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1、 一个小球自由下一个小球自由下落，它在下落落，它在下落3 3秒时秒时的速度是多少？的速度是多少？v一个小球自由下落，求它从一个小球自由下落，求它从3s3s到到(3+(3+t)st)s这段时间这段时间内的平均速度内的平均速度 。 变题：变题：解：解：先求从先求从3s到到(3+t)s这段时间内的位移的增量这段时间内的位移的增量s s；记自由落体运动的方程为记自由落体运动的方程为 s=s(t)=4.9 t2则则 s(3t)=4.9 (3t)2， s(3)=4.9 32 ，因此，因此， s =s(3t)s(3) = 4.9 (3t)24.9 32 =29.4t4.9(t)2根据根据 =s /t求出平均
2、速度。求出平均速度。所以，所以， =s /t = 29.44.9 tv问题问题1的解答：的解答： (1)先由自由落体运动的公式先由自由落体运动的公式s=gt2/2求出从求出从3s 到到(3+t)s这段时间内的位移的增量这段时间内的位移的增量s; (2)根据根据 =s /t求出平均速度求出平均速度; (3)由由 29.44.9t可知，当可知，当t 0时，时， 29.4，即当，即当t 0时，时， 的的极限极限是是29.4。 即小球在即小球在3s时的瞬时速度为时的瞬时速度为29.4。 一般地，设物体的运动规律是一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物则物 体在体在t到到t+t这段时间内的平均速度为
3、这段时间内的平均速度为 如果如果t 0时，时， a。就是说，当就是说，当t 0， 的的 极限为极限为a。这时这时a就是物体在时刻就是物体在时刻t的瞬时速度的瞬时速度。 某物体的运动方程为某物体的运动方程为 s(t)=5ts(t)=5t2 2（位移单位：位移单位：m m；时间单位：时间单位：s s）, , 求它在求它在t=2st=2s时的速度。时的速度。 P P（1 1，1 1）是曲线是曲线y=xy=x2 2上的一上的一点点,Q,Q是曲线上点是曲线上点P P附近的一个点附近的一个点, ,观察点观察点Q Q沿曲线逐渐向点沿曲线逐渐向点P P趋近时趋近时割线割线PQPQ的变化情况的变化情况? ? P
4、(1,1) Q y=x2xy ov分析：分析：要研究割线要研究割线PQPQ的变化情况，即计算的变化情况，即计算割线割线PQPQ的斜率。的斜率。 设点设点Q Q的横坐标为的横坐标为1 1x x，则点则点Q Q的纵坐标为的纵坐标为(1+(1+x)x)2 2， 点点Q Q对于点对于点P P的纵坐标的增量（即函数的增量）的纵坐标的增量（即函数的增量） y (1 x)212 x(x)2割线割线PQPQ的斜率为的斜率为 当点当点Q Q沿着曲线无限接近于点沿着曲线无限接近于点P P时，即时，即x 0x 0，k kPQPQ 2 2。这表明，割线这表明，割线PQPQ无限趋近于过点无限趋近于过点P P且斜率为且斜
5、率为2 2的直线。的直线。我们我们把这条直线叫做曲线在点把这条直线叫做曲线在点P P处的切线处的切线。方程为。方程为 y=2x-1y=2x-1。 一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)y=f(x)的图象是如图所示的曲线的图象是如图所示的曲线C C，P(xP(xo o,y,yo o），），Q(Q(x xo ox, x, y yo oy y) )是曲线上的两点是曲线上的两点, ,当点当点Q Q沿沿着曲线无限接近于点着曲线无限接近于点P P，即，即x 0x 0时，如果割线时，如果割线PQPQ无限无限趋近于一个极限位置趋近于一个极限位置PTPT，那么直线那么直线PTPT叫做曲线在点叫做曲线在点P
6、 P处的切处的切线线。此时，割线。此时，割线PQPQ的斜率的斜率 无限趋近于切线无限趋近于切线PTPT的斜率的斜率k k，也就是说，当也就是说，当x 0x 0时，时，割线割线PQPQ的斜率的斜率 的的极限为极限为k k。判断曲线判断曲线y=2xy=2x2 2在点在点P(1,2)P(1,2)处是否有切线，处是否有切线，如果有，求出切线的方程。如果有，求出切线的方程。v分析：分析：要研究割线要研究割线PQPQ的变化情况，即计算的变化情况，即计算割线割线PQPQ的斜率。的斜率。 设点设点Q Q的横坐标为的横坐标为1 1x x，则点则点Q Q的纵坐标为的纵坐标为(1+(1+x)x)2 2， 点点Q Q
7、对于点对于点P P的纵坐标的增量（即函数的增量）的纵坐标的增量（即函数的增量） y (1 x)212 x(x)2割线割线PQPQ的斜率为的斜率为 当点当点Q Q沿着曲线无限接近于点沿着曲线无限接近于点P P时，即时，即x 0x 0，k kPQPQ 2 2。这表明，割线这表明，割线PQPQ无限趋近于过点无限趋近于过点P P且斜率为且斜率为2 2的直线。的直线。我们我们把这条直线叫做曲线在点把这条直线叫做曲线在点P P处的切线处的切线。方程为。方程为 y=2x-1y=2x-1。设成本为设成本为C，产量为，产量为q，成本与产量的函数关系式，成本与产量的函数关系式为设成本为为设成本为C，产量为，产量为
8、q，成本与产量的函数关系式为，成本与产量的函数关系式为 产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于当无限趋近于0时，无限趋近于时，无限趋近于300，我们就说当趋向于，我们就说当趋向于0时，时，的极限是的极限是300.我们把的极限我们把的极限300叫做当叫做当q50时的边际成本时的边际成本.一般地，设一般地，设C是成本，是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比 刻划刻划.如果无限趋近于如果无限趋近于0时，限趋近于常数时，限趋近于常数A，经济学上称，经济学上称A为边际为边际成本成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本（这是实际付出成本的一个近似值）的一个近似值）. 已知成本已知成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C2q2+5，求当产量，求当产量q=80时的边时的边际成本。际成本。本节通过瞬时速度、切线的斜率、边际成本让学生本节通过瞬时速度、切线的斜率、边际成本让学生体验导数概念的背景，理解导数是平均变化率的体验导数概念的背景，理解导数是平均变化率的极限。极限。
