《第七章水文统计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章水文统计（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节第一节 概述概述第二节第二节 概率的基本概念概率的基本概念第三节第三节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第四节第四节 水文常用频率曲线水文常用频率曲线第五节第五节 统计参数估算统计参数估算第六节第六节 水文频率计算适线法水文频率计算适线法第七节第七节 相关分析相关分析第七章第七章 水文统计水文统计第一节第一节 概述概述 水文现象是自然现象的一种，在其发生和水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶然性的一面。然性的一面。 必然必然现象象是在一定条件下，必然出现或不是在一定条件下，必然出现或不出现的现象。出现
2、的现象。偶然偶然现象象是在一定条件下，可能是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也称出现也可能不出现的现象，也称随机现象随机现象。 随机现象所遵循的规律称为随机现象所遵循的规律称为统计规律统计规律，研究统计规律的学科称为研究统计规律的学科称为概率论概率论，而由随机，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为量特征和规律的学科称为数理统计学数理统计学。 一些水文现象具有一定的随机性，用数一些水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为理统计方法来分析研究这些现象称为水文统水文统计学计学。第二节第二节 概率的基
3、本概念概率的基本概念 一一、事件事件 事件是指随机试验的结果。事件是指随机试验的结果。 必然事件：必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。发生，称此事件必然事件。 不可能事件：不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。为不可能事件。 随机事件：随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。以不发生，这样的事件就称为随机事件。 随机事件随机事件A A在试验结果中可能出现也在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量可
4、能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。标准就是概率。古典概率表达式古典概率表达式二、概率二、概率 水文事件不属古典概型事件，只能通过试验水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。设事件来估算概率。设事件A A在次试验中出现了次，在次试验中出现了次，则称则称为事件为事件A A的频率。的频率。三、频率三、频率掷币试验出现正面的频率表掷币试验出现正面的频率表 在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。率是十分接近的。 概率加法定理概率加法定理 （）（）（）（）（）（）（）（） 式中，式中，（）事件与之和的概率；（）事件与之和的
5、概率； （）事件的概率；（）事件的概率； （）事件的概率。（）事件的概率。 （）事件和共同发生的概率。（）事件和共同发生的概率。四概率加法定理和乘法定理四概率加法定理和乘法定理（）（）（）（）（） （）（）（）（） 对于对于n个两两独立事件：个两两独立事件： （12 n ）（1）（2）（n ）对于相互独立事件：对于相互独立事件： （）（）（）（）（）（）2 2、概率乘法定理、概率乘法定理某堤防设计标准为抵御某堤防设计标准为抵御100100年一遇洪水。年一遇洪水。问：问：（1）堤防所能抵御洪水的重现期）堤防所能抵御洪水的重现期（2）堤防防洪设计标准值）堤防防洪设计标准值T T = 100 = 1
6、00年年P P（A A）= 0.01= 0.01（5）今年不发生超标准洪水的概率）今年不发生超标准洪水的概率（3）每年发生超标准洪水的概率）每年发生超标准洪水的概率 （4）去年已经发生超标准洪水，今年）去年已经发生超标准洪水，今年发生超标准洪水的概率发生超标准洪水的概率P P（A A）= 0.01= 0.01P P（A A）= 0.01= 0.01P P（B B）= 1- = 1- P P（A A）= 0.99= 0.99 （6）今后）今后10年内不发生超标准洪水的概率年内不发生超标准洪水的概率（7）今后）今后10年内发生超标准洪水的概率年内发生超标准洪水的概率（8）今后）今后10年内堤防受破
7、坏的概率年内堤防受破坏的概率P P（C C）= = P P（ B B1 1 B B2 2 B B10 10 ） = = P P（B B1 1）P P（B B2 2） P P（B B1010） = 0.99 = 0.9910 10 = 0.904= 0.904P P（D D）= 1- = 1- P P（C C）= 0.096= 0.096P P（D D）= 0.096= 0.096 【例例】某城市位于河流甲与乙的汇合点。某城市位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛的概率为某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥，河流
8、乙泛滥的概率为的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被。求在该时期内这个地区被淹没的概率；当河流乙泛滥时河流甲泛滥的淹没的概率；当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率。概率。某某城市城市甲河甲河乙河乙河 （AB）（A）（B）（AB） （A）（B）（BA）（A） 0.10.20.30.1 0.27 解：记河流的甲泛滥为事件，河流乙泛滥解：记河流的甲泛滥为事件，河流乙泛滥为事件。这个地区被淹没的概率为：为事件。这个地区被淹没的概率为： （AB）（BA）（A）/ （B） 0.30.1 / 0.2 0.15 由于由于 （AB）
9、（B）（BA）（A），），故故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为 一、水文随机变量一、水文随机变量 随机变量随机变量是表示随机试验结果的数是表示随机试验结果的数量表示。水文随机变量一般指水文特征量表示。水文随机变量一般指水文特征值，如值，如水位、流量、雨量水位、流量、雨量等，属连续型等，属连续型随机变量。随机变量。第三节第三节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 随机变量的取值随机变量的取值x x与其概率与其概率P P 的对应关系，的对应关系，称为随机变量的概率分布。称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随水文
10、统计学研究随机变量的取值大于某一个值的概率机变量的取值大于某一个值的概率 F F（x x）P P（X Xx x） 称此为随机变量的称此为随机变量的概率分布函数概率分布函数或或概率概率分布曲线分布曲线。 0.2 0.4 0.6 0.8 1.011001000 900 800 700P（X x） x某雨量站的年雨量分布曲线某雨量站的年雨量分布曲线（1 1）年雨量超过）年雨量超过900mm900mm的概率的概率 P P（X X900900）= 0.2= 0.2（2 2）年雨量小于）年雨量小于800mm800mm的概率的概率P P（X X800800）= 0.52= 0.52P P（X X800800
11、）=1=10.52=0.480.52=0.48（3 3）P P（X Xx x）= 0.1= 0.1的设计值的设计值x xx x = 995mm = 995mm（4 4）P P（X X x x）= 0.1= 0.1的设计值的设计值x xP P（X Xx x）= 1- 0.1= 0.9= 1- 0.1= 0.9x x = 720mm = 720mm 函数函数f（x）-F （x）为概率密度函数，为概率密度函数，简称为密度函数或密度曲线。简称为密度函数或密度曲线。f（x）xdxf（x）dx概率密度函数概率密度函数 f （x）xxpF（xp）P（Xxp）密度函数密度函数xf（x）F（x）xF（xP）P（
12、XxP）xPF（xP）概率分布函数与密度函数关系概率分布函数与密度函数关系 概率分布曲线完整地刻划了随机变量的概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的分布参数。字称为随机变量的分布参数。 三三、随机变量的分布参数随机变量的分布参数均值均值离势系数（离差系数，变差系数）离势系数（离差系数，变差系数） 标准差（均方差）标准差（均方差）偏态系数（偏差系数）偏态系数（
13、偏差系数）122 1标准差对频率曲线的影响标准差对频率曲线的影响Cs 0Cs0Cs 0Cs 对密度曲线的影响对密度曲线的影响第四节第四节 水文常用的概率分布曲线水文常用的概率分布曲线 一、正态分布一、正态分布式中，式中， 平均数平均数 标准差标准差f（x）68.3%正态分布曲线正态分布曲线 皮皮尔逊尔逊型曲线为一端有限一端无限型曲线为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数的不对称单峰曲线，概率密度函数式中，式中，参数参数，a a0 0，且有，且有：二、皮尔逊二、皮尔逊型分布型分布f（x）x皮皮尔逊尔逊型曲线型曲线 皮皮尔逊尔逊型型分布的积分无解析解，实用分布的积分无解析解，实用中制表查
14、用。中制表查用。已知已知x x、C CV V、C CS S，由由f f( (x x) )推求推求F F（x x） 被积函数只含一个参数被积函数只含一个参数CS。只要给定只要给定CS就可以算出就可以算出P P和和p p的对应值，最终制定的对应值，最终制定出出P PCsCsp p 的对应数值表。的对应数值表。取标准化变量取标准化变量（离均系数）离均系数）P(%) Cs 【例例】已知某地年平均雨量已知某地年平均雨量EXEX1000mm1000mm、C CV V 0.50.5、C CS S1.01.0，求求p p1%1%的设计年雨量。的设计年雨量。 x x1% 1% （P P CvCv1 1）x x
15、（3.020.53.020.51 1）10001000 25102510（mmmm）由由C CS S1.01.0，p p1%1% 查得查得 P P3.023.02第五节第五节 统计参数估计统计参数估计 一、样本与总体一、样本与总体 随机变量所取数值的全体称为随机变量所取数值的全体称为总体总体，从总，从总体中任意抽取的一部分称为体中任意抽取的一部分称为样本样本，样本中所包，样本中所包括的项数称为括的项数称为样本容量样本容量。水文变量的总体是指。水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列，现有的水文观自古迄今以至未来的水文系列，现有的水文观测的系列可以当作总体的一个样本。测的系列可以当作总体的一
16、个样本。样本均值样本均值样本标准差样本标准差 样本离势系数样本离势系数样本偏态系数样本偏态系数二、矩法估计矩法估计水文上采用经修正后的矩法公式水文上采用经修正后的矩法公式:三、三、抽样误差抽样误差 用一个用一个样本的本的统计参数来参数来估计估计总体的体的统计参数是存在参数是存在误差的，称之差的，称之为抽样误差抽样误差。这种种误差是由于从差是由于从总体中随机抽取的体中随机抽取的样本与本与总体有差体有差异而引起的。异而引起的。 样本抽本抽样误差的均方差的均方值称称为均方误均方误，是衡，是衡量抽量抽样误差的大小的常用指差的大小的常用指标。 皮尔逊皮尔逊型分布参数矩法估计的均方误公式：型分布参数矩法估
17、计的均方误公式：样本参数的均方误（相对误差，样本参数的均方误（相对误差，% %） 由表中可见，当由表中可见，当n n100100时，时，C CS S的误差在的误差在4040126%126%之间。水文资料一般都很短（之间。水文资料一般都很短（n n100100），），按矩法公式算得的按矩法公式算得的C CS S值，抽样误差太大。值，抽样误差太大。EXCV CS 参数 n Cv 100 50 25 10 100 50 25 10 100 50 25 10 01 1 1 2 3 7 50 14 22 126 178 252 390 03 3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 1
18、62 05 5 7 10 12 8 11 16 25 41 58 82 130 07 7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126 10 10 14 20 23 10 14 20 32 42 60 85 134 x 1200 1000 800 0 20 40 60 80 100 W（%）某地年降雨量经验分布曲线某地年降雨量经验分布曲线W（Xxi）i / n第六节第六节 水文频率计算的适线法水文频率计算的适线法一一、经验频率曲线经验频率曲线 如果用如果用W（Xxi）i /n 的的经验分布曲经验分布曲线估计总体分布曲线，存在不合理现象线估计总体分布曲线，存在不合理现象。当当
19、m mn n时，最末项的频率为时，最末项的频率为100%100%，样本末项值，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。为总体中的最小值，不符合事实。水文上用水文上用期望值公式期望值公式估计频率估计频率 二、二、经验频率经验频率 频率比较抽象，为便于理解，常采用频率比较抽象，为便于理解，常采用重重现期现期。所谓重现期是指在许多试验中，某一。所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在工程事件重复出现的时间间隔的平均数。在工程水文中，重现期用字母水文中，重现期用字母 T T 表示，一般以年为表示，一般以年为单位。单位。 在江河水利工程水文计算中，重现期是在江河水利工程水文计算
20、中，重现期是频率的倒数。频率的倒数。 当研究暴雨洪水问题时当研究暴雨洪水问题时, , P P（Xx）是是暴雨暴雨洪水洪水事件发生的频率，其重现期事件发生的频率，其重现期 例如，当暴雨或洪水频率为例如，当暴雨或洪水频率为1%1%时，重现时，重现期期T T100100年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或洪水。洪水。 例如，对于例如，对于P P（X X x x） 8080枯水流枯水流量，重现期量，重现期T T5 5年，称此为五年一遇的枯水年，称此为五年一遇的枯水流量流量, ,或称为保证率为或称为保证率为8080的流量。的流量。 当研究枯水问题时当研究枯水问题时P P（X Xx
21、 x）是枯水频是枯水频率，而率，而P P（X X x x）称为保证率称为保证率, ,其重现期其重现期 所谓所谓百年一遇百年一遇的暴雨或洪水，的暴雨或洪水，是指是指大于或等于大于或等于这样的暴雨或洪水这样的暴雨或洪水在在长时期长时期内内平均平均100100年发生一次年发生一次，而，而不能不能认为每隔认为每隔100100年必然遇上一次。年必然遇上一次。 适线法的原理适线法的原理：根据经验频率点据，根据经验频率点据，找出配合最佳之频率曲线，相应的分布找出配合最佳之频率曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估计值。参数为总体分布参数的估计值。 三、目估适线法三、目估适线法 （1 1）点绘经验点据点绘经验
22、点据 纵坐标为变量值，横坐标为纵坐标为变量值，横坐标为经验频率，采用期望值公式估计。经验频率，采用期望值公式估计。 （2 2）初定一组参数初定一组参数 用矩法公式的估算用矩法公式的估算EXEX和和C CV V，并假定并假定C CS S与与C CV V的比值的比值K K估算估算C CS S 。 （3 3）根据根据初定的初定的EXEX、C CV V和和C CS S，计算频率曲线计算频率曲线，并，并绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，则则修改参数修改参数再次配线，主要调整再次配线，主要调整C CV V以及以及C CS S 。 （4 4）选择
23、选择一条与经验点据配合一条与经验点据配合最佳曲线最佳曲线作为采用作为采用曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。计算步骤：计算步骤：统计参数对频率曲线的影响统计参数对频率曲线的影响统计参数对频率曲线的影响统计参数对频率曲线的影响 由频率曲线图可见，由频率曲线图可见，C CV V值愈大，曲线愈陡；值愈大，曲线愈陡；当当C CS S增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。 配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。其特点是横坐标的成直线来划分概率坐标的。其特点是横坐标的两端
24、分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。用起来比较方便。 【例例】某站共有实测降水量资料某站共有实测降水量资料2424年，求年，求频率为频率为10%10%和和90%90%的年降水量。的年降水量。 1 1、将原始资按大小次序排列，列入表、将原始资按大小次序排列，列入表（4 4）栏。）栏。计算步骤为：计算步骤为： 2 2、计算经验频率、计算经验频率P Pm m =m/(n+1) =m/(n+1) 列入表列入表（5 5）栏）栏, ,并与并与x xm m 对应点绘于概率格
25、纸上。对应点绘于概率格纸上。某某站站年年降降水水量量频频率率计计算算表表 3 3、用矩法计算系列的多年平均降水量、用矩法计算系列的多年平均降水量和离差系数。和离差系数。 4、选定选定C CV V0.250.25，假定假定C CS S0.500.50。查表得查表得P P，求得求得 x xP P （P PC CV V1 1）。）。 根据表中（根据表中（1 1）、）、（3 3）两栏的对应数值）两栏的对应数值点绘曲线，点绘曲线，发现曲线发现曲线头部和尾部都偏于经头部和尾部都偏于经验频率点据之下。验频率点据之下。 5 5、改变参数，选定改变参数，选定C CV V0.300.30，C CS S0.750.
26、75，查表计算出各查表计算出各x xP P值。值。 绘制频率曲线，该绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，线与经验点据配合较好，取为最后采用的频率曲取为最后采用的频率曲线。线。P P10% 10% = 933mm = 933mm P P90% 90% = = 433mm433mm 配线法得到的结果仍具有配线法得到的结果仍具有抽样误差抽样误差，而，而这种误差目前还难以精确估算，因此对于工这种误差目前还难以精确估算，因此对于工程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理
27、成因及结合水文现象的物理成因及地区规律地区规律进行综进行综合分析。合分析。相关关系相关关系变量变量x与与y之间的关系介于完全之间的关系介于完全 相关和零相关之间相关和零相关之间 第七节第七节 相关分析相关分析完全相关完全相关变量变量x与与y之间为函数关系之间为函数关系零相关零相关 变量变量x与与y之间没有关系之间没有关系直线相关直线相关 将对应的将对应的 xi 与与 yi（ i i = 1,2,n = 1,2,n ）对应点绘在方格纸上，如果点据的平均趋对应点绘在方格纸上，如果点据的平均趋势线为直线，说明变量势线为直线，说明变量x与与y为为线性相关线性相关, 满足方程：满足方程： y a bx某
28、流域年降雨径流资料某流域年降雨径流资料年份年份年雨量年雨量x（mm）年年径流径流y （mm）19542014136219551211728195617281369195711576951958125772019591029534196013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383某流域年降雨径流相关图某流域年降雨径流相关图y（mm）x（mm）相关系数相关系数y y 倚倚 x x 回归方程回归方程X X 倚倚y y 回归方程回归方程某流域年降雨径流资料某流域年降雨径流资料年份年份xy19542014136219551
29、211728195617281369195711576951958125772019591029534196013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383y y 倚倚 x x 回归方程回归方程y 1.048x586.9X X 倚倚 y y 回归方程回归方程x 0.863y631.5某流域年降雨径流相关图某流域年降雨径流相关图y（mm）x（mm） 频率概率关系频率概率关系 样本、样本容量样本、样本容量 抽样误差、抽样均方误差及其影响因素抽样误差、抽样均方误差及其影响因素 水文矩法估计公式水文矩法估计公式 频率、保证率、重现期的概念与相互间的关系频率、保证率、重现期的概念与相互间的关系 本章应掌握的内容本章应掌握的内容由均值由均值、CvCv、CsCs推求推求F F（x x） CvCv、CsCs变化对变化对P-P-曲线形状的影响曲线形状的影响 适线法估计统计参数的的基本步骤适线法估计统计参数的的基本步骤 相关关系的概念相关关系的概念 相关分析方法的应用相关分析方法的应用 K K 年一遇洪水、年一遇洪水、N N 年一遇枯水的定义年一遇枯水的定义习题习题 7-17-1习题习题 7-27-2熟练掌握目估适线法：教材熟练掌握目估适线法：教材190190194194页的内容。页的内容。 本章作业本章作业
