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1、1第三章第三章 数列数列第 讲2考点搜索等差数列应用题等比数列应用题有关数列中可化为等差、等比数列的应用问题3高考猜想 由于与数列有关的实际问题非常广泛，热点如分期付款、增长率等问题比较符合学生实际，易为学生接受，今后高考仍将作重点考查，大题小题都有可能.4数列应用题常见模型 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=_.2. 单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=_. a(1+r)xa(1+xr)5 3. 产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=_. N(1+p)x61. 一名体育
2、爱好者为了观看2012年伦敦奥运会，从2005年起，每年的5月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2012年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是( ) 78 故选D.92. 在圆x2+y2=5x内，过点( )有n (nN*)条弦，它们的长构成等差数列.若a1为过该点最短弦的长，an为过该点最长弦的长，公差d( )，那么n的值是( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 510 x2+y2=5x 过点( )有n(nN*)条弦，它们的长构成等差数列，a1为过该点最短弦的长，an为过该点最长弦的长，则
3、an=5,a1=4，所以得n=5.故选D.113.某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年年末要砍伐固定的木材量x m3.为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是( ) 12 一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x； 二次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x. 由题意知 解得故选C.13 1. 某城区2010年底居民住房总面积为a m2,其中危旧住房占 ,新型住房占 .为了加快住房建设,计划用10年时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同),且从2011年起,居民住房只建新型住房,使新型住房面积每年比上一年增加20%.以201
4、1年为第一年,设第n年底该城区的居民住房总面积为an,写出a1,a2,a3的表达式,并归纳出数列an的通项公式(不要求证明).题型1:数列基本概念的应用14 据题意，非新型住房总面积为 m2,每年拆除的危旧住房面积为 则 由此归纳，得15 【点评】：在实际生活中，涉及到天数、月份或年份等为变量的问题，一般是与数列模型有关的应用题.如本题是一个增长变化问题，其增长有按百分率增长的，又有按线性倍数关系减少的.通过观察a1，a2，a3，然后归纳出数列an的通项公式.161718192. 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡场的规模进行调查，提供两个不同的信息图：题型2：等差数列的应用20甲调查表明：从第
5、1年平均每个养鸡场出产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只肉鸡. 乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个. 请你根据所提供的信息解答下列问题： (1)第二年的养鸡场的个数及全县出产肉鸡的只数各是多少？ 21l 设该县第n年平均每个养鸡场出产肉鸡an万只，养鸡场为bn个. l由图知an，bn均为等差数列，nN*且1n6. la1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8; lb1=30，b6=10，所以bn=-4n+34. l所以a2=0.22+0.8=1.2，b2=-42+34=26.l 所以a2b2=1.226=31.2(万只)，l所以第二年有养鸡场26个,出产肉
6、鸡31.2万只.22l(2)到第6年这个县出产的肉鸡数比第一年出产的肉鸡数增加了还是减少了？l a1b1=130=30(万只)， la6b6=210=20(万只). l因为a6b6a1b1， l所以第6年该县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.23l(3)这个县哪一年出产肉鸡的只数最多？l anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) l (1n6，nN*). l所以，当n=2时，anbn最大，l即第2年出产的肉鸡只数最多.24【点评】：从函数的角度来看，等差数列的图象是呈直线型，反之也成立.公差不等于零的等差数列是关于n的一次函数，两个等差数列通项之积是关于n的二次函数，对二次函数求最
7、值，注意变量n是正整数.25从3月1日开始，联合国救援组织向智利地震中的难民运送食品，第一天运1000吨，以后每天增加100吨，日运送食品达到最大量后，逐日递减100吨，使全月运送总量为59300吨，问在哪一天达到运送食品的最大量，最大量是多少？26l 设3月k日运送食品达到最大值(1k5000，解得n7(nN*)，l所以该市在2017年应投入1458辆电力型公交车，到2018年底电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 .31l点评：本题是数列与实际问题的综合在解数列应用题时，一般要经历“设列解答”四个环节在建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型32某人大学毕业参加工作后，计划参
8、加养老保险.若每年年末存入等差额养老金p元，即第一年末存入p元，第二年末存入2p元，第n年末存入np元，年利率为k，则第n+1年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？ 这人各年存款数本利合计分别为 p(1+k)n-1,2p(1+k)n-2,(n-1)p(1+k),np，各年存款数an与年数n有关，即an=f(n)，由此便建立一个数列模型.33 (1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+(n-1)p (1+k)2+np(1+k).-，得l所以 (元).l上述结果就是此人第n+1年初一次性获得的养老金总额.341. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入
9、本金，这种计算利息的方法叫复利.现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元.两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息.参考题 题型：分期付款问题35l若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确到千元，参考数据：1.1102.594，1.31013.786).l 甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前10项的和，l即1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9=l 42.62(万元).36l
10、到期时银行贷款的本息为l10(1+10%)10=102.594=25.94(万元)，l乙方案逐年获利组成一个等差数列,10年共获利l1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5)l (万元)，37l而贷款本息为l1.11+(1+10%)+(1+10%)9l= 17.53(万元)，l所以乙方案扣除贷款本息后，净获利l32.50-17.5315.0(万元).l比较可知，甲方案比乙方案获利多.382. 近年来，沙尘暴肆虐我国西北地区，造成了严重的自然灾害，在今后若干年内，防沙、治沙已成为沙漠地区一项重要而艰巨的工作.某县位于沙漠边缘地带，人与自然经过长期顽强的斗争，到2009年底，全县绿化率
11、已达30%，但每年的治沙工作都出现这样的情形：上一年的沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年的绿洲面积的4%又被侵蚀变为沙漠.问至少要到哪一年底，该县的绿洲面积才能超过60%？(0.840.4096，0.850.32768)题型:递推数列的应用39 设该县的土地面积为1，以2009年为第一年，第n年底的绿洲面积为an， 则an=an-1(1-4%)+(1-an-1)16%， 即 所以 所以数列 是公比为 的等比数列. 又 所以 即40 由an60%= 得 因为 又函数 为减函数， 所以n-15，即n6， 故至少要到2014年底，该县的绿洲面积才能超过60%.41l 1. 数列应用题要以教材中的复利计算和分期付款模型为基本研究类型，注意是an还是Sn问题，并注意对实际问题有实际意义，进行合理性验证. l 2. 建立数列模型的一般方法步骤是： l(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求： 42l明确问题属于哪类数列应用问题；l弄清题目中的主要已知事项；l明确所求的结论是什么.l(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数、变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. 43l(3)将实际问题抽象为数列问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式.
