《常微分方程2.4变量替换法ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程2.4变量替换法ppt课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 前面我们介绍了前面我们介绍了线性方程线性方程、变量可分离变量可分离方程方程和和全微分方程全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可的求解问题，同时还介绍了一些可通过适当变换化为这三类方程的方法。通过适当变换化为这三类方程的方法。2.2.4 4 变量替换法变量替换法事实上，还有许多方程可以通过事实上，还有许多方程可以通过变量变换变量变换方法化为方法化为已知类型已知类型来求解。来求解。1就将方程变换为线性方程就将方程变换为线性方程:下面介绍几种常见类型的变量替换法。下面介绍几种常见类型的变量替换法。通过引进新的变量通过引进新的变量例如：例如： 对微分方程对微分方程2引进变量引进变量，则，则原方程可
2、化为原方程可化为这是一个变量可分离的方程。这是一个变量可分离的方程。二、二、 形如形如方程方程3例例 2.4.3 求方程求方程对上式分离变量得：对上式分离变量得：解：解： 令令则则代入方程整理得代入方程整理得积分得积分得 代入原变量得到通解为：代入原变量得到通解为：4 利用变量替换法求解微分方程十分灵活，利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。一般依赖于方程的形式和求导的经验。 三、其它变换法三、其它变换法 例例 2.4.5 求方程求方程解：解： 做变换做变换变量可分离方程变量可分离方程故原方程的通解为故原方程的通解为 5解：该方程求解的困难在于右端的根号，解：该
3、方程求解的困难在于右端的根号，因为因为 代入（代入（2.4.32.4.3）我们希望去根号，因此，做变换我们希望去根号，因此，做变换这是一个齐次方程这是一个齐次方程, , 求解得求解得 例例 2.4.6 求方程求方程6故我们做变换故我们做变换例例 2.4.7 求方程求方程解：根据经验，仔细观察该方程的特征：解：根据经验，仔细观察该方程的特征：代人原方程得：代人原方程得：因此得到原方程的解：因此得到原方程的解：7例例 2.4.8 求解方程求解方程解：仔细观察该方程的特征：解：仔细观察该方程的特征：对方程做恒等变形得，对方程做恒等变形得，求解求解线性方程线性方程得：得：自然做变换自然做变换 原方程化
4、为：原方程化为： 8解解分离变量法：分离变量法：通解：通解：求解微分方程求解微分方程9解解方程变为方程变为分离变量法分离变量法通解：通解：另解另解10解解原方程变为原方程变为齐次方程齐次方程11四、四、RiccatiRiccati方程方程 形如形如 的方程称为的方程称为Riccati方程。方程。 一般情况下，一般情况下，Riccati方程无法用初等积分法方程无法用初等积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。他的一个特解，才可以求出他的通解。12Riccati方程一些可求解的特殊类型：方程一些可求解的特殊类型：是
5、变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。都是常数时，都是常数时， Riccati方程方程1、当、当2、当、当时，时， Riccati方程是线性方程。方程是线性方程。时，时， Riccati方程是方程是Bernoulli方程。方程。3、当、当13将方程化为变量将方程化为变量 可分离的方程。可分离的方程。4、当、当Riccati方程的形式为方程的形式为:时，可利用变量替换时，可利用变量替换 14因为因为是方程的解，因此方程变形为：是方程的解，因此方程变形为： 这是一个这是一个BernoulliBernoulli方程方程。5、当、当Riccati方程有一个特
6、解方程有一个特解可利用变量替换可利用变量替换 代入原方程得代入原方程得15定理定理2.3 2.3 设设Riccati方程为：方程为：其中其中都是常数，且设都是常数，且设又设又设则当则当时，方程可通过适当变换化为时，方程可通过适当变换化为变量可分离的方程变量可分离的方程。6、对一些特殊类型的、对一些特殊类型的Riccati方程，方程，介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。16代入原方程得代入原方程得证证. . 不妨设不妨设 否则可通过变量代换否则可通过变量代换 化为化为 因此，代替原方程，我们考虑因此，代替原方程，我们考虑 当当 时，时， 变量可分离的方程变量可分离的方程当当 时，时， 做变量变化做变量变化 变量可分离的方程。变量可分离的方程。17当当时，时， 做变量代换做变量代换 代入原方程得：代入原方程得：其中其中再做变换再做变换进一步可把方程变为：进一步可把方程变为：18P.71 1（2，4，6） 3（1，4）作 业P.50 1（17，18）19
