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1、第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法定解条件与定解条件与定解问题的提法定解问题的提法第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法3.1 定解条件定解条件n 阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有 n个任意常数个任意常数，要完全确定这些常数需要附加要完全确定这些常数需要附加 n个条件个条件。能不能能不能求解求解？解是什么？解是什么？ 由此可归纳出由此可归纳出能不能能不能定解定解？该怎么办？该怎么办？能不能能不能求解求解？解是什么？解是什么？能不能能不能定解定解？该怎么办？该怎么办？ 方程方程 方程方程第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件
2、与定解问题的提法 要想完全确定一个物理过程除了要想完全确定一个物理过程除了控控制方程制方程（一般指偏微分方程）外，还需要（一般指偏微分方程）外，还需要给定给定初始和边界条件初始和边界条件。 表征和控制物理现象的方程，称为表征和控制物理现象的方程，称为控制控制方程或泛定方程方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程。由前面有关三种典型方程的推导过程得出，的推导过程得出，不同的物理现象具有不同不同的物理现象具有不同的物理规律，的物理规律，其控制方程也是不同的。其控制方程也是不同的。第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。同一类物理现
3、象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件边界条件和和初始条件初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。即个性。初始条件初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即条件，即描述物理过程初始状态的数学条件描述物理过程初始状态的数学条件。边界条件：边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。描述物理过程边界状态的数学条件。3.2 定解条件的形式和定解问题定解条件的形式和定解问题定解问题定解问题=控制方程控
4、制方程+定解条件定解条件非稳态问题：非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。定解条件包括初始条件和边界条件。稳态问题：稳态问题：定解条件为边界条件。定解条件为边界条件。第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 根据分析问题的不同出发点，把数学物理问根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为题分为正向问题正向问题和和逆向问题逆向问题。不同出发点不同出发点 正向问题，即正向问题，即为已知源求场为已知源求场 逆向问题，即为逆向问题，即为已知场求源已知场求源. . 前者是经典数学物理所讨前者是经典数学物理所讨论的主要内容。论的主要内容。 后者是高等数后者是高等数学物理（或称
5、为现代数学物理）学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容所讨论的主要内容第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松方程表示的是电势泊松方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之（或电场）和电荷分布之间的关系间的关系定解定解问题问题 从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系。和产生这种场的源之间的关系。第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 一维波动方程描述了弦做微小
6、横振动时位移函数所应一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察弦的运动状况，这是因为它的运动还与弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态初始状态以及以及边界边界条件条件所处的状况有关。所处的状况有关。 波动方程的定解条件波动方程的定解条件 初始条件初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度设弦在初始时刻 时的位置和速度为：第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 边界条件边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况第二类边界条
7、件：第二类边界条件：一一 端既不固定，又不受位移方向力的作用端既不固定，又不受位移方向力的作用第一类边界条件：对于第一类边界条件：对于两端固定两端固定的弦的振动，其为：的弦的振动，其为：或：或：第三类边界条件：第三类边界条件： 在在x=l 端受到弹性系数为端受到弹性系数为k 的弹簧的支承的弹簧的支承或或或：或：第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 x u o b l h 【解解】 初始时刻就是放手的那一瞬间，初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有按题意初始速度为零，即有 初始位移如图所示初始位移如图所示如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如下图
8、所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。例例 ： 一根长为一根长为 的弦，两端固定于的弦，两端固定于 和和，在距离坐标原点为在距离坐标原点为 的位置将弦沿着横向拉开距离的位置将弦沿着横向拉开距离 ，l第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 波动方程的定解问题波动方程的定解问题定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件初始条件 +边界条件边界条件混合问题混合问题 定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件初始条件初值问题（柯西问题）初值问题（柯西问题）定解条件定解条件=初始条件初始条件+边界条件边
9、界条件特解特解第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 例例： 长为长为的弦在的弦在端固定，另一端端固定，另一端自由，且在初始时刻自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 确定确定泛定方程泛定方程： 取弦的水平位置为取弦的水平位置为轴，轴，为原点，为原点， 弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 【解解】第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 确定确定边界条件边界条件 对于
10、弦的固定端，显然有对于弦的固定端，显然有 另一端自由，意味着其张力为零，则另一端自由，意味着其张力为零，则 确定确定初始条件初始条件 根据题意，当根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零时，弦处于水平状态，即初始位移为零初始速度初始速度 第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法综上讨论，故定解问题为综上讨论，故定解问题为第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法例：例： 长为长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然
11、停止。时突然停止。试写出杆振动的定解问题。试写出杆振动的定解问题。第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 扩散方程的定解条件扩散方程的定解条件定解条件：初始条件边界条件 初始条件初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态式中式中( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 边界条件边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况第二类边界条件：第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知通过介质表面单位面积的热流量己知 第一类边界条件：第一类边界
12、条件：介质表面温度已知介质表面温度已知 第三类边界条件：第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知边界面与周围空间的热量交换规律已知 式中，式中，p为边界面上的点。为边界面上的点。 由由热量守恒定律热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量 第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 扩散方程的定解问题扩散方程的定解问题定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件初始条件 +边界条件边界条件混合问题混合问题 定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）控制偏微分方程
13、（泛定方程）+初始条件初始条件初值问题（柯西问题）初值问题（柯西问题）定解条件定解条件=初始条件初始条件+边界条件边界条件特解特解第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法 拉普拉斯和泊松方程的定解条件拉普拉斯和泊松方程的定解条件第二边值问题，第二边值问题，牛曼问题牛曼问题 第一边值问题，第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）狄利克莱问题（狄氏问题） 第三边值问题第三边值问题（混合问题）鲁宾问题（混合问题）鲁宾问题 对于稳态问题，变量对于稳态问题，变量不随时间不随时间发生变化。定解条件不发生变化。定解条件不含初始条件，含初始条件，只有边界条件只有边界条件。 第三章第三章 定解条件与定解问题的提法定解条件与定解问题的提法泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件定解问题定解问题波动方程波动方程热传导方程热传导方程稳态方程稳态方程第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件初始状态初始状态初始速度初始速度
