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1、1函数单调的一个充分条件设函数yf(x)在某个区间内可导， ； 2函数单调的必要条件设 函 数 y f(x)在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 f(x)在 该 区 间 内 ，则在该区间内 如果f(x)0，则f(x)为增函数如果f(x)0(或f(x)0时在相应区间内是增函数f(x)0在相应区间内是减函数1设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有()Af(x)g(b)f(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b) Df(x)g(x)f(a)g(a)答
2、案C2(2011广州一模)函数f(x)exex(e为自然对数的底数)在(0，)上()A有极大值 B有极小值C是增函数 D是减函数答案C3(2010江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图象大致为()解析当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t)单调递增，则S(t)0，导函数的图象要在x轴上方，排除B；当露出部分到达图中的Q点到R点之间时，S(t)增长速度变缓，S(t)图象要下降，排除C；当露出部分在Q点上下一瞬间时，S(t)突然变大，此时在Q点处的S(t)不存在，排除D
3、，而A符合条件，故选A.答案A 已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中yf(x)的图象大致是()解析当x1时，xf(x)0，f(x)为增函数，当1x0，f(x)0，f(x)为减函数，当0x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，f(x)为增函数答案C点评与警示根据题目条件和所给图象，判断f(x)所在区间函数值的符号，确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲线的形状当x0时，证明不等式：12xe2x.分析假设构造函数f(x)e2x12x.因f(0)e0100，如果能够证明f(x)在(0，)上是增函数，那么f(x)0，则不等式
4、就可以得到证明证明令f(x)e2x12x，f(x)2e2x22(e2x1)x0，e2xe01，2(e2x1)0，即f(x)0.f(x)e2x12x在(0，)上是增函数f(0)e0100，当x0时，f(x)f(0)0，即e2x12x0.12xe2x.点评与警示通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法证明不等式：ex1x.证明构造函数f(x)ex1x，利用导数证明函数f(x)ex1x是增函数，即ex1x.(2009北京)设函数f(x)xekx(k0)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的
5、单调区间解本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间(2)由(1)知f(x)5x43ax2b5(x21)(x24)5(x2)(x1)(x1)(x2)当x(，2)(1,1)(2，)时，f(x)0.当x(2，1)(1,2)时，f(x)0.因此f(x)的单调增区间是(，2)，(1,1)，(2，)，f(x)的单调减区间是(2，1)，(1,2)(20
6、10全国，21)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(x)在(，2)内单调减，在(2，)内单调增，在x2时，f(x)有极小值所以f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上，f(x)单调增加当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10，()当a0时恒成立；1求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，再由f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件5若可导函数yf(x)在(a，b)内f(x)0(或f(x)0)而使导数f(x)0的点仅有有限个，则函数yf(x)在(a，b)内仍是单调递增(或递减)函数
