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1、函数的对称性函数的对称性函数的对称性函数的对称性有些函数有些函数 其图像有着优美的对称性，其图像有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式1优选课堂1-3-1-2165432-xx78（偶函数）（偶函数）Y=F(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称知识回顾知识回顾l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，F(-x)=F(x)XY2优选课堂1-3-1-216543278 f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称f(
2、3)f(4)l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，xy3优选课堂1 f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 对于任意的对于任意的x你还能得到怎样的等式？你还能得到怎样的等式？l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称1-3-1-26543270x4-xYx4优选课堂-2-x1-3-1-216543278x=-1 f(x)= f(-2-x)x思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称Yx5优选课堂-1+x-1-x1-3-1
3、-216543278x=-1 f(-1+x)= f(-1-x)思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 f(x)= f(-2-x)Yx6优选课堂1猜测：若猜测：若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)7优选课堂在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P点点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P则有则有P的坐标应满足的坐标应满足y=f(x)也在也在f(x)图像上图像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0)即：即： f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=
4、f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称（代数证明）（代数证明） 求证求证已知已知 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x)8优选课堂在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P也在也在f(x)图像上图像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称（代数证明）（代数证明） 已知已知求证求证 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 则则y=f(x)图像关于直线图像关
5、于直线x=a对称对称? f(x)=f(2a-x)P在在f(x)的图像上的图像上9优选课堂ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)=f(-x)特例：特例：a=0轴对称性轴对称性思考？思考？ 若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2x= 直线直线10优选课堂-xxxyoF(-x)+F(x)=0 y=F(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称中心对称性中心对称性类比探究类比探究 al从从”形形”的角度看，的
6、角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，11优选课堂F(x)+F(2a-x)=0xyo a y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，中心对称性中心对称性类比探究类比探究x2a-x12优选课堂F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyo al从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a+x a-x y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称b13优选课堂aF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中
7、心对称性中心对称性 y=F(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称类比探究类比探究xyo14优选课堂思考？思考？(1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=0, (2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2( ,0 )点点则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2( ,C )点点15优选课堂 知识内容：知识内容：函数图像的对称性函数图像的对称性对称关系式对称关系式 y=F(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x) y=F(x)图像关于点图像关于点(a,
8、b)中心对称中心对称F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b16优选课堂 数学思想方法数学思想方法:1.数形结合数形结合2.由特殊到一般由特殊到一般3.类比思想类比思想17优选课堂知识迁移：知识迁移：已知对任意已知对任意x，有，有f(x+2)=f(-x),当当x 2,3，y=x求当求当x -1,0时，时，f(x)的解析式？的解析式？18优选课堂谢谢谢谢!19优选课堂奇函数奇函数F(-x)=-F(x)即：即：F(-x)+F(x)=0函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称-xx20优选课堂F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函数图像关于函数图
9、像关于(a,0)中心对称中心对称-xx21优选课堂a函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=022优选课堂函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称23优选课堂-x x 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称F(-x)=F(x) 函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称F(a-x)=F(a+x) x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0轴对
10、称轴对称中心对称性中心对称性a24优选课堂函数函数 图像关于图像关于 轴对称轴对称证明：证明： （必要性）（必要性）25优选课堂26优选课堂1-3-1-26543227优选课堂1-3-1-22-xx28优选课堂29优选课堂1-3-1-2165432-xx78思考？若函数思考？若函数 图像关于图像关于 轴对称，轴对称，有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？30优选课堂函数函数y=f(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称证明：证明： （必要性）（必要性）任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0)若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P也在也在f(x)图像上图像上分析：分
11、析：P(x0,y0)PP(2a-x0,y0)代入代入y=f(x) Y0=f(2a-x0)y=f(x)图像上每图像上每一一点及其关于点及其关于x=a对称点对称点都在都在y=f(x)图像上图像上则则y=f(x)图像上图象关于图像上图象关于x=a对称对称则由则由P的任意性可知的任意性可知？ f(x)=f(2a-x)31优选课堂 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称F(-x)=F(x) 函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称F(a-x)=F(a+x) x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称32
12、优选课堂? 任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0)设设P是是P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点由由f(x)图像关于图像关于x=a对称对称P也在也在y=f(x)图像上图像上P(x0,y0)Pf(2a-x0)=f(x0)即：即： f(x)=f(2a-x)x02a-x0P(2a-x0,y0)猜测：若猜测：若f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？ f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)证明证明: y0=f(x0)33优选课堂P(x0,f(x0)若若P也在也在f(x)图像上，图像上，(2a-x0, y0)PP(2a-x0, y0)代入代入y=f(x) f(2a-x0) =f(x0) y0？= f(2a-x0)=y0P在在f(x)的图像上的图像上函数函数y=f(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0, y0)设设P是关于是关于P直线直线x=a的对称点的对称点(需验证需验证)猜测：若猜测：若f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？ f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)证明证明: ( )34优选课堂
