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1、应力张量的概念及其应用应力张量的概念及其应用1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量2 2。应变张量及其不变量。应变张量及其不变量3 3。广义胡克定理。广义胡克定理1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量自然界的物质的性质和规律是一种客观存在，自然界的物质的性质和规律是一种客观存在，不受描述它的方法的影响。不受描述它的方法的影响。一、张量的概念一、张量的概念数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标系的选择，会使问题简单化或复杂化。标系的选择，会使问题简单化或复杂化。希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆脱
2、具体坐标系的影响。摆脱具体坐标系的影响。1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量已经学过的数学量：已经学过的数学量：标量：温度、密度、能量等标量：温度、密度、能量等矢量：速度、加速度、位移、力等矢量：速度、加速度、位移、力等在材料力学中学到的应力和应变的表示：在材料力学中学到的应力和应变的表示：在三维空间，每维空间有三个分量，在三维空间，每维空间有三个分量，一个要用九个分量表示。一个要用九个分量表示。1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量引入张量：引入张量：0 0阶张量：阶张量：3 30 01 11 1阶张量：阶张量：3 31 13 32 2阶张量：阶张量：3 32 29 93
3、3阶张量：阶张量：3 33 32727应力和应变是二阶张量应力和应变是二阶张量二、一点的应力状态表示二、一点的应力状态表示1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量用二阶张量在用二阶张量在x, y, z 坐标系表示坐标系表示或写成：或写成：1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量仍选用直角坐标系，坐标轴写成仍选用直角坐标系，坐标轴写成 x1, x2, x3采用张量下标记号法：采用张量下标记号法：应力张量为对称张量，有应力张量为对称张量，有6 6个独立分量：个独立分量：以以lx , ly , lz 分别代表法线分别代表法线 n 的方向余弦。的方向余弦。以以dA , dAx , dAy
4、, dAz 分别代表分别代表 abc, obc, oac, oab三角形的面积。三角形的面积。1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量三、应力张量的不变量三、应力张量的不变量设在设在 x1, x2, x3坐标系中，有一用法线单位矢量坐标系中，有一用法线单位矢量 n表示的斜平面，表示的斜平面，n 的方向余弦用的方向余弦用l1, l2, l3 表示表示用张量记号的求和约定：用张量记号的求和约定：斜面上的应力表示为：斜面上的应力表示为：1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量若若n是主应力方向，则斜面上只有正应力，其值是主应力方向，则斜面上只有正应力，其值等于主应力，等于主应力，Sn与与
5、n重合。重合。以以 l l 表示主应力的值，它在坐标轴上的投影为：表示主应力的值，它在坐标轴上的投影为：将将(3)(3)式代入式代入(1)(1)式：式：用张量记号表示用张量记号表示(4)(4)式：式：1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量引入记号引入记号 : :( (4)4)式中方向余弦满足：式中方向余弦满足：( (4)4)式与式与(7)(7)使，使，4 4个方程解个方程解4 4个未知数：个未知数：l1, l2, l3, l ll1, l2, l3, 不全为不全为零零的条件是的条件是(4)式的式的系数行列式为零：系数行列式为零：1 1。应力张量及其不变量。应力张量及其不变量展开展开(8
6、)(8)式得到式得到l l的三次代数方程式：的三次代数方程式：其中：其中：原设原设l l为一个主应力，可以证明方程为一个主应力，可以证明方程(9)(9)有有3 3个个实根，则是三个主应力，用实根，则是三个主应力，用s s1 1, s, s2 2, s, s3 3 表表示。示。若用主应力表示若用主应力表示J1, J2, J3 :可以证明三个主方向是相互垂直的。可以证明三个主方向是相互垂直的。结论：结论：1. 1. 三个主应力和代表主方向的三个空间角度三个主应力和代表主方向的三个空间角度完全代表一点的应力状态。完全代表一点的应力状态。2. 2. 一点的主应力值是和坐标选择无关的。一点的主应力值是和
7、坐标选择无关的。3. 3. 坐标变换时，应力分量坐标变换时，应力分量 ij 变化，但主应变化，但主应力不变。力不变。4. 4. 和主应力一样，和主应力一样，J1, J2, J3 不随坐标系而不随坐标系而变化，称为应力张量的不变量。变化，称为应力张量的不变量。2 2。应变张量及其不变量。应变张量及其不变量应变的定义：应变的定义：正应变：正应变：切应变：切应变：2 2。应变张量及其不变量。应变张量及其不变量在直角坐标系在直角坐标系 x1, x2, x3, 应变与位移的关系应变与位移的关系切应变：切应变：均为小变形下均为小变形下正应变：正应变：应变张量：（与应力张量一样，为二阶张量）应变张量：（与应
8、力张量一样，为二阶张量）应变张量为应变张量为二阶对称张量二阶对称张量主应变：可以表示为：主应变：可以表示为：e e1 1, e, e2 2, e, e3 3 各向同性材料主应力方向和主应变方向一致各向同性材料主应力方向和主应变方向一致应变张量的不变量：应变张量的不变量：若用主应变表示若用主应变表示I1, I2, I3 :结论：结论：同学自己可以总结同学自己可以总结 广义胡克定律，广义胡克定律， 应变能密度应变能密度 广义胡克定律成立的条件广义胡克定律成立的条件:1. 1. 弹性体，应力低于弹性极限。弹性体，应力低于弹性极限。2. 2. 应变分量是应力分量的线性函数。应变分量是应力分量的线性函数
9、。对于均质各向异性弹性体，最一般的情况，对于均质各向异性弹性体，最一般的情况，弹性系数有弹性系数有3636个，其中个，其中2121个是独立的。个是独立的。 对于均质正交异性弹性体，最一般的情况，对于均质正交异性弹性体，最一般的情况，弹性系数有弹性系数有1212个，其中个，其中9 9个是独立的。个是独立的。 对于均质各向同性弹性体，最一般的情况，对于均质各向同性弹性体，最一般的情况，弹性系数有弹性系数有1212个，其中个，其中2 2个是独立的。个是独立的。 各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律，应变能密广义胡克定律，应变能密度度1 1、横向变形与泊松比、横向变形与
10、泊松比-泊松比泊松比泊松比泊松比yx 各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法 各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度yyzzxx 各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度3
11、3、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系 各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度1、微元应变能、微元应变能(Strain Energy)d dy yd dx xd dz z 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度d dWW= = 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度2 2、应变能密度、应变能密
12、度(Strain-Energy Density) 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度3 3、体积改变能密度与形状改变能密度、体积改变能密度与形状改变能密度+令令令令 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度: Strain-Energy Density : Strain-Energy Density Corresponding to the DistortionCorresponding to the Distortion: Strain-Energy Density : Strain-E
13、nergy Density Corresponding to the Change of Corresponding to the Change of VolumeVolume 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 重要应用实例重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态承受内压薄壁容器任意点的应力状态plpDlm t ) ) D ( (m m mp D 2 t (2 l ) t tp 重要应用实例重要应用实例 m mp d 2) ) D ( (m
14、重要应用实例重要应用实例ppDl t ( 2 l ) t t 重要应用实例重要应用实例 重要应用实例重要应用实例lm t 结论与讨论结论与讨论1 1、关于应力和应力状态的关于应力和应力状态的几点重要结论几点重要结论 m 应力的点的概念应力的点的概念; ;m 应力的面的概念应力的面的概念; ;m 应力状态的概念应力状态的概念. .变形体力学变形体力学基基 础础 结论与讨论结论与讨论 怎样证明怎样证明怎样证明怎样证明A AA A截截截截面上各点的应力状态面上各点的应力状态面上各点的应力状态面上各点的应力状态不会完全相同。不会完全相同。不会完全相同。不会完全相同。2 2、平衡方法是分析一点处应力状态
15、最重、平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法要、最基本的方法A A A AA A A A 结论与讨论结论与讨论 论证论证论证论证A AA A截面上截面上截面上截面上必然存在切应力，必然存在切应力，必然存在切应力，必然存在切应力，而且是非均匀分布而且是非均匀分布而且是非均匀分布而且是非均匀分布的；的；的；的； 关于关于关于关于A A点的应力状态点的应力状态点的应力状态点的应力状态有多种答案、请用有多种答案、请用有多种答案、请用有多种答案、请用 平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的A AA A 结论与讨论结论与讨
16、论3 3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应力状态问题手段，求解较为复杂的应力状态问题A A A A2 2 2 2s s s s s s s sB B B B2 2 2 2s s s s s s s s 怎样确定怎样确定怎样确定怎样确定C C点处的主应力点处的主应力点处的主应力点处的主应力 结论与讨论结论与讨论4 4、一点处的应力状态有不同的表示方法，、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要而用主应力表示最为重要 请分析图示请分析图示 4 种应力状态中，哪几种种应力状态中，哪几种 是等价的是等价的t t0 0t t0
17、0t t0 0t t0 0t t0 0t t0 04545t t0 0t t0 04545 结论与讨论结论与讨论5 5、注意区分面内最大切应力与所有方向面、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力中的最大切应力一点处的最大切应力一点处的最大切应力2 23 31 1s s- - - -s smaxmax= = = =t t 结论与讨论结论与讨论6 6、正确应用广义胡克定律某一方向的正应变、正确应用广义胡克定律某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关不仅与这一方向的正应力有关 承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，
18、怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚间接测试其壁厚间接测试其壁厚间接测试其壁厚. . . .4545o o 结论与讨论结论与讨论本本本本 章章章章 作作作作 业业业业第一次第一次 5 51 1， 5 53 3 ， 5 54 4 5 52 2， 5 55 5 第二次第二次 5 57 7，5 59 9 ， 5 514 14 ， 5 51515谢谢 谢谢 大大 家家 ！谢谢谢谢大大家家 ！返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页
