ABPA=PBP1P1A=P1B……线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到到线线段两端的距离相等段两端的距离相等PMNC动手操作动手操作：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PA、、PB的长，你能发现什的长，你能发现什么？么？由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？2 求证：线段垂直平分线上的求证：线段垂直平分线上的点点到到条线段两端的距离条线段两端的距离相相等ABPMNC已知：如图，已知：如图，直线直线MN⊥⊥AB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB，，点点P在在MN上上.求证：求证： PA=PB 证明：证明：∵∵MN⊥⊥AB ∴∴ ∠∠ PCA= ∠∠ PCB ＝＝90° 在在 ΔPAC和和Δ PBC中，中， AC=BC ∠∠ PCA= ∠∠ PCB PC=PC ∴∴ ΔPAC ≌ ≌Δ PBC（（SAS）） ∴∴PA=PB3 线段的垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的线段的垂直平分线上的点到线段的两端两端的的距离相等距离相等.几何语言几何语言:∵∵点点P段段AB的垂直平分线上的垂直平分线上∴∴PA=PBNABPM∵∵ MN⊥⊥AB于于C, AC=CB，点，点P在在MN上上∴∴PA=PB或或 1.在在△△ABC中，中，∠∠ACB=90°，，AB=8cm，，BC的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于于D点点,则则CD=____ 4cm 2、在、在△△ABC,PM,QN分别垂直分别垂直平分平分AB,AC，则，则: (1)若若BC=10cm则则△△APQ的周长的周长=_____cm;(2)若若∠∠BAC=100°则则∠∠PAQ=______. 10200 到到线段的两端距离相等的点线段的两端距离相等的点在在条线条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上. .线段的垂直平分线上的点到线段两端线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等点的距离相等. .逆命题 求证：求证：到到线段的两个端点距离相等的点段的垂直平分线上线段的两个端点距离相等的点段的垂直平分线上.ABPC已知：如图，已知：如图， PA=PB求证：求证： 点点P段段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 证明：过点证明：过点P作作PC ⊥ ⊥AB 于于C 则则 ∠∠ PCA= ∠∠ PCB＝＝90° 在在 RtΔPAC和和RtΔ PBC中，中， PC=PB PC=PC ∴∴ ΔPAC ≌ ≌Δ PBC(HL) ∴∴AC=BC ∴ ∴直线直线PC垂直平分线段垂直平分线段AB 即点即点P段段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 3、在、在△△ABC中，中，AB=AC，，AB的中垂线的中垂线与与AC所在的直线相交所在的直线相交所得的锐角为所得的锐角为50°，则，则∠∠B=______. 700或或200 求证：求证： 三角形三边垂直平分线交于一点，且这一点三角形三边垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
到三角形三个顶点的距离相等证明：证明：∵∵点点P段段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上，∴∴PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.∴∴PA=PC.∴∴点点P也在边也在边AC的垂直平分线上，且的垂直平分线上，且PA=PB=PC已知已知:如图如图,在在ΔABC中中,边边AB，，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：点求证：点P也在边也在边AC的垂直平分线上，且的垂直平分线上，且PA=PB=PC;BACMNM’N’P 练习练习1 已知：如图，已知：如图， AC=AD，，BC=BD，点，点E在在AB上上. 求证：求证：EC=ED.ACEDB证明：证明： ∵∵AC=AD(已知已知)∴∴点点A段段CD的垂直平分线上的垂直平分线上.∵∵BC=BD(已知已知)同理可证，点同理可证，点B段段CD的垂直的垂直平分线上平分线上.∴∴AB是是CD的垂直平分线的垂直平分线.(两点确定一条直线两点确定一条直线)∵∵点点E在在AB上上.(已知已知)∴∴EC=ED. 到线段的两端距离相等的点段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到这线段两端的距离相等.逆命题 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相 等的所有点的集合等的所有点的集合逆定理可以用来证明逆定理可以用来证明点点在直线上在直线上(或或直线经过直线经过某一某一点点).性质定理可以用来性质定理可以用来证明证明两条线段相等两条线段相等（或三角形是等腰（或三角形是等腰三角形）三角形）.总结：总结： 练习练习3 3、在、在△ABC△ABC中，已知中，已知ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ACAC于于E E，，△ABC△ABC和和△BEC△BEC的周长分别为的周长分别为24cm24cm和和14cm.14cm.求求ABAB的长。
的长A AC CB BEF F 张张店店区区政政府府为为了了方方便便居居民民的的生生活活，，计计划划在在三三个个住住宅宅小小区区 A、、B、、C之之间间修修建建一一个个购购物物中中心心，，试试问问，，该该购购物物中中心心应应建建于于何何处处，，才才 能能 使使 得得 它它 到到 三三 个个 小小 区区 的的 距距 离离 相相 等等 ABC实际问题实际问题1 BAC1、求作一点、求作一点P，使，使它和已它和已△△ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实实际际问问题题1 京珠高京珠高 速速 公公 路路ABL实际问题实际问题2在京珠高速公路的同侧，有两个化工在京珠高速公路的同侧，有两个化工厂厂A A、、B B，为了便于两个工厂的工人看，为了便于两个工厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所病，市政府计划在公路边上修建一所医院，医院，使得两个工厂的工人都没意见使得两个工厂的工人都没意见医院的院址应选在何处？医院的院址应选在何处？ 2、如图，在直线、如图，在直线l上求作上求作一点一点P，使，使PA=PB.lAB实际问题实际问题数学化数学化实实际际问问题题2PPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务 请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？（（1）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等. 格式：格式：∵∵MN⊥⊥AB，，AC=BC（已知）（已知） ∴∴PA=PB（（…））（（2）到线段的两个端点的距离相等的点段的垂直平分线上）到线段的两个端点的距离相等的点段的垂直平分线上. 格式：格式：∵∵QA=QB（已知）（已知） ∴∴点点Q在在AB的垂直平分线上（的垂直平分线上（…））（（3）线段的垂直平分线可以看作是到这条线段的两个端点的）线段的垂直平分线可以看作是到这条线段的两个端点的 距离相等的点的集合距离相等的点的集合.线段的垂直平分线线段的垂直平分线 课堂练习：课堂练习：1、如图，在、如图，在ΔABC中，中，AD⊥⊥BC于于D，， AB+BD=DC。
试问：试问：∠∠B与与∠∠C是什么关系？是什么关系？OAB. C. D2、在、在V型公路（型公路（∠∠AOB）内部，）内部，有两个村庄有两个村庄C、、D你能选择一个你能选择一个纺织厂的厂址纺织厂的厂址P，使，使P到到V型公路的型公路的距离相等，且使距离相等，且使C、、D两村的工人两村的工人上下班的路程一样吗？上下班的路程一样吗？ 练习练习2：如图：如图：已知：已知：AB=AC，，∠∠A=120度，度，EF是是AB的垂直平分线的垂直平分线求证：求证：BF=1/2FCABCEF证明：连结证明：连结AF ∵∵ AB=AC（已知）（已知） ∴∠∴∠ B=∠∠C（等边对等角）（等边对等角）又又∵∠∵∠BAC=120度（已知）度（已知）∴∠∴∠B=∠∠C=30度（三角形内角和定理）度（三角形内角和定理）∵∵EF是是AB的中垂线（已知）的中垂线（已知）∴∴FA=FB（？）（？）∴∠∴∠BAF=∠∠B=30度（等角对度（等角对等边）等边）∴∠∴∠FAC=90度度 又又∵∵ ∠∠ C=30度（已证）度（已证） ∴∴ AF=1/2FC（？（？ ）） ∴∴ FB=1/2FC 练习练习4 4、已知：如图、已知：如图, △ABC, △ABC中中,AD,AD是角平分线是角平分线, ,DE⊥ABDE⊥AB于于E E，，DF⊥ACDF⊥AC于于F,F,求证求证:AD:AD垂直平分垂直平分EF.EF.A AB BC CD DE EF F 。