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1、1函数单调的一个充分条件设函数yf(x)在某个区间内可导, ; 2函数单调的必要条件设 函 数 y f(x)在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 f(x)在 该 区 间 内 ,则在该区间内 如果f(x)0,则f(x)为增函数如果f(x)0(或f(x)0时在相应区间内是增函数f(x)0在相应区间内是减函数1设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当axb时,有()Af(x)g(b)f(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b) Df(x)g(x)f(a)g(a)答
2、案C2(2011广州一模)函数f(x)exex(e为自然对数的底数)在(0,)上()A有极大值 B有极小值C是增函数 D是减函数答案C3(2010江西,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0),则导函数yS(t)的图象大致为()解析当五角星匀速地升出水面,五角星露出水面的面积S(t)单调递增,则S(t)0,导函数的图象要在x轴上方,排除B;当露出部分到达图中的Q点到R点之间时,S(t)增长速度变缓,S(t)图象要下降,排除C;当露出部分在Q点上下一瞬间时,S(t)突然变大,此时在Q点处的S(t)不存在,排除D
3、,而A符合条件,故选A.答案A 已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中yf(x)的图象大致是()解析当x1时,xf(x)0,f(x)为增函数,当1x0,f(x)0,f(x)为减函数,当0x1时,xf(x)0,f(x)1时,xf(x)0,f(x)0,f(x)为增函数答案C点评与警示根据题目条件和所给图象,判断f(x)所在区间函数值的符号,确定f(x)所在区间的单调性,大致可以确定曲线的形状当x0时,证明不等式:12xe2x.分析假设构造函数f(x)e2x12x.因f(0)e0100,如果能够证明f(x)在(0,)上是增函数,那么f(x)0,则不等式
4、就可以得到证明证明令f(x)e2x12x,f(x)2e2x22(e2x1)x0,e2xe01,2(e2x1)0,即f(x)0.f(x)e2x12x在(0,)上是增函数f(0)e0100,当x0时,f(x)f(0)0,即e2x12x0.12xe2x.点评与警示通过构造函数,利用导数判断出所构造的函数的单调性,再将x赋值,利用单调性证明不等式,这也是证明不等式的一种有效方法证明不等式:ex1x.证明构造函数f(x)ex1x,利用导数证明函数f(x)ex1x是增函数,即ex1x.(2009北京)设函数f(x)xekx(k0)(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)的
5、单调区间解本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力(1)f(x)(1kx)ekx,f(0)1,f(0)0,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为yx.设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点(1)求a和b的值;(2)求f(x)的单调区间(2)由(1)知f(x)5x43ax2b5(x21)(x24)5(x2)(x1)(x1)(x2)当x(,2)(1,1)(2,)时,f(x)0.当x(2,1)(1,2)时,f(x)0.因此f(x)的单调增区间是(,2),(1,1),(2,),f(x)的单调减区间是(2,1),(1,2)(20
6、10全国,21)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在(1,1)上是增函数,求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时,f(x)2(x2)(x1)2,当x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,f(x)在(,2)内单调减,在(2,)内单调增,在x2时,f(x)有极小值所以f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上,f(x)单调增加当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0,即3ax23ax10,()当a0时恒成立;1求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,再由f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件5若可导函数yf(x)在(a,b)内f(x)0(或f(x)0)而使导数f(x)0的点仅有有限个,则函数yf(x)在(a,b)内仍是单调递增(或递减)函数