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1、第三讲第三讲 ( (一一) ) 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 ( (二二) ) 连续函数连续函数二、二、三个重要关系三个重要关系三、三、无穷小量的比较无穷小量的比较四、四、求极限举例求极限举例五、五、函数的连续性函数的连续性一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量8/17/20241定义定义1 1： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,极限为零极限为零 的函数的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量（一）定义一）定义例如：例如：注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的
2、数！8/17/20242定义定义2 2： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。8/17/20243例例8/17/20244（二）无穷小与无穷大的性质（二）无穷小与无穷大的性质性质性质1：注意：注意：性质性质1只可以推广到有限个函数只可以推广到有限个函数例例8/17/20245性质性质2：性质性质3：8/17/20246 例例 例例8/17/202471.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）（三）三个重要关系三）三个重要关系8/17
3、/202483.无穷大与无界函数无穷大与无界函数问题：问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？两个无穷小量的商是否为无穷小量？8/17/20249二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较定义：定义：8/17/2024108/17/202411几个常用的等价无穷小量8/17/202412等价无穷小量的性质性质性质1：8/17/202413性质性质2：等价代换等价代换8/17/202414解解例例1三、求极限举例三、求极限举例8/17/202415例例2解解8/17/2024168/17/202417例例3解解8/17/202418讨论：讨论：代数和不能代换！代数和不能代换！8/17/202419解解例
4、例48/17/202420解解例例58/17/202421解解例例68/17/202422 解解 例例78/17/202423从而8/17/202424连连 续续 函函 数数8/17/202425函数连续性的定义函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态, ,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述： 当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变； 连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画
5、成, ,不断开不断开. .8/17/202426例如：例如：8/17/2024278/17/2024288/17/2024298/17/202430定义定义1： 以上描述实质上是同义的反复以上描述实质上是同义的反复, ,数学上要确切数学上要确切地刻画函数连续性地刻画函数连续性, ,必须用必须用极限极限作定量地描述作定量地描述. .（一）定义一）定义8/17/202431注意注意1以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.注意注意28/17/202432定义定义2： （函数在一点的单侧连续性）函数在一点的单侧连续性）8/17/202433定义定义3：（
6、 函数在区间上的连续性）函数在区间上的连续性）8/17/202434（二）间断点的分类（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：根据间断点的不同情况，可以分为三类：1. 可去型间断点可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断可去型间断不是本质性的间断,可以重新可以重新定义定义, 使其连续使其连续.8/17/202435例如例如8/17/2024362. 第一类间断点第一类间断点例例 符号函数符号函数 8/17/2024373. 第二类间断点第二类间断点例例 8/17/202438五、函数连续性的基本性质五、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：8
7、/17/202439（二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：8/17/202440（三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：8/17/202441（四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：8/17/202442（六）初等函数的连续性（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。 （五）（五） 关于反函数的连续性关于反函数的连续性8/17/202443连续函数的性质连续函数的性质一、连续函数的基本性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质8/17/2024
8、44一、函数连续性的基本性质一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：8/17/202445（二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：8/17/202446（三）连续函数的运算性质：（三）连续函数的运算性质：8/17/202447二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。 （四）（四） 关于反函数的连续性关于反函数的连续性结论：结论：8/17/2024481. 1. 有界性定理：有界性定理：2. 最大最小值定理：最大最小值定理：三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质8/17/2024493. 3. 零点定理：零点定理：8/17/2024504. 4. 介值定理：介值定理：推论：推论：8/17/202451f(x)g(x)8/17/202452
