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1、上页下页结束返回首页第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 上页下页结束返回首页4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质0 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念0 基本积分公式基本积分公式0 不定积分的性质不定积分的性质上页下页结束返回首页例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念上页下页结束返回首页问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：原函数存在定理：
2、连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .上页下页结束返回首页原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .注意：注意：(1) 原函数不唯一原函数不唯一;例例(2) 原函数之间的关系原函数之间的关系:若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，上页下页结束返回首页不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线 . 上页下页结束返回首页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量上页下页结束返回首页例例1 1 求求解解解解例例2
3、2 求求上页下页结束返回首页例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为上页下页结束返回首页注注: 1) 求导数与求不定积分是互逆运算求导数与求不定积分是互逆运算2) 同一函数的不定积分的结果形式会不同同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性可用求导数的方法验证正确性.上页下页结束返回首页实例实例积分运算和微分运算是互逆的，因
4、此可以根据积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式求导公式得出积分公式.二、二、 基本积分表基本积分表上页下页结束返回首页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例例4 4 求积分求积分解解根据根据积分公式积分公式（2）上页下页结束返回首页证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质上页下页结束返回首页证证上页下页结束返回首页例例5 5 求积分求积分解解说明：说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用被
5、积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表基本积分表.分项积分上页下页结束返回首页例例6 6 求积分求积分解解分项积分上页下页结束返回首页解：原式解：原式例例7：求求加项减项上页下页结束返回首页例例8 8 求积分求积分解解例例9：求求解：原式解：原式三角公式三角公式上页下页结束返回首页例例1010 求积分求积分解解 利用三角公式上页下页结束返回首页内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 (见见P 186)2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分
6、公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质上页下页结束返回首页思考与练习思考与练习1. 若提示提示:上页下页结束返回首页2. 若是的原函数 , 则提示提示: 已知上页下页结束返回首页3. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示提示: 已知求即B?或由题意其原函数为上页下页结束返回首页4. 求下列积分:提示提示:上页下页结束返回首页5. 求不定积分解：上页下页结束返回首页6. 已知求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得上页下页结束返回首页作业作业P192 2 (1) , (3) , (5) , (7) , (25); 2 ; 5; 6上页下页结束返回首页思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？上页下页结束返回首页思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.
