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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-1页电子教案电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-2页电子教案电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-3页电子教案电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-4
2、页电子教案电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 傅里叶分析的发展历史傅里叶分析的发展历史1822 法国数学家，物理学家傅里叶（法国数学家，物理学家傅里叶（J.fourler 1768-1830)在研究热传导理论的过程中提出并证明了周期信号在研究热传导理论的过程中提出并证明了周期信号可展开为正弦级数的原理。可展开为正弦级数的原理。泊松泊松(Poisson)、高斯（、高斯（Gauss）等人将这一理论引入电）等人将这一理论引入电学中，并得到广泛应用。学中，并得到广泛应用。进入进入20世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一系列具体问题
3、的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的天地。应用开辟了广阔的天地。在通信与控制系统的理论研究和工程应用中，傅里叶分在通信与控制系统的理论研究和工程应用中，傅里叶分析具有很多优点。析具有很多优点。FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析赋予了新的生命力。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-5页电子教案电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析
4、的要点是时域分析的要点是，以，以冲激函数冲激函数为为基本信号基本信号，任意，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；输入信号可分解为一系列冲激函数；yf(t) = h(t)*f(t)。 本章本章将以将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为为基本信号基本信号，任，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故。故称为称为频域分析频域分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义
5、：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-6页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-7页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-8页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t
6、1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 (两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-9页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完
7、备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在是两组典型的在区间区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。( i =1，2，n)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-10页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交
8、函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使通常使均方误差均方误差最小。均方误差为最小。均方误差为 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-
9、11页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 即即 所以系数所以系数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-12页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（
10、为完备正交函数集）时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有，均方误差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：，表明：在区间在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和交分量能量的总和。 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-13页电子教案电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数小结：小结：巴塞瓦尔巴塞瓦尔(Parseval)公式公
11、式：在区间在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒所含能量恒等于等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和总和。 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-14页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶一、傅里叶级数的三角形式数的三角形式信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-15页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数由积分可知由积
12、分可知信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-16页电子教案电子教案由由 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-17页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-18页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 系数系数an , bn称为称
13、为傅里叶系数傅里叶系数 可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。2 周期信号分解为傅里叶级数周期信号分解为傅里叶级数 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-20页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0 = a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原，它的角频率与原周期信号相同；周期信号相同； A2cos(2 t+ 2
14、)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-21页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-22页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-23
15、页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-24页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-25页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-26页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的二、波形的对称性与称性与谐波特性波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。信号与系统
16、信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-27页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 4 . .f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含偶次其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分谐波分量，而不含奇次谐波分量即量即 a1=a3=b1=b3=0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院
17、信息工程系第4-28页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶三、傅里叶级数的指数形式数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：角形式推出：利用利用 虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是区间是区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-29页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级
18、数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 所以所以信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-30页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度为其各分量的复数幅度为Fn 。其中。其中 F0 = A0/2为直流
19、分量。为直流分量。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-31页电子教案电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率等于表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率等于频域中直流功率与各次谐波功率之和。频域中直流功率与各次谐波功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-32页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息
20、工程系第4-33页电子教案电子教案信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-34页电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号一、信号频谱的概念的概念周期信号可分解为一系列正弦信号或虚指数信号之和，即周期信号可分解为一系列正弦信号或虚指数信号之和，即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-35页电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-36页电子教案电子教案4
21、.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周期T1 = 8的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-37页电子教案电子教案4.
22、3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-38页电子教案电子教案对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无实际的对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无实际的物理意义。为什么引入负频率？物理意义。为什么引入负频率？根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系
23、第4-39页电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号二、周期信号频谱的特点的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-40页电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱, n = 0 ,1，2， 1) 包络线形状为抽样函数。包络线形状为抽样函数。 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院
24、信息工程系第4-41页电子教案电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 = = 2 /T （谱线间隔）不变（谱线间隔）不变,零零点位置变宽。两零点之间的谱线数目增多。点位置变宽。两零点之间的谱线数目增多。(b) 一定，一定，T增大，零点位置不变，间隔增大，零点位置不变，间隔 减小，频谱变减小，频谱变密。幅度减小。密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的谱线间隔将趋近于零，周期信号的
25、离散频谱离散频谱就过渡到非就过渡到非周期信号的周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。小。 特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置性。谱线位置是基频是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-42页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期
26、可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令 (单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4
27、-43页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时， 于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-44页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为F(j)
28、一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-45页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数2. 双边指数函数
29、双边指数函数f(t) = et , 0 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-46页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-47页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序
30、列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-48页电子教案电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t ， 0 所以所以又又因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 t t，tt- - 由傅里叶变换定义式，得由傅里叶变换定义式，得信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-49页电子教案电子教案6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7. 阶跃函数阶跃函数 (t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统 西安邮电学院通院信息工程系第4-50页电子教案电子教案
