼近近，所所以以最最常常用用。二二次次B B样样条条曲曲线线由由于于简简单单，与与特特征征多多边边形形更更加加逼逼近近，尽尽管管只只能能保保持持C C1 1连续，在工程中也经常应用。连续，在工程中也经常应用。4.4 4.4 非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线 上上节节对对工工程程上上常常用用的的均均匀匀B B样样条条曲曲线线作作了了较较全全面面的的介介绍绍。它它最最重重要要的的特特征征是是：（1 1）参参数数轴轴采采用用均均匀匀分分布布的的节节点点；（2 2）各各段段B B样样条条曲
61、曲线线均均采采用用相相同同的的基基函函数数；（3 3）计计算算简简单单。但但当当型型值值点点或或顶顶点点间间距距相相差差较较大大时时，应应用用均均匀匀B B样样条条曲曲线线效效果果不不好好。因因此此，机机电电产产品品设设计计过过程程有有时时要要用用到到非非均均匀匀B B样样条条曲曲线线，它它可可以以在在基基函函数数里里用用节节点点的的不不均均匀匀分分割割来来适适应应特特征征顶顶点点或或型型值值点点严严重重不不均均匀匀的的情情况况。虽虽然然计计算算量量增增加加，但但造造型型功功能能和和效效果果得得以以提提高高，特特别别是是可可以以应应用用重重节节点点技技术术，更更增增加了加了B B样条曲线的应用
62、灵活性。样条曲线的应用灵活性。4.4.1B样条基函数样条基函数首首先先明明确确几几个个概概念念：节节点点是是参参数数轴轴上上的的分分割割点点。将将参参数数轴轴等等距距分分割割,得得到到均均匀匀节节点点。若若非非等等距距分分割割,则则得得到到非非均均匀匀节节点点。前前面面提提到到过过的的型型值值点点,是是指指曲曲线线段段间间的的连连接接点点。前前者者是是曲曲线线上上的的点点，后者是参数轴上的点。而顶点则是确定曲线形状的控制点。后者是参数轴上的点。而顶点则是确定曲线形状的控制点。定定义义：在在区区间间a,b上上，取取分分割割a=x0x1xn=b为为节节点点，构构造造B样样条条基基函函数数。仅仅在在
63、区区间间xi x xi+M内内其其值值不不为为零零的的M阶阶(M-1次次)B样样条条基基函函数数Ni,M(x)称称为为在在 xi, xi+M上上具具有有局局部部支支集集性性。M为为阶阶数数(为为大大于于或或等等于于1的的整整数数)，基基函函数数Ni,M(x)由由下下列列递递推推关系给出：关系给出：式式中中约约定定0/0=0，Ni,M(x)称称为a,b上上第第i个个M阶（M1次次）B样条基函数。条基函数。（）（）递推公式的几何意推公式的几何意义可以可以归结为“移位移位”,“升升阶”和和“线性性组合合”。Ni,M1（x）“移位移位”得得Ni+1,M1（x）（）（对非均非均匀匀节点而言点而言则指指N
64、i,M1（x）的下一个基函数）的下一个基函数为Ni+1,M1（x）；M1阶基函数乘以基函数乘以x的的线性函数，就是性函数，就是“升升阶”；再将其；再将其“线性性组合合”，得，得到到M阶阶B样条基。样条基。由由上上述述递递推推关关系系可可知知，M阶阶B样样条条基基是是一一个个只只在在M个个子子区区间间xi,xi+M上上非非零零的的分分段段M1次次多多项项式式，它它具具有有直直到到M2阶阶连连续导数。续导数。现在具体地讨论现在具体地讨论0次到次到3次次B样条基样条基当当M1，零次，零次(一阶一阶)B样条基为样条基为:Ni,1（x）的的图图形形如如图图(4.4.1-1)所所示示。在在区区间间a,b上
65、上，它它只只在在一一个个子子区区间间xi,xi+1上上非非零零，且且为为常常数数1(即即为为零零次次多多项项式式)。在其他子区间上均为零。在其他子区间上均为零。Ni,1（x）称为平台函数。称为平台函数。M=2，一次，一次(二阶二阶)B样条基：样条基：由由(4.4.1-2)的的Ni,1（x）的的“移位移位”得得将将Ni,1（x）和和Ni+1,1（x）代入递推公式，得代入递推公式，得Ni,1（x）和和Ni+1,1（x）及及由由递递推推所所得得到到的的Ni,2（x）见见图图。人人们们形形象象地地称称Ni,2（x）为为屋屋顶顶函函数数。Ni,2（x）只只在在两两个个子子区区间间xi,xi+1,xi+1
66、,xi+2上非零，且各段均为上非零，且各段均为x的一次多项式。的一次多项式。M = 3M = 3，二次，二次( (三阶三阶)B)B样条基：样条基：将将Ni,2（x）的的表表达达式式(4.4.1-3)的的下下标标i换换成成i+1,即即得得到到Ni+1,2（x）的的表表达达式式。再再将将Ni,2（x）和和Ni+1,2（x）代代入入递递推推公公式式，即可得到即可得到Ni,3（x）。）。二次二次B样条基为样条基为:(4.4.1-3)Ni,2（x）、）、Ni+1,2（x）以及）以及递推所得到的推所得到的Ni,3（x）见图。Ni,3（x）在三个）在三个子区子区间上非零上非零,且且为分段的二次多分段的二次多
67、项式式,形象地被称形象地被称为钟形函数。形函数。M=4，三次，三次B样条基条基Ni,4（x）Ni,4（x）是工程上）是工程上经常用到的一种常用到的一种B样条基，它只在四子区条基，它只在四子区间上非零，且上非零，且为分段的三次多分段的三次多项式，其式，其图形形见图，人，人们称称Ni,4（x）为草帽函数。草帽函数。三次三次B样条基的表达为样条基的表达为:依次递推，可得任意次依次递推，可得任意次B B样条基函数的分段表达式。样条基函数的分段表达式。按（）递推公式，可编制十分简洁的程序，用以计算按（）递推公式，可编制十分简洁的程序，用以计算任意次任意次B样条基函数。样条基函数。下下面面给给出出一一个个
68、以以0、2、5、6、8、10为为节节点点的的三三次次B样样条基函数图形条基函数图形,见图。见图。如如果果取取参参数数xi=i(i =0,1,2,n)为为节节点点，即即可可在在等等距距节节点点参参数数轴轴上上形形成成均均匀匀B样样条条基基。由由（）或或直直接接由由（）、(4.4.1-3)、(4.4.1-4)、(4.4.1-5)可可得得均均匀匀B样条基的表达式。样条基的表达式。4.4.2 B4.4.2 B样条基的性质样条基的性质由前面介绍的由前面介绍的B样条基，可以明显地看出它们具有下列性质样条基，可以明显地看出它们具有下列性质:局局部部性性Ni,M（x）只只在在xi,xi+M范范围内内有有值,且
69、且为分分段段（M-1）次多次多项式。其它子区式。其它子区间上其上其值为零。零。全正性全正性在在xi,xi+M区区间之内，之内，Ni,M（x）0单调性性Ni,M（x）是）是单调函数。函数。规范性范性对称性对称性均匀均匀B样条基具备对称性。样条基具备对称性。 Nj ,M (u)=NM-1-j ,M (1-u)(j =0,1,M-1)。（）（）4.4.3非均匀非均匀B样条曲线样条曲线前面介绍了前面介绍了B样条基函数及其性质，在均匀节点情况下，导样条基函数及其性质，在均匀节点情况下，导出均匀出均匀B样条基，将其与顶点线性组合，构作了均匀样条基，将其与顶点线性组合，构作了均匀B样条样条曲线。当定义曲线。
70、当定义B样条基函数的节点分布不均匀时，所得曲线样条基函数的节点分布不均匀时，所得曲线称为非均匀称为非均匀B样条曲线。下面给出常用的二次和三次非均匀样条曲线。下面给出常用的二次和三次非均匀B样条曲线的方程。二次非均匀样条曲线的方程。二次非均匀B样条曲线的方程为样条曲线的方程为:三次非均匀三次非均匀B B样条曲线的方程为样条曲线的方程为令令u =(x -xi)(xi+1 -xi),可可将将(4.4.3-2)式式改改写写成成参参数数形形式式，并并可可进一一步步将将其其写写成矩成矩阵形式：形式：（）式中的系数方阵（）式中的系数方阵M4的元素由相的元素由相应的的节点距离确定。点距离确定。（）式在等距节点
71、的情况下，将退化为三次均匀（）式在等距节点的情况下，将退化为三次均匀B样条曲线。样条曲线。比较均匀比较均匀B B样条曲线与非均匀样条曲线与非均匀B B样条曲线得知：样条曲线得知：两两者者的的公公式式相相似似，前前者者系系数数方方阵阵M的的元元素素是是固固定定值值；而而后后者者的的元元素素随随节节点点距距离离而而改改变变。换换句句话话说说，均均匀匀B样样条条曲曲线线的的形形状状只只取取决决于于特特征征多多边边形形顶顶点点，而而非非均均匀匀B样样条条曲曲线线不不仅仅取决于特征多边形顶点，而且还受基函数节点距离的影响。取决于特征多边形顶点，而且还受基函数节点距离的影响。在在工工程程应应用用中中，非非
72、均均匀匀B样样条条基基函函数数的的节节点点如如何何分分割割，其其主主要要的的考考虑虑就就是是要要用用节节点点的的不不均均匀匀分分割割适适应应型型值值点点或或项项点点的不均匀性，实践证明，下述处理方法是简单而有效的。的不均匀性，实践证明，下述处理方法是简单而有效的。(1)对对一一次次曲曲线线，曲曲线线本本身身即即是是特特征征多多边边形形，节节点点距距离离取取成成与型值点的实际距离与型值点的实际距离(也就是折线边长也就是折线边长)成比例。成比例。(2)对对于于二二次次和和三三次次曲曲线线，在在正正算算情情况况下下，可可取取节节点点距距离离与与特特征征多多边边形形顶顶点点距距离离(边边长长)成成某某
73、一一比比例例；在在反反算算情情况况下下，可可取节点距离与型值点实际距离成某一比例。取节点距离与型值点实际距离成某一比例。(3)两两端端还还需需补补充充一一定定的的节节点点，可可向向端端点点外外等等距距延延伸伸，也也可可取重节点。取重节点。非非均均匀匀B样样条条的的反反算算方方法法与与均均匀匀B样样条条反反算算方方法法类类似似，这这里不再赘述。里不再赘述。双三次双三次B样条曲面是机电产品外表面设汁时最常用的曲面形样条曲面是机电产品外表面设汁时最常用的曲面形式式,它完全可以从它完全可以从B样条曲线在两个参数方向的推广而得到。样条曲线在两个参数方向的推广而得到。4.5.1双三次双三次B样条曲面片样条
74、曲面片给定空间十六个点的位置矢量给定空间十六个点的位置矢量Vi, j(i =0,1,2,3；j 0,1,2,3)，并按序排成一个四阶方阵。并按序排成一个四阶方阵。我们把这些矢量的端点叫做顶我们把这些矢量的端点叫做顶点点,上述的四阶方阵叫顶点信息上述的四阶方阵叫顶点信息方阵。将这些顶点沿参数方向方阵。将这些顶点沿参数方向分别连成特征多边形，构成特分别连成特征多边形，构成特征网格，如图所示。取方阵中征网格，如图所示。取方阵中的每一列元素，作为一个特征的每一列元素，作为一个特征多边形的四个顶点，用来构作多边形的四个顶点，用来构作三次三次B样条曲线。样条曲线。4.5 4.5 双三次双三次B B样条曲面
75、样条曲面并将它表示为矩阵形式：并将它表示为矩阵形式：将以上四条三次将以上四条三次B样条曲线用下列矩阵表示样条曲线用下列矩阵表示对对于于0,1之之间间的的每每个个u值值，我我们们再再把把S0(u),S1(u),S2(u),S3(u)看看成成一一个个特特征多边形的四个顶点，构作一条关于参数征多边形的四个顶点，构作一条关于参数w的的B样条曲线样条曲线将将Sj(u)(j=0,1,2,3)代入上式代入上式,得到得到如如果果把把参参数数u和和w都都看看成成相相互互独独立立地地在在0,1中中变变化化，那那么么(4.5.1-1)就就是是双双三次三次B样条曲面片的方程。样条曲面片的方程。由于由于N0,4(u),
76、 N1,4(u), N2,4(u), N3,4(u)=1u u2 u3MB ，则则(451-1)可以表示为紧凑的形式：可以表示为紧凑的形式：如如果果改改变变构构造造曲曲面面片片的的方方式式，先先按按行行后后按按列列，得得出出的的结结果果是是完完全全相相同同的的。由由此此可可以以断断定定，双双三三次次B样样条条曲曲面面片片是是由由十六个顶点唯一确定的。十六个顶点唯一确定的。由由三三次次B样样条条曲曲线线的的性性质质和和双双三三次次B样样条条曲曲面面片片的的构构造造方方式式可可知知，曲曲面面片片一一般般不不通通过过顶顶点点。曲曲面面片片的的四四个个角角点点接接近近于于顶点顶点V11V12 V21V
77、22,参看图。图中曲面片用虚线表示。参看图。图中曲面片用虚线表示。还可以将还可以将(4.5.1-1)改写成改写成4.5.2双三次双三次B样条曲面样条曲面给给定定(n +1)(m +1)个个空空间间顶顶点点，把把它它们们排排成成一一个个(n+ 1)（m + 1）阶阶矩矩阵阵Vi , j(i = 0,1,n；j = 0，1，m)它它们们构构成成双双三三次次B样样条条曲曲面面的的特特征征网网格格。相应的双三次相应的双三次B样条曲面方程为：样条曲面方程为：它它是是由由（n-2）(m-2)块块双双三三次次B样样条条曲曲面面片片拼拼合合而而成成的的，每每两两相相邻邻曲曲面面片片之之间间都都理理所所当当然然
78、地地达达到到了了C2连连续续。这这一一点点自自然然是是从从三三次次B样样条条基基函函数数的的C2连连续续得得到到保保证证的的。所所以以说说，双双三三次次B样样条条曲曲面面相相当当简简单地解决了曲面片之间的拼合问题。单地解决了曲面片之间的拼合问题。4.5.3双三次双三次B样条曲面的计算样条曲面的计算(1)给给定定特特征征网网络络顶顶点点Vi, j,构构造造B样样条条曲曲面面，再再计算曲面上任意点的位置矢量及法矢量。（正算）计算曲面上任意点的位置矢量及法矢量。（正算）按按(4.5.1-3)计计算算曲曲面面上上任任意意参参数数(0u，w1)的的位位置置矢矢量量是是不不用用赘赘述述的的。为为了了计计算
79、算等等距距面面，需需要要求求出出曲曲面面上上点点的的法法矢矢量量。为为此此对对(4.5.1-1)求求u向向和和w向向偏导矢：偏导矢：曲面上点的法矢量曲面上点的法矢量N为为(2)曲面的反算曲面的反算要构造通过型值点的要构造通过型值点的B样条样条曲面曲面,先要反算出先要反算出B样条特征样条特征网格顶点。这就是曲面反算网格顶点。这就是曲面反算问题。如图所示问题。如图所示,首先对首先对u向向的的n+1组型值点组型值点,按按B样条曲样条曲线的反算方法线的反算方法,得到各条插得到各条插值曲线的特征多边形顶点值曲线的特征多边形顶点Q（i=-1,0,1,n+1；j =0,1,m）。）。然后然后,把上面算出把上
80、面算出的的Q,看成在看成在w方向的方向的m + 1组型值点列组型值点列,再按再按B样条曲线样条曲线的反算法得的反算法得Vi,j（i=-1,0,1,n,n+1；j=-1,0,1,m,m+1）,这批这批Vi,j就是双三次就是双三次B样条曲样条曲面的特征网格顶点。将面的特征网格顶点。将Vi,j代代入入B样条曲面公式样条曲面公式,便可以算便可以算出曲面上任意点的位置矢量。出曲面上任意点的位置矢量。(2)曲面的反算曲面的反算454双三次曲面的三种等价表示双三次曲面的三种等价表示双三次参数曲面片可以用不同的方法构作。对于同一张双三次曲面双三次参数曲面片可以用不同的方法构作。对于同一张双三次曲面片而言，它可
81、以写成孔斯片而言，它可以写成孔斯(Coons)形式，也可以写成贝齐尔形式，也可以写成贝齐尔(Bezier)形式形式或或B样条形式。三种构作方法有其内在联系。样条形式。三种构作方法有其内在联系。式式中中:VC孔孔斯斯形形式式的的角角点点信信息息方方阵阵；VBE贝贝齐齐尔尔形形式式的的顶顶点点信信息息方方阵；阵；VBB样样条条形形式式的的顶顶点点信信息息方方阵阵；MC、MBE、MB三三种种形形式式的的基基函函数系数方阵。数系数方阵。由于在由于在0u，w 1域内，所以域内，所以rC(u,w) = rBE(u,w) = rB (u,w)(4.5.4-2)从而获得从而获得通通过过矩矩阵阵运运算算，孔孔斯
82、斯形形式式角角点点信信息息方方阵阵Vc与与贝贝齐齐尔尔或或B样样条条形形式式的的顶顶点点信信息息方方阵阵可可以以相相互互转转换换。这这些些方方阵阵的的元元素素自自然然也也可可以以相相互互转转换换。这这些些等等价价表表示示的的关关系系式式反反映映了了三三种种构构作作方方法法的的内内在在联联系系。尽尽管管这这三三种种形形式式是是等等价价的的，但但B样样条条形形式式直直观观，有有良良好好的的局局部部性性，便便于于实实现现对对曲曲面面形形状状的的控控制制，因因此应用越来越广泛。此应用越来越广泛。4.6 4.6 关于关于B B样条曲面的说明样条曲面的说明4.6.1 4.6.1 均匀均匀B B样条曲面样条
83、曲面任意次任意次B B样条曲面片的方程如下：样条曲面片的方程如下：(1)(1)当当B B样条基的阶数样条基的阶数n n = = m = m = 2 2时，时，B B样条曲面片为样条曲面片为(2)(2)双一次曲面片。它的边界是由顶点张成的四边形。双一次曲面片。它的边界是由顶点张成的四边形。(3)(3)(2)(2)当当n n = = m = m = 3 3时，时，B B样条曲面片为双二次曲面片。样条曲面片为双二次曲面片。(4)(4)图中示意了曲面片与特征网格之间的关系。图中图中示意了曲面片与特征网格之间的关系。图中(5)(5)只只画画了了一一片片B B样样条条曲曲面面。如如果果网网格格向向外外扩扩
84、展展，则则曲曲面面片片也也相相应应延延伸伸，而而且相邻两片之间保持且相邻两片之间保持C C1 1连续。这是因为连续。这是因为N Ni i，3 3（u u）是是C C1 1连续的缘故。连续的缘故。 (3)(3)当当n n = = m = m = 4 4时，时，B B样条曲面片为双三次曲面片。样条曲面片为双三次曲面片。 (4)(4)当当n n = = 4 4，m m = = 2 2时时，B B样样条条曲曲面面片片为为3 3 1 1次次曲曲面面片片。翼翼面面类类直直母母线线部部件采用件采用3131次次B B样条曲面可获得良好的效果。样条曲面可获得良好的效果。 构构造造均均匀匀B B样样条条曲曲面面方
85、方法法简简单单，计计算算量量小小，适适合合于于设设计计较较规规则则曲曲面面。但但如如果果曲曲面面型型值值点点分分布布很很不不均均匀匀，尽尽管管插插值值曲曲面面通通过过给给定定的的型型值值点点，在在定定义义域域上上有有直直到到二二阶阶的的连连续续单单向向偏偏导导矢矢，可可是是从从宏宏观观角角度度看看，曲曲面面并并不光滑，往往出现不应有的波动。不光滑，往往出现不应有的波动。 4.6.2非均匀非均匀B样条曲面片样条曲面片双三次均匀双三次均匀B样条曲面在两个参数方向都采用均匀基，而双三次非均匀样条曲面在两个参数方向都采用均匀基，而双三次非均匀B样条曲面允许两个参数方向选用不同的基，因此具有更大的灵活性
86、，有样条曲面允许两个参数方向选用不同的基，因此具有更大的灵活性，有更广泛的适用范围。根据参数平面的划分不同及工程上曲面的不同复杂更广泛的适用范围。根据参数平面的划分不同及工程上曲面的不同复杂程度，程度，B样条曲面可分为以下几种：样条曲面可分为以下几种：u矩形网格基矩形网格基在在u向、向、w向各采用统一的一组非均匀基，向各采用统一的一组非均匀基，w这这种种情情况况称称为为矩矩形形网网格格基基。这这种种构构作作方方法法的的好好处处是是在在一一定定程程度度上上反反映映了了u向向和和w向向型型值值点点分分布布的的不不均均匀匀程程度度，曲曲面面定定义义域域上上仍仍有有直直到到二二阶阶的的连连续续单向偏导
87、矢。只有较规则的曲面才适合于采用矩形网格基。单向偏导矢。只有较规则的曲面才适合于采用矩形网格基。(2)梯形网格基梯形网格基在在u向采用统一的非均匀基，在向采用统一的非均匀基，在w向采用向采用各各条条w线线各各自自的的非非均均匀匀基基(或或者者在在w向向采采用用一一组组非非均均匀匀基基，在在u向向采采用用各各自自的非均匀基的非均匀基)，这种情况称为梯形网格基。，这种情况称为梯形网格基。(3)任意四边形网格基任意四边形网格基对于某些型值点未能按平行切面分布、对于某些型值点未能按平行切面分布、且且节节点点很很不不均均匀匀，曲曲率率变变化化剧剧烈烈的的曲曲面面，选选用用两两个个方方向向任任意意的的非非
88、均均匀匀基基可可以以充充分分反反映映各各条条u线线、w线线的的节节点点不不均均匀匀程程度度，改改善善构构作作的的曲曲面面效效果果，但但是保证曲面片边界连续的难度将增加。是保证曲面片边界连续的难度将增加。在在机机电电产产品品外外形形没没计计过过程程中中,选选用用非非均均匀匀B样样条条曲曲面面理理论论,可可以以减减少少产产品品表表面面的的分分块块,简简化化曲曲面面片片的的拼拼接接操操作作,并并且且对对外外表表面面数数据据的的测测量量适适应应性性好。好。4.7非均匀有理非均匀有理B样条曲线和曲面样条曲线和曲面前面介绍的各种形式的参数样条和参数曲线、曲面被广前面介绍的各种形式的参数样条和参数曲线、曲面
89、被广泛地用于表示自由曲线、曲面。本节介绍另一种形式的参数泛地用于表示自由曲线、曲面。本节介绍另一种形式的参数样条样条非均匀有理非均匀有理B样条曲线、曲面样条曲线、曲面(Non-UniformReasonableB-Spline,简称简称NURBS曲线、曲面曲线、曲面)。和其他有理。和其他有理样条一样，它的主要特点是可以用统一的数学形式表示圆、样条一样，它的主要特点是可以用统一的数学形式表示圆、直线、圆锥曲线、曲面及自由曲线、曲面。直线、圆锥曲线、曲面及自由曲线、曲面。对对 NURBS的的 研研 究究 起起 源源 于于 70年年 代代 ， 沃沃 斯斯 坡坡 瑞瑞(Versprille)在在总总结
90、结了了许许多多人人先先前前研研究究工工作作的的基基础础上上，以以博博士士论论文文的的形形式式发发表表了了第第一一篇篇有有关关NURBS的的文文章章。随随后后，美美国国的的波波音音公公司司、犹犹他他大大学学、结结构构动动力力研研究究公公司司(SDRC)等等分分别别对对NURBS进进行行了了深深入入的的理理论论研研究究和和应应用用开开发发工工作作。1980年年，波波音音公公司司首首先先建建议议在在初初始始图图形形信信息息交交换换标标准准(IGES)中中，以以NURBS曲曲线线、曲曲面面作作为为定定义义曲曲线线、曲曲面面的的标标准准，1983年年，SDRC公公司司第第一一个个将将基基于于NURBS的
91、的几几何何造造型型系系统统GEOMOD系系统统推推向向市市场场，同同年年，NURBS曲曲线线、曲曲面面开开始始成成为为IGES中中的的曲曲线线、曲曲面面定定义义标标准准。目目前前，越越来来越越多多的的几几何何造型系统采用造型系统采用NURBS作为系统内部主要的表示形式。作为系统内部主要的表示形式。NURBS曲线与曲面能够迅速地被接受的主要原因在于：曲线与曲面能够迅速地被接受的主要原因在于： 第一，可精确表示规则曲线与曲面第一，可精确表示规则曲线与曲面(如圆锥曲线，二次曲面、如圆锥曲线，二次曲面、旋转曲面等旋转曲面等)，而孔斯方法、齐贝尔方法、非有理，而孔斯方法、齐贝尔方法、非有理B样条方法样条
92、方法做不到这一点，为了用上述方法构造的参数曲面逼近它们，做不到这一点，为了用上述方法构造的参数曲面逼近它们，往往需把它们离散化，使造型不便且影响精度；往往需把它们离散化，使造型不便且影响精度；第二，可把第二，可把规则曲面规则曲面(一般用解析曲面表示一般用解析曲面表示)和自由曲面和自由曲面(一般用参数曲一般用参数曲面表示面表示)统一在一起统一在一起，因而便于用统一的算法予以处理和用，因而便于用统一的算法予以处理和用统一的数据库加以存贮，程序量可明显减少；统一的数据库加以存贮，程序量可明显减少；第三，由于增第三，由于增加了额外的自由度加了额外的自由度(理因子理因子)，若应用得当，有利于曲线与曲，若
93、应用得当，有利于曲线与曲面形状的控制和修改，使设计者能更方便地实现自己的设计面形状的控制和修改，使设计者能更方便地实现自己的设计意图。意图。此外，由于此外，由于NURBS是非有理贝齐尔和是非有理贝齐尔和B样条形式的真样条形式的真正推广，大多数非有理形式的著名性质和计正推广，大多数非有理形式的著名性质和计算技术很容易推算技术很容易推广到有理形式，广到有理形式，NURBS能够嵌入到已有的非有权几何设计能够嵌入到已有的非有权几何设计系统中或对已有的几何设计系统加以改造，而需要增加的存系统中或对已有的几何设计系统加以改造，而需要增加的存贮和计算量较少。贮和计算量较少。本本节节将将介介绍绍NURBS曲曲
94、线线、曲曲面面的的定定义义、几几何何性性质质、形形状状修修改改，如如何何用用NURBS方方法法表表示示圆圆锥锥曲曲线线及及常常见见的的列列表表柱柱面面、直直纹纹面、旋转曲面以及蒙皮曲面等。面、旋转曲面以及蒙皮曲面等。4.7.1NURBS曲线、曲面的定义曲线、曲面的定义NURBS曲线和曲面的数学定义很简单曲线和曲面的数学定义很简单,NURBS曲线是一向量值的分段曲线是一向量值的分段有理多项式函数有理多项式函数,形式如下：形式如下：（）（）其其中中wi称称为为权权因因子子，Vi是是控控制制顶顶点点(同同非非有有理理曲曲线线的的控控制制顶顶点点定定义义相相同同)，N i , p是是p次规范次规范B样
95、条基函数，其递归定义为式样条基函数，其递归定义为式(4.4.1-1)。我们称我们称ui为节点，把由它们组成的向量为节点，把由它们组成的向量U=u0,u1,u2,um称称为为节节点点向向量量。NURBS曲曲线线的的次次数数、节节点点数数、控控制制顶顶点点数数三三者者满满足足关关系系式式:m = n+p+1其中其中m+1为节点数，为节点数，n+1为控制顶点数，为控制顶点数，p为次数。为次数。一般情况下一般情况下,节点向量具有形式节点向量具有形式:其中两端节点的其中两端节点的和和为为p+1重。重。在在绝绝大大多多数数的的应应用用场场合合，我我们们都都选选=0和和=1，而而且且具具有有上上述述节节点点
96、向向量量的的NURBS曲曲线线具具有有贝贝齐齐尔尔曲曲线线的的端端点点性性质质，曲曲线线的的首首末末点点与与控控制制顶顶点点的的首首末末点点相相重重合合，而而且且在在首首末末两两端端点点处处曲曲线线与与控控制制多多边边形形的的首首末末两两条条边相切。边相切。以上以上NURBS的数学定义，也可以通过齐次坐标的概念由的数学定义，也可以通过齐次坐标的概念由NURBS曲线的曲线的几何定义得到。几何定义得到。设在设在xyw坐标系中，有坐标系中，有n+1个顶点，见图。个顶点，见图。记为记为在此坐标系中的非有理在此坐标系中的非有理B样条曲线可写为样条曲线可写为 若以坐标原点为投影中心若以坐标原点为投影中心,
97、将此空间曲线将此空间曲线投影到投影到w=1的平面上，则得到平面曲线的平面上，则得到平面曲线(4.7.1-2)此曲线即是此曲线即是NURBS曲线在二维情况下的定义形式。曲线在二维情况下的定义形式。类类似似地地，我我们们可可将将xyzw坐坐标标系系中中的的曲曲线线投投影影到到平平面面上上，定定义义这这样样得得到到的的空间三维曲线为空间三维曲线为NURBS曲线。曲线。上上述述NURBS曲曲线线的的几几何何模模型型不不仅仅使使我我们们便便于于更更好好地地理理解解，同同时时也也提提示示我我们们，在在四四维维空空间间中中的的非非均均匀匀有有理理B样样条条的的计计算算完完全全与与在在三三维维空空间间中中的的
98、非非均均匀匀非非有有理理B样样条条的的计计算算方方法法一一致致。非非均均匀匀非非有有理理B样样条条的的一一套套算算法法，如如求求曲曲线线上上的的点点、升升阶阶、插插入入节节点点等等完完全全可可以以推推广广应应用用于于NURBS曲曲线线、曲曲面，只是应在齐次坐标系下进行。面，只是应在齐次坐标系下进行。NURBS曲面的计算公式曲面的计算公式NURBS曲面是非有理张量积曲面是非有理张量积B样条曲面的有理推广，定义如下：样条曲面的有理推广，定义如下：（4.7.1-3)其中，其中，wi,j是权因子，是权因子，Vi,j构成控制网，构成控制网，Ni,p(u)和和Nj,q(w)分别是分别是向和向的次和次规范向
99、和向的次和次规范B样条，定义在下述节点向量上：样条，定义在下述节点向量上： U=0,0,0,up+1,ur-p-1,1,1,1 W=0,0,0,wq+1,ws-q-1,1,1,1这这里里，端端节节点点为为P+1和和q+1重重，r=m+p+1,s=n+q+1虽虽然然曲曲面面方方程程(4.7.1-3)是是由由推推广广张张量量积积曲曲面面形形式式获获得得的的，但但一一般般来来说说NURBS曲面并非张量积曲面。曲面并非张量积曲面。4.7.2NURBS曲线的几何性质曲线的几何性质方程方程(4.7.1-1)可写成下述等价形式可写成下述等价形式:Ri,p(u)为有理为有理B样条基函数。样条基函数。(1)端点
100、条件满足端点条件满足: (2)射影不变性射影不变性对曲线的射影变换等价于对其控制顶点的射影变换。对曲线的射影变换等价于对其控制顶点的射影变换。(3)凸包性凸包性若若uuj, uj+1,pjm - p 1,那那么么r(u)是是位位于于三三维维控控制制顶顶点点Vj-p , Vj的的凸包之中。凸包之中。(4)如同函数如同函数Ni,p(u)一样一样,Ri,p(u)在节点处对在节点处对Vi起开关控制作用。起开关控制作用。(5) r (u)在节点跨的内部无限可微，在重数为的节点处在节点跨的内部无限可微，在重数为的节点处p-k次可微。次可微。(6)无无内内节节点点的的有有理理B样样条条曲曲线线为为有有理理的
101、的贝贝齐齐尔尔曲曲线线，有有理理B样样条条曲曲线线是是非非有有理理B样样条条曲曲线线和和有有理理、非非有有理理贝贝齐齐尔尔曲曲线线的的真真正正推推广广。因因此此，有有理理和和非非有有理理B样样条条实实质质上上具具有有相相同同的的几几何何性性质质。大大多多数数有有关关非非有有理理曲曲线线的的理理论论和算法能够直接而方便地推广到有理曲线。和算法能够直接而方便地推广到有理曲线。4.7.3NURBS曲线形状的修改曲线形状的修改由由NURBS曲曲线线的的定定义义式式(4.7.1-1)可可知知,改改变变权权因因子子，移移动动控控制制顶顶点点，改改变变节节点点向向量量都都将将使使NURBS曲曲线线形形状状发
102、发生生变变化化。实实践践经经验验证证明明，采采用用改改变变节节点点向向量量的的方方法法修修改改NURBS曲曲线线缺缺乏乏直直观观的的几几何何意意义义，使使用用者者很很难难预预料料修修改改的的结结果果。因因此此，在在实实际应用中，往往通过调整权因子或移动控制顶点来达到修改曲线形状的目的。际应用中，往往通过调整权因子或移动控制顶点来达到修改曲线形状的目的。为分析为分析wi的几何意义的几何意义,我们现假设其他量均我们现假设其他量均不变不变,只有只有wi变化变化;此外此外,由于由于wi只影响区间只影响区间ui, ui+p+1)内的曲线，我们现只研究此内的曲线，我们现只研究此区间。区间。如图所示。如图所
103、示。定求定求B,N ,Bi分别是分别是wi=0,wi=1,wi0,1的的对应的曲线上的点，即对应的曲线上的点，即B= r (u；wi=0)， N= r (u；wi=1)和和Bi= r (u；wi0,1)借助借助参数参数:=Ri,p(u；wi=1)=Ri,p(u)（）（）N和和Bi表示如下：表示如下：N=(1-) B+Vi , Bi=(1-) B+Vi 用用和和的表达式可得到恒等式的表达式可得到恒等式(4.7.3-2)这这是是四四点点Vi,B, N和和Bi的的交交比比或或二二重重比比。用用(4.7.3-1)和和(4.7.3-2)，容容易易分分析析wi的的影影响：响：1.若若wi增大或减小，那么增
104、大或减小，那么增大或减小，所以曲线被拉向或推离点增大或减小，所以曲线被拉向或推离点Vi 。2.若若wi增大或减小，那么曲线被推离或拉向增大或减小，那么曲线被推离或拉向Vj(ji)。3.当当Bi移动时移动时,它扫掠出一直线段。它扫掠出一直线段。4.当当Bi趋于趋于Vi时时,趋于趋于1,因此因此Wi趋于无限大。趋于无限大。在在实实际际应应用用中中，当当需需要要较较大大程程度度地地修修改改曲曲线线形形状状时时，往往往往是是调调整整控控制制顶顶点点。然然后后再再根据应用的要求在小范围内调整权因子，使曲线从整体到局部达到协调。根据应用的要求在小范围内调整权因子，使曲线从整体到局部达到协调。4.7.4圆锥
105、曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS表示表示对于对于NURBS曲线曲线,若取若取n=2,U=0,0,0,1,1,1,则二次则二次NURBS曲线退化为曲线退化为:r(u)=(4.7.4-1)可可以以证证明明，上上式式是是圆圆锥锥曲曲线线的的方方程程，其其中中比比率率w21w0w2=CSF称称为为圆圆锥锥曲曲线线形状因子。形状因子。CSF的值确定了圆锥曲线的类型，见图。的值确定了圆锥曲线的类型，见图。当当CSF1时时,上上式式表表示示双双曲曲线线。由由于于圆圆是是椭椭圆圆的的特特例例,所所以以,若若取取w0及及w2为为1,则则w1必必小小于于1。如图。如图,若取若取w0=w2=1，则则w
106、1=（）（）4.7.5一些常用曲面的一些常用曲面的NURBS表示表示常用曲面是列表柱面，自然二次曲面，直纹曲面和旋转曲面等。常用曲面是列表柱面，自然二次曲面，直纹曲面和旋转曲面等。1列表柱面列表柱面。令。令R为单位向量，为单位向量，为节点向量为节点向量U上的上的p次次NURBS曲曲线线，Vi为为此此曲曲线线的的控控制制顶顶点点，它它具具有有权权因因子子wi。则则列列表表柱柱面面r(u,w)的的NURBS表示可通过表示可通过r(u)沿沿R方向移动距离方向移动距离d来获得。其表达式为来获得。其表达式为r(u,w)=(4.7.5-1)其中其中w向节点向量为向节点向量为0,0,1,1,Vi,0=Vi,
107、 Vi,1=Vi+d Rwi,0 = wi,1 = wi图是列表柱面的例子。图是列表柱面的例子。2.自然二次曲面自然二次曲面自然二次曲面是平面、柱面、自然二次曲面是平面、柱面、锥面和球面。平面可描述为锥面和球面。平面可描述为双一次双一次NURBS曲面，其控制曲面，其控制顶点是平面片的角点。圆弧顶点是平面片的角点。圆弧柱面或圆柱面可通过延拓圆弧柱面或圆柱面可通过延拓圆弧或或整整圆圆获获得得,例例如如可可采采用用四四段段圆圆弧弧延延拓拓得得到到一一圆圆柱柱面面。锥锥面面是是柱柱面面的的特特例例,可将可将u向的一条边界退化为一点来得到。球面可作为旋转曲面来产生。向的一条边界退化为一点来得到。球面可作
108、为旋转曲面来产生。3直纹曲面直纹曲面若若r1(u)=,r2(u)=分别是节点向量分别是节点向量U1和和U2的的NURBS曲曲线线，若若在在r1(u)和和r2(u)之之间间作作线线性性插插值值，便便可可产产生生直直纹纹面面。由由于于插插值值在在等等参参数数点点之之间间进进行行,也也即即对对固固定定的的u0，0u01,r(u0,w)为为连连接接点点r1(u0)和和r2(u0)的直线段的直线段,因此直纹面的因此直纹面的NURBS表达式为表达式为 r(u,w)=（）（）其中其中w=0,0,1,1。r1(u)和和r2(u)须须用用相相同同的的p次次基基函函数数和和公公共共节节点点向向量量U,并并分分别别
109、给给出出m个个控控制制顶顶点点。如如果果初初始始的的r1(u)和和r2(u)的的次次数数不不相相等等，则则应应以以次次数数高高的的为为准准，利利用升阶算法将次数低的曲线升阶。用升阶算法将次数低的曲线升阶。有关有理有关有理B样条曲线的升阶、节点样条曲线的升阶、节点的插入算法，完全可采用非有理的插入算法，完全可采用非有理B样条曲线的升阶、节点插入算法，样条曲线的升阶、节点插入算法，只是应在齐次坐标下进行。只是应在齐次坐标下进行。图是圆弧和有理三次曲线图是圆弧和有理三次曲线产生的直纹曲产生的直纹曲面。面。4旋转曲面旋转曲面旋旋转转曲曲面面是是工工程程设设计计和和图图形形学学中中最最常常用用的的曲曲面
110、面,定定义义旋旋转转曲曲面面的的一一个个十十分分方方便的方法便的方法,是在是在xz平面定义轮廓线平面定义轮廓线,然后绕然后绕z轴旋转轴旋转360即可即可,如图所示。如图所示。假设轮廓线具有形式假设轮廓线具有形式: r(w)=(4.7.5-4)则则将将上上式式同同圆圆的的定定义义的的任任一一种种方方法法结结合合便便可可得得到到旋旋转转曲曲面面。如如用用四四段段圆圆弧定义圆则完整的旋转曲面由下式给出弧定义圆则完整的旋转曲面由下式给出r(u,w)=(4.7.5-5)图和图图和图分别是由方程分别是由方程(4.7.5-5)和图和图的曲线所产生的旋的曲线所产生的旋转曲面及相应的控转曲面及相应的控制网格。制
111、网格。显而易见显而易见,球面、环球面、环面等都是绕一轴旋面等都是绕一轴旋转半圆或整圆得到的。转半圆或整圆得到的。5蒙皮法设计蒙皮法设计NURBS曲面曲面蒙蒙皮皮法法设设计计NURBS曲曲面面指指通通过过定定义义一一系系列列由由NURBS表表示示的的截截面面线线来来产产生生NURBS曲面。所构造的曲面必须通过这一系列截线。曲面。所构造的曲面必须通过这一系列截线。截线通常为平面曲线，它们在空间的位置由一条称为脊线的曲线确定。截线通常为平面曲线，它们在空间的位置由一条称为脊线的曲线确定。蒙皮法设计曲面的主要步骤是：蒙皮法设计曲面的主要步骤是：(1)当当一一条条截截面面线线由由不不同同次次数数的的曲曲
112、线线段段组组成成时时，应应以以其其中中的的最最高高次次数数为为准准，将将次次数数低低的的线线段段升升阶阶，将将截截面面线线构构造造为为一一条条统统次次数数的的NURBS曲曲线线，然然后后以以所所有有截截线线中中最最高高次次截截线线为为标标准准，通通过过升升阶阶算算法法使使所所有有截截线线具具有有相相同同次数。次数。(2)将将各各截截线线的的节节点点向向量量(U)作作并并运运算算，得得到到各各条条截截线线应应具具有有的的、统统一一的的节节点点向向量量。为为使使截截线线在在保保留留原原形形状状的的前前提提下下具具有有统统一一的的节节点点向向量量，可可采采用节点插入算法插入节点。然后反算得到各截线在用节点插入算法插入节点。然后反算得到各截线在u向的新的控制顶点。向的新的控制顶点。(3)计算计算w向节点向量。向节点向量。(4)以以步步骤骤2产产生生的的各各截截线线的的控控制制顶顶点点为为型型值值点点，在在w向向反反求求顶顶点点，所所得得到的控制顶点即为蒙皮法设计的到的控制顶点即为蒙皮法设计的NURBS曲面的控制顶点。曲面的控制顶点。由由于于截截面面法法设设计计NURBS曲曲面面是是以以二二维维的的平平面面NURBS曲曲线线来来定定义义三三维维的的NURBS曲面，方便、实用，因此是最常用的曲面，方便、实用，因此是最常用的NURBS曲面设计方法之曲面设计方法之。
