《2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)1703》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)1703（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2013 中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一 ) 例 1已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2 ( 2k 3 )xk 2 3k 2 0 的两个实数根，第三边长为5 （ 1）当k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形； （ 2）当k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长 解析：（1）AB、AC方程x 2( 2k3 )xk 23k20 的两个实数根 ABAC2k3，ABACk 23k2 ABC是 以BC为斜边的直角三角形，且BC5 AB 2AC 2BC 2， ( ABAC )2ABAC25 即 ( 2k3)22( k 23k2 ) 25 k 23k100，
2、k15，k,22 当k5 时，方程为x 27x120， 解得x13，x24（均不合题意，舍去） 当k2 时，方程为x 27x120，解得x13，x24 当k2 时，ABC是以BC为斜边的直角三角形 （ 2）若ABC是等腰三角形，则有ABAC；ABBC；ACBC三种情况 ( 2k3 )24( k 23k2 ) 1 0 ABAC，故第种情况不成立 当ABBC或ACBC时，5 是方程x 2( 2k3 )xk 23k20 的根 5 25( 2k3 )k 23k20 即k 27k120，解得k13，k24 当k3 时，方程为x 29x200，解得x14，x25 此时ABC的三边长分别为5、 5、 4，周
3、长为14 当k4 时，方程为x 211x300，解得x15，x26 此时ABC的三边长分别为5、 5、 6，周长为16 例 2 已知ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2 2( ab )xc 2 2ab0 有两个相等的实数根，又sinA、 sinB是关于x的方程( m 5 )x 2 ( 2m 5 )xm 8 0 的两个实数根 （ 1）求m的值； （ 2）若ABC的外接圆面积为25 ，求ABC的内接正方形的边长 解析：（1）关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0 有两个相等的实数根 4( ab )24( c 22ab ) 0，即a 2b 2c 2 ABC是直角三角形 sinA、
4、 sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80 的两个实数根 sinAsinB 2m5 m5 ， sinAsinB m8 m5 在RtABC中，sin2Asin2Bsin2Acos2A1 2 ( sinAsinB )22sinAsinB1 即 ( 2m5 m5 )22 m8 m5 1 m 224m800，解得m14，m220 当m4 时，方程为9x 23x40，解得x1 3 153 18 ，x2 3 153 18 0 在RtABC中，sinA 0， sinB 0 m4 不合题意，舍去 当m20 时，方程为25x 235x120，解得x1 3 5 ，x2 4 5 ，符合题意 m
5、20 （ 2）ABC的外接圆面积为25 外接圆半径为5，c10 由（1）知，sinA 3 5 或 sinA 4 5 ABC的两条直角边长分别为6， 8 设ABC的内接正方形的边长为t 若正方形的两边在ABC的两直角边上，则 8t 8 t 6 解得t 24 7 若正方形的一条边在ABC的斜边上，易得斜边上的高为 24 5 ，则 t 10 24 5 t 24 5 解得t 120 37 例 3 已知关于x的方程x 2 ( mn 1)xm 0（n 0）的两个实数根为 、 ，且 （ 1）试用含有 、 的代数式表示m和n； （ 2）求证： 1 ； （ 3） 若点P（ ， ） 在ABC的三条边上运动，且AB
6、C顶点的坐标分别为A（ 1，2），B（1 2 ， 1），C（ 1， 1），问是否存在点P，使mn 5 4 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解析： （ 1）解： 、 为方程x 2( mn1)xm0（n 0）的两个实数根 ( mn1)24m( mn1)24n 0，且 mn1， m m ，nm1 1 2 分 A B C t t A B C t t t 3 （ 2）证明：( 1 )( 1 ) 1( ) n 0（n 0），又 1 4 分 （ 3）解：要使mn 5 4 成立，只需 mn1 9 4 当点P（ ， ）在BC边上运动时 由B（1 2 ， 1），C（ 1， 1），得 1 2 1，
7、1 而 9 4 9 4 1 5 4 1 在BC边上不存在满足条件的点 6 分 当点P（ ， ）在AC边上运动时 由A（ 1， 2），C（ 1， 1），得 1， 1 2 此时 9 4 9 4 1 5 4 ，又1 5 4 2 在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，5 4 ） 8 分 当点P（ ， ）在AB边上运动时 由A（ 1， 2），B（1 2 ， 1），得 1 2 1， 1 2 由对应线段成比例得 1 1 1 2 2 21 ， 2 由 9 4 2 解得 3 4 ， 3 2 又1 2 3 4 1， 1 3 2 2 在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（3 4 ，3 2 ） 综上所述，当点点P（ ， ）在ABC的三条边上运动时，存在点（1，5 4 ）和点（3 4 ，3 2 ），使mn 5 4 成立 10 分
