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1、1第三章第三章 数列数列第 讲2考点搜索等差数列应用题等比数列应用题有关数列中可化为等差、等比数列的应用问题3高考猜想 由于与数列有关的实际问题非常广泛,热点如分期付款、增长率等问题比较符合学生实际,易为学生接受,今后高考仍将作重点考查,大题小题都有可能.4数列应用题常见模型 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=_.2. 单利公式 利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=_. a(1+r)xa(1+xr)5 3. 产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=_. N(1+p)x61. 一名体育
2、爱好者为了观看2012年伦敦奥运会,从2005年起,每年的5月1日到银行存入a元一年期定期储蓄,假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期,到2012年5月1日将所有存款和利息全部取出,则可取出的钱的总数是( ) 78 故选D.92. 在圆x2+y2=5x内,过点( )有n (nN*)条弦,它们的长构成等差数列.若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d( ),那么n的值是( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 510 x2+y2=5x 过点( )有n(nN*)条弦,它们的长构成等差数列,a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,则
3、an=5,a1=4,所以得n=5.故选D.113.某林厂年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增长率生长,而每年年末要砍伐固定的木材量x m3.为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是( ) 12 一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x; 二次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x. 由题意知 解得故选C.13 1. 某城区2010年底居民住房总面积为a m2,其中危旧住房占 ,新型住房占 .为了加快住房建设,计划用10年时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同),且从2011年起,居民住房只建新型住房,使新型住房面积每年比上一年增加20%.以201
4、1年为第一年,设第n年底该城区的居民住房总面积为an,写出a1,a2,a3的表达式,并归纳出数列an的通项公式(不要求证明).题型1:数列基本概念的应用14 据题意,非新型住房总面积为 m2,每年拆除的危旧住房面积为 则 由此归纳,得15 【点评】:在实际生活中,涉及到天数、月份或年份等为变量的问题,一般是与数列模型有关的应用题.如本题是一个增长变化问题,其增长有按百分率增长的,又有按线性倍数关系减少的.通过观察a1,a2,a3,然后归纳出数列an的通项公式.161718192. 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡场的规模进行调查,提供两个不同的信息图:题型2:等差数列的应用20甲调查表明:从第
5、1年平均每个养鸡场出产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只肉鸡. 乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个. 请你根据所提供的信息解答下列问题: (1)第二年的养鸡场的个数及全县出产肉鸡的只数各是多少? 21l 设该县第n年平均每个养鸡场出产肉鸡an万只,养鸡场为bn个. l由图知an,bn均为等差数列,nN*且1n6. la1=1,a6=2,所以an=0.2n+0.8; lb1=30,b6=10,所以bn=-4n+34. l所以a2=0.22+0.8=1.2,b2=-42+34=26.l 所以a2b2=1.226=31.2(万只),l所以第二年有养鸡场26个,出产肉
6、鸡31.2万只.22l(2)到第6年这个县出产的肉鸡数比第一年出产的肉鸡数增加了还是减少了?l a1b1=130=30(万只), la6b6=210=20(万只). l因为a6b6a1b1, l所以第6年该县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.23l(3)这个县哪一年出产肉鸡的只数最多?l anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) l (1n6,nN*). l所以,当n=2时,anbn最大,l即第2年出产的肉鸡只数最多.24【点评】:从函数的角度来看,等差数列的图象是呈直线型,反之也成立.公差不等于零的等差数列是关于n的一次函数,两个等差数列通项之积是关于n的二次函数,对二次函数求最
7、值,注意变量n是正整数.25从3月1日开始,联合国救援组织向智利地震中的难民运送食品,第一天运1000吨,以后每天增加100吨,日运送食品达到最大量后,逐日递减100吨,使全月运送总量为59300吨,问在哪一天达到运送食品的最大量,最大量是多少?26l 设3月k日运送食品达到最大值(1k5000,解得n7(nN*),l所以该市在2017年应投入1458辆电力型公交车,到2018年底电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 .31l点评:本题是数列与实际问题的综合在解数列应用题时,一般要经历“设列解答”四个环节在建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列模型32某人大学毕业参加工作后,计划参
8、加养老保险.若每年年末存入等差额养老金p元,即第一年末存入p元,第二年末存入2p元,第n年末存入np元,年利率为k,则第n+1年初他可一次性获得养老金本利合计多少元? 这人各年存款数本利合计分别为 p(1+k)n-1,2p(1+k)n-2,(n-1)p(1+k),np,各年存款数an与年数n有关,即an=f(n),由此便建立一个数列模型.33 (1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+(n-1)p (1+k)2+np(1+k).-,得l所以 (元).l上述结果就是此人第n+1年初一次性获得的养老金总额.341. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次,结算后即将利息并入
9、本金,这种计算利息的方法叫复利.现在有某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年多获利5千元.两种方案的使用期限都是10年,到期一次性归还本息.参考题 题型:分期付款问题35l若银行贷款利息均按年息10%的复利计算,试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确到千元,参考数据:1.1102.594,1.31013.786).l 甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前10项的和,l即1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9=l 42.62(万元).36l
10、到期时银行贷款的本息为l10(1+10%)10=102.594=25.94(万元),l乙方案逐年获利组成一个等差数列,10年共获利l1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5)l (万元),37l而贷款本息为l1.11+(1+10%)+(1+10%)9l= 17.53(万元),l所以乙方案扣除贷款本息后,净获利l32.50-17.5315.0(万元).l比较可知,甲方案比乙方案获利多.382. 近年来,沙尘暴肆虐我国西北地区,造成了严重的自然灾害,在今后若干年内,防沙、治沙已成为沙漠地区一项重要而艰巨的工作.某县位于沙漠边缘地带,人与自然经过长期顽强的斗争,到2009年底,全县绿化率
11、已达30%,但每年的治沙工作都出现这样的情形:上一年的沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲,而同时,上一年的绿洲面积的4%又被侵蚀变为沙漠.问至少要到哪一年底,该县的绿洲面积才能超过60%?(0.840.4096,0.850.32768)题型:递推数列的应用39 设该县的土地面积为1,以2009年为第一年,第n年底的绿洲面积为an, 则an=an-1(1-4%)+(1-an-1)16%, 即 所以 所以数列 是公比为 的等比数列. 又 所以 即40 由an60%= 得 因为 又函数 为减函数, 所以n-15,即n6, 故至少要到2014年底,该县的绿洲面积才能超过60%.41l 1. 数列应用题要以教材中的复利计算和分期付款模型为基本研究类型,注意是an还是Sn问题,并注意对实际问题有实际意义,进行合理性验证. l 2. 建立数列模型的一般方法步骤是: l(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: 42l明确问题属于哪类数列应用问题;l弄清题目中的主要已知事项;l明确所求的结论是什么.l(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数、变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. 43l(3)将实际问题抽象为数列问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式.