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1、习题课习题课无穷级数的收敛、求和与展开无穷级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 第七章 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3. 任意项级数审敛法为收敛级数
2、Leibniz判别法判别法: 若且则交错级数收敛 ,概念概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛例例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛例2:判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数因 n 充分大时原级数发散 . 用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛 .时发散.发散,收敛,例3. 设正项级数和也收敛 .提示提示: 因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,
3、 证明级数当n N 时例4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .故 因单调递减, 且但所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ;因所以原级数绝对收敛 .二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数
4、通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例6. 求下列级数的敛散区间:练习练习:解解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为解解: 因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和例例7. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为法法2先求出收敛区间则设和函数为解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0例8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时, 级数也收敛 . 即得解解: 原式=的和 .例9. 求级数四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法 直接展开法 间接展开法1. 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:1. 函数的幂级数展开法
