《2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)1703》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)1703(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2013 中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一 ) 例 1已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2 ( 2k 3 )xk 2 3k 2 0 的两个实数根,第三边长为5 ( 1)当k为何值时,ABC是以BC为斜边的直角三角形; ( 2)当k为何值时,ABC是等腰三角形,并求ABC的周长 解析:(1)AB、AC方程x 2( 2k3 )xk 23k20 的两个实数根 ABAC2k3,ABACk 23k2 ABC是 以BC为斜边的直角三角形,且BC5 AB 2AC 2BC 2, ( ABAC )2ABAC25 即 ( 2k3)22( k 23k2 ) 25 k 23k100,
2、k15,k,22 当k5 时,方程为x 27x120, 解得x13,x24(均不合题意,舍去) 当k2 时,方程为x 27x120,解得x13,x24 当k2 时,ABC是以BC为斜边的直角三角形 ( 2)若ABC是等腰三角形,则有ABAC;ABBC;ACBC三种情况 ( 2k3 )24( k 23k2 ) 1 0 ABAC,故第种情况不成立 当ABBC或ACBC时,5 是方程x 2( 2k3 )xk 23k20 的根 5 25( 2k3 )k 23k20 即k 27k120,解得k13,k24 当k3 时,方程为x 29x200,解得x14,x25 此时ABC的三边长分别为5、 5、 4,周
3、长为14 当k4 时,方程为x 211x300,解得x15,x26 此时ABC的三边长分别为5、 5、 6,周长为16 例 2 已知ABC的三边长为a、b、c,关于x的方程x 2 2( ab )xc 2 2ab0 有两个相等的实数根,又sinA、 sinB是关于x的方程( m 5 )x 2 ( 2m 5 )xm 8 0 的两个实数根 ( 1)求m的值; ( 2)若ABC的外接圆面积为25 ,求ABC的内接正方形的边长 解析:(1)关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0 有两个相等的实数根 4( ab )24( c 22ab ) 0,即a 2b 2c 2 ABC是直角三角形 sinA、
4、 sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80 的两个实数根 sinAsinB 2m5 m5 , sinAsinB m8 m5 在RtABC中,sin2Asin2Bsin2Acos2A1 2 ( sinAsinB )22sinAsinB1 即 ( 2m5 m5 )22 m8 m5 1 m 224m800,解得m14,m220 当m4 时,方程为9x 23x40,解得x1 3 153 18 ,x2 3 153 18 0 在RtABC中,sinA 0, sinB 0 m4 不合题意,舍去 当m20 时,方程为25x 235x120,解得x1 3 5 ,x2 4 5 ,符合题意 m
5、20 ( 2)ABC的外接圆面积为25 外接圆半径为5,c10 由(1)知,sinA 3 5 或 sinA 4 5 ABC的两条直角边长分别为6, 8 设ABC的内接正方形的边长为t 若正方形的两边在ABC的两直角边上,则 8t 8 t 6 解得t 24 7 若正方形的一条边在ABC的斜边上,易得斜边上的高为 24 5 ,则 t 10 24 5 t 24 5 解得t 120 37 例 3 已知关于x的方程x 2 ( mn 1)xm 0(n 0)的两个实数根为 、 ,且 ( 1)试用含有 、 的代数式表示m和n; ( 2)求证: 1 ; ( 3) 若点P( , ) 在ABC的三条边上运动,且AB
6、C顶点的坐标分别为A( 1,2),B(1 2 , 1),C( 1, 1),问是否存在点P,使mn 5 4 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 解析: ( 1)解: 、 为方程x 2( mn1)xm0(n 0)的两个实数根 ( mn1)24m( mn1)24n 0,且 mn1, m m ,nm1 1 2 分 A B C t t A B C t t t 3 ( 2)证明:( 1 )( 1 ) 1( ) n 0(n 0),又 1 4 分 ( 3)解:要使mn 5 4 成立,只需 mn1 9 4 当点P( , )在BC边上运动时 由B(1 2 , 1),C( 1, 1),得 1 2 1,
7、1 而 9 4 9 4 1 5 4 1 在BC边上不存在满足条件的点 6 分 当点P( , )在AC边上运动时 由A( 1, 2),C( 1, 1),得 1, 1 2 此时 9 4 9 4 1 5 4 ,又1 5 4 2 在AC边上存在满足条件的点,其坐标为(1,5 4 ) 8 分 当点P( , )在AB边上运动时 由A( 1, 2),B(1 2 , 1),得 1 2 1, 1 2 由对应线段成比例得 1 1 1 2 2 21 , 2 由 9 4 2 解得 3 4 , 3 2 又1 2 3 4 1, 1 3 2 2 在AB边上存在满足条件的点,其坐标为(3 4 ,3 2 ) 综上所述,当点点P( , )在ABC的三条边上运动时,存在点(1,5 4 )和点(3 4 ,3 2 ),使mn 5 4 成立 10 分