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1、第第2424章圆知识体系复习章圆知识体系复习本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积第第1部分部分 圆的基本性质圆的基本性质第第2部分部分 与圆有关的位置
2、关系与圆有关的位置关系本本章章安安排排复复习习内内容容第第3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆第第4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算第第5部分部分 有关作图有关作图一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距:圆心到弦圆心到弦的距离。的距离。O二二. 圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一
3、条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具有即圆具有旋转不变性旋转不变性.2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所那么它所对的弧相等对的弧相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)在圆中在圆中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相那么它所对的圆心角相等等,所对的弦相等所对的弦相等.(3)在一个圆中在一个圆中,如果弦相等如果弦相
4、等,那么它所对的弧相那么它所对的弧相等等,所对的圆心角相等所对的圆心角相等.ABDCO COD = AOBABCD= AB=CD注意听课，积极思考呵！3 3、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM, 若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧. .*欢迎同学们！注意听课，积极思考呵！垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理CDAB,n由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直
5、径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.*！注意听课，积极思考呵！(1)直径直径 (过圆心的弦过圆心的弦)；(2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦 【弦不是直径弦不是直径】；(4)平分劣弧平分劣弧(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?( )错错OABCDM*欢迎同学们！注意听课，积极思考呵！OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧B.3.例O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，C
6、D=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . .2cm或或14cm 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：个量，如图有：d + h = r垂径定理的垂径定理的应用应用 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角角，叫做圆周角.性质性质:(1)在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对的圆周同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
7、半角等于它所对的圆心角的一半. BAC= BOC12在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角 ADB= AEB = ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径. AB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:(2)点在圆上点在圆上 (3)点
8、在圆外点在圆外(1)点在圆内点在圆内1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径圆的半径为为r,则则d与与r的大小关系为的大小关系为:点与圆的位置关系点与圆的位置关系 d与与r的关系的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:OOOl ll ll l(1) 相离相离:(2) 相切相切:(3) 相交相交:一条直线与一个圆没有公共点一条直线与一个圆没有公共点,叫做叫做直线与这个圆相离直线与这个圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点一
9、条直线与一个圆只有一个公共点,叫叫做直线与这个圆相切做直线与这个圆相切.一条直线与一个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点,叫叫做直线与这个圆相交做直线与这个圆相交.OOl l(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d =r;(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drl ldrOl ldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。径的直线
10、是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。OAl l OA是半径是半径,OA l l 直线直线l l是是 O的切线的切线.切线的性质切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.OAl OA l l 直线直线l l是是 O的切线的切线,切切点为点为A 例例2 2、如图、如图, ,在在RtABCRtABC中中,BCA=90,BCA=90, ,以以B
11、CBC为直径的为直径的O O交交ABAB于点于点P,QP,Q是是ACAC的中点的中点. .判断直线判断直线PQPQ与与O O的位置关系的位置关系, ,并说明理由并说明理由. .解：猜想直线解：猜想直线PQPQ与与O O相切，理由如下：相切，理由如下：连结连结OPOP，CPCPBC为O的直径BPC=APC=90在RtACP中,Q为斜边AC的中点PQ=CQ1=21234OP=OC3=4而BCA=90即1+3=902+4= 90即OPPQ(又OP为O的半径) PQ为O的切线连结OP、OQ，利用三角形中位线去说明也可以。返回另解：切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的
12、两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。这两条切线的夹角。BAPO PA、PB为为 O的切线的切线 PA=PB, APO= BPO不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比
13、是1:2.OABCD过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有过一点的圆有_个个2.过两点的圆有过两点的圆有_个，这些圆的圆心个，这些圆的圆心的都在的都在_ 上上.3.过三点的圆有过三点的圆有_个个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形锐角三角形的外心在三角形_，直角三角，直角三角形的外心在三角形形的外心在三角形_，钝角三角形的外心在，钝角三角形的外心在三角形三角形_。无数无数无数无数0或或1内内连结着两点的线段的垂直平分线连结着
14、两点的线段的垂直平分线外外斜边斜边4.4.怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜破镜重圆重圆？一一一一、判断。、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ）2、直角三角形的外心是斜边的中点、直角三角形的外心是斜边的中点 （ ）二、填空：二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是、直角三角形的两条直角边分别是5cm和和12cm，则则它的外接圆它的外接圆 半径半径，内切圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比三、选择题：三、选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A、三角形外
15、心到三边距离相等三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆三角形一定有一个外切圆 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1C C四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_30cm圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系两圆的位置关系数量关系及识别方法数量关系及识别方法 外离外离 外切外切 相交相交 内切内切 内含内含dR+rd=R
16、+rd=R-rdR-rR-rdR+r三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG1、圆的周长公式、圆的周长公式2、圆的面积公式、圆的面积公式C=2
17、RS=r23、弧长的计算公式、弧长的计算公式4 4、扇形面积计算公式扇形面积计算公式八、弧长和扇形面积公式、圆锥侧面积计算：八、弧长和扇形面积公式、圆锥侧面积计算：4.圆柱的展开图圆柱的展开图:DBCArhS侧侧 =2r hS全全=2r h+2 r25.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧 =r aS全全=r a+ r2圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的圆锥的底面周长底面周长就是其侧面展开图就是其侧面展开图扇形的弧长扇形的弧长，圆锥的圆锥的母线母线就是其侧面展开图就是其侧面展开图扇形的半径扇形的半径。ECBAOD常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论:1.如图
18、如图,在以在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S= AB22.如图如图,以等腰以等腰ABC的腰的腰AB为直径作为直径作 O交底边交底边BC于点于点D,则则:OCBAD点点D是是BC的中点的中点.OPBADC3.如图如图,已知已知PA、PB切圆切圆O于点于点A,B,过弧过弧AB上任一点上任一点E作圆作圆O的切线的切线,交交PA,PB于点于点C,D,则则:(1) PCD的周长的周长=2PA(2) COD= 900- APBEOAB
19、COABCDFEDFE4.如图如图, ABC各边分别各边分别切圆切圆O于点于点D、E、F.(1) DEF= 900- A(3) S ABC= (a+b+c)r(2) BOC= 900+ AABCOEFD5.在在Rt ABC中中, ACB是直角是直角,三边分三边分别是别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c2a+b+cab或或r=6.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为切线为切线,则则:(1)DC=AD+BC(2) DOC=900专题一：与圆有关的辅助线的作法：专题一：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线， 莫乱添，莫乱添，
20、规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径， 不起眼，不起眼， 角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心， 连结要领先；连结要领先； 遇到直径想直角，遇到直径想直角， 灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距， 亲密紧相连；亲密紧相连；典型例题典型例题:1.如图如图, O的直径的直径AB=12,以以OA为直径的为直径的 O1交大圆的弦交大圆的弦AC于于D,过过D点作小圆的切点作小圆的切线交线交OC于点于点E,交交AB于于F.EO1ODCBAF(2)猜想猜想DF与与OC的位的位置关系置关系,并说明理由并说明理由.(1)说明说明D是是
21、AC的中点的中点.(3)若若DF=4,求求OF的长的长.2.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为2,P是线段是线段BC上的一个动点上的一个动点.以以AB为直径作圆为直径作圆O,过点过点P作圆作圆O的切线交的切线交AD于点于点F,切点为切点为E.DCBAFPOE(1)求四边形求四边形CDFP的周长的周长.(2)设设BP=x,AF=y,求求y关关于于x的函数解析式的函数解析式.Q练习练习如图有一圆锥形粮堆如图有一圆锥形粮堆,其正视图为其正视图为边长是边长是6m的正三角形的正三角形ABC,粮堆粮堆的母线的母线AC的中点的中点P处有一老鼠正处有一老鼠正在偷吃粮食此时在偷吃粮食此时,小猫正在小猫正在B处处,它它要沿圆锥侧面到达要沿圆锥侧面到达P,处捕捉老鼠处捕捉老鼠,则小猫则小猫所经过的最短路程所经过的最短路程是是_.(保留保留 )ABCP.
