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1、第第4章章 非正弦周期量电非正弦周期量电路分析路分析8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:08第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析n n4.14.1非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解n n4.24.2非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n4.34.3非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n4.44.4非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率8/17/2024电路与电子技术电路与电子
2、技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:08第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析n n在电工技术和电子技术中常常会遇到非正弦变化的在电工技术和电子技术中常常会遇到非正弦变化的电压和电流。例如，在三极管放大电路中，各部分电压和电流。例如，在三极管放大电路中，各部分的工作电压和电流都是交、直流两种电量的叠加，的工作电压和电流都是交、直流两种电量的叠加，所以是非正弦量。又如，脉冲波、方波是计算机和所以是非正弦量。又如，脉冲波、方波是计算机和自动控制系统中常使用的信号，它们均是非正弦信自动控制系
3、统中常使用的信号，它们均是非正弦信号。如图号。如图4.14.1所示是几种非正弦波形。所示是几种非正弦波形。图4.1 非正弦波形8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解n n设非正弦周期函数设非正弦周期函数f(tf(t) )的周期为的周期为T T，其角频率为，其角频率为 ，函数，函数f(tf(t) )的傅里叶级数的展开式为的傅里叶级数的展开式为n n式中，式中，a a0 0、a ak k和和b bk k称为傅里叶系数
4、称为傅里叶系数, ,可按以下公式求可按以下公式求得得8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解n n若把式若把式(4-1)(4-1)中同频率的正弦量和余弦量合并，傅里中同频率的正弦量和余弦量合并，傅里叶级数还可以写成另一种形式叶级数还可以写成另一种形式n n比较式比较式(4-1)(4-1)和式和式(4-3)(4-3)，得出两式之间有下列关系，得出两式之间有下列关系8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（
5、上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解n n【例例4.14.1】求图求图4.24.2所示周期性方波所示周期性方波u(tu(t) )的傅里叶的傅里叶级数展开式。级数展开式。n n解：解：n n由式由式(4-2)(4-2)可得各项系数可得各项系数图4.2 例4.1图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正
6、弦周期量的分解n n根据式根据式(4-1)(4-1)，周期性方波电压的傅里叶展开式为，周期性方波电压的傅里叶展开式为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解n n表表4.14.1给出了常见的非正弦周期函数波形及相应的傅里叶级数给出了常见的非正弦周期函数波形及相应的傅里叶级数展开式，应用时可直接查表。展开式，应用时可直接查表。名称名称f f( (tt) )的波形的波形图图f f( (tt) )的傅里叶级的傅里叶级矩形
7、矩形波波锯齿锯齿波波表4.1常见的非正弦周期函数波形及相应的傅里叶级数8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解名称名称f f( (tt) )的波形的波形图图f f( (tt) )的傅里叶级的傅里叶级矩形矩形脉冲脉冲三角三角波波梯形梯形波波8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084
8、.1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解名称名称f f( (tt) )的波形的波形图图f f( (tt) )的傅里叶级的傅里叶级矩形矩形波波锯齿锯齿波波8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n1. 有效值n n任何周期电流任何周期电流i( i(或电压或电压u)u)的有效值在的有效值在3.1.23.1.2节中已经定节中已经定义过，即义过，即n n设某一非正弦周期电流的傅里叶级数为设某一非正
9、弦周期电流的傅里叶级数为n n则其有效值则其有效值8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n将上式右边平方后，展开得以下各项，即将上式右边平方后，展开得以下各项，即8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有
10、效值与平均值n n将以上将以上4 4式代入式代入(4-5)(4-5)式中，得式中，得n n式中，式中，I I1 1，I I2 2是各次谐波分量的有效值。是各次谐波分量的有效值。n n同理，非正弦周期电压的有效值为同理，非正弦周期电压的有效值为n n由此得出，非正弦周期电流由此得出，非正弦周期电流( (或电压或电压) )的有效值，等的有效值，等于它的直流分量的平方与各次谐波分量有效值的平于它的直流分量的平方与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。方和的平方根。8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量
11、电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n2.平均值n n非正弦周期电流非正弦周期电流i i或电压或电压u u的平均值，定义为其绝对值在一的平均值，定义为其绝对值在一个周期内的平均值，用下式表示个周期内的平均值，用下式表示n n若是横轴对称的奇次谐波函数，即若是横轴对称的奇次谐波函数，即 ，可取，可取半个周期计算其平均值，即半个周期计算其平均值，即8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2
12、 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n研究非正弦周期电流的平均值的研究非正弦周期电流的平均值的物理意义是为了计算经全波整流物理意义是为了计算经全波整流电路之后电流、电压的平均值。电路之后电流、电压的平均值。这是因为取电流、电压的绝对值这是因为取电流、电压的绝对值相当于把交流量的负半周的值变相当于把交流量的负半周的值变为相对应的正值，如图为相对应的正值，如图4.44.4所示的正弦电压波形的平所示的正弦电压波形的平均值。均值。n n所以，常把交流电流所以，常把交流电流( (或交流电压或交流电压) )的绝对值在一个的绝对值在一个周期内的平均值定义为整流平均值。周期内的平均值
13、定义为整流平均值。图4.4 正弦电压波形的平均值8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n【例例4.24.2】求图求图4.54.5所示波形电流的有效值和平均所示波形电流的有效值和平均值。值。n n解：根据图解：根据图4.54.5写出电流在一个周写出电流在一个周期内的数学表达式为期内的数学表达式为n n根据有效值的定义，有效值为根据有效值的定义，有效值为图4.5 例4.2图8/17/2024电
14、路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n平均值为平均值为n n【例例4.34.3】计算图计算图4.64.6所示周期方波电压的有效值所示周期方波电压的有效值和平均值。和平均值。n n解：周期方波电压的数学表达式为解：周期方波电压的数学表达式为图4.6 例4.3图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/
15、17/2024 03:084.2 非正弦周期量的有效值与平均值非正弦周期量的有效值与平均值n n方波电压的有效值为方波电压的有效值为n n方波电压的平均值为方波电压的平均值为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n对于一个已知的非正弦周期电压对于一个已知的非正弦周期电压( (或电流或电流) )激励可以激励可以分解为傅里叶级数分解为傅里叶级数n n此时把该激励看做由直流电压源与一系列不同频率
16、此时把该激励看做由直流电压源与一系列不同频率的正弦交流电压源的串联，它们共同作用于电路之的正弦交流电压源的串联，它们共同作用于电路之中，如图中，如图4.74.7所示。所示。图4.7 非正弦周期电压作用于线性电路8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n【例例4.44.4】如图如图4.8(a)4.8(a)所示的所示的R R、L L、C C串联电路，串联电路，电路中的电压电路中的电压u=u=40
17、+180sint+60sin(3t+45)40+180sint+60sin(3t+45)V V，并，并已知已知R=10R=10，L=0.05HL=0.05H，C=50FC=50F，=314rad/s=314rad/s。试求电。试求电路中的电流路中的电流i i及电流的有效值。及电流的有效值。图4.8 例4.4图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n解：因为电压展开式已知，所以首先应用叠加定
18、理，解：因为电压展开式已知，所以首先应用叠加定理，令直流分量单独作用，其等效电路如图令直流分量单独作用，其等效电路如图4.8(b)4.8(b)所示，所示，电路中的电流为电路中的电流为I I0 0=0=0(L(L短路，短路，C C开路开路) )n n基波分量作用，其等效电路如图基波分量作用，其等效电路如图4.8(c)4.8(c)所示，电路阻所示，电路阻抗和电流分别为抗和电流分别为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦
19、周期电流的线性电路计算n n基波电压作用的等效电路电流的时域值为基波电压作用的等效电路电流的时域值为n n三次谐波作用的等效电路如图三次谐波作用的等效电路如图4.8(d)4.8(d)所示，电路阻抗所示，电路阻抗和电流分别为和电流分别为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n三次谐波电压作用的电路电流的时域值为三次谐波电压作用的电路电流的时域值为n n电路电流为电路电流为n n电流的有效值为
20、电流的有效值为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n【例例4.54.5】半波整流电压的波形如图半波整流电压的波形如图4.9(a)4.9(a)所示，所示，其中周期其中周期T=10msT=10ms，求其通过如图，求其通过如图4.9(b)4.9(b)所示的所示的RLRL滤波电路后的输出电压滤波电路后的输出电压u u。n n解：由表解：由表4.14.1查出给定电压的傅里叶级数查出给定电压的傅里叶
21、级数图4.9 例4.5图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n取前取前3 3项进行计算，项进行计算，U Umm=100V=100V，电压，电压u uS S为为u uS S(t)31.8+50sint-21.2cos2t(t)31.8+50sint-21.2cos2tn n直流分量作用，电感短路，故直流分量作用，电感短路，故U U0 0=31.8V=31.8Vn n基波分量作用，感抗为基波
22、分量作用，感抗为n n输出电压的基波分量为输出电压的基波分量为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n基波电压的瞬时值为基波电压的瞬时值为U U1 1(t)=15.2sin(t-72.3)V(t)=15.2sin(t-72.3)Vn n二次谐波作用，感抗为二次谐波作用，感抗为X XL2L2=2L=2X=2L=2XL1L1=628 =628 n n输出电压的二次谐波分量为输出电压的二次谐波分
23、量为n n二次谐波电压的瞬时值为二次谐波电压的瞬时值为U U2 2(t)=-3.3cos(2t-81)V(t)=-3.3cos(2t-81)V8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.3 非正弦周期电流的线性电路计算非正弦周期电流的线性电路计算n n将各分量的瞬时值进行叠加，输出电压的瞬时值为将各分量的瞬时值进行叠加，输出电压的瞬时值为u(tu(t)=31.8+15.2sin(t-72.3)-3.3cos(2t-81) V)=31.8+15.2sin(t-
24、72.3)-3.3cos(2t-81) Vn n从以上计算结果可以看出，半波整流的电压信号经从以上计算结果可以看出，半波整流的电压信号经过过RLRL滤波电路之后，直流分量不变，而高次谐波的滤波电路之后，直流分量不变，而高次谐波的振幅衰减很大，输出电压的脉动大大减小，电路具振幅衰减很大，输出电压的脉动大大减小，电路具有低通作用。有低通作用。8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n对线性一端口
25、网络，设其端电压为非正弦周期电压，对线性一端口网络，设其端电压为非正弦周期电压，端电流为相同周期的非正弦周期电流。根据电功率端电流为相同周期的非正弦周期电流。根据电功率的定义，该线性一端口网络吸收的瞬时功率为的定义，该线性一端口网络吸收的瞬时功率为p(tp(t)=)=u(t)i(tu(t)i(t) )n n式中式中n n则电路吸收的平均功率是瞬时功率在一个周期内的则电路吸收的平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，即平均值，即8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 0
26、3:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n将式将式(4-12)(4-12)展开展开, ,并积分求和，可得出下列并积分求和，可得出下列5 5个式子：个式子：8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n第第(5)(5)式中的式中的U Uk k和和I Ik k分别为分别为k k次谐波电压和电流的有次谐波电压和电流的有效值，效值， 为为k k次谐波电压与电流的相位差
27、。次谐波电压与电流的相位差。n n其中，其中，(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)式的积分值等于式的积分值等于0 0，说明不同，说明不同频率的电压和电流不能构成平均功率，这是由于三频率的电压和电流不能构成平均功率，这是由于三角函数的正交性质所形成的结果。角函数的正交性质所形成的结果。n n第第(1)(1)式积分值为电压和电流的直流分量的乘积，即式积分值为电压和电流的直流分量的乘积，即直流分量构成的功率直流分量构成的功率P0=I0U0P0=I0U0；n n第第(5)(5)式为同次谐波电压和电流的乘积，其积分结果式为同次谐波电压和电流的乘积，其积分结果为各次谐波构成的平均功率的叠加，即为各次谐
28、波构成的平均功率的叠加，即8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n因此，非正弦周期电流电路的平均功率为因此，非正弦周期电流电路的平均功率为n n非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量、基非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量、基波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和。波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和。n n根据等效条件，等效的正弦电压和正弦电流之间的根据等效条件，等效的正
29、弦电压和正弦电流之间的相位差为相位差为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n【例例4.64.6】在如图在如图4.104.10所示电路中，所示电路中，求电流求电流i i的有效值和电路所消耗的功率。的有效值和电路所消耗的功率。n n解：根据解：根据KCLKCL，i=ii=i1 1+i+i2 2，利用三角，利用三角公式可以得出公式可以得出n n电流的有效值为电流的有效值为n n电路所消耗的功率
30、为电路所消耗的功率为图4.10 例4.6图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n【例例4.74.7】电路如图电路如图4.114.11所示，所示，n n求电流求电流i i和电压和电压uabuab，并验证功率平衡。，并验证功率平衡。图4.11 例4.7图8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量
31、电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n解：利用叠加定理，具体步骤如下。解：利用叠加定理，具体步骤如下。n n(1)(1)直流分量作用直流分量作用I I0S0S=0=0，此时，此时i iS S看做开路；看做开路；U U0S0S=0.2V=0.2V，电容开路，电感短路，电压，电容开路，电感短路，电压u uabab与电流的与电流的直流分量分别为直流分量分别为n n(2)(2)基波分量作用基波分量作用n n二者共同作用，此时电感二者共同作用，此时电感L=1HL=1H和电容和电容C=1FC=1F产生并产生并联谐振，其并联谐振阻抗为联谐
32、振，其并联谐振阻抗为 ，视做开路，电流，视做开路，电流i i1 1与与电压电压u uab1ab1分别为分别为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n(3)(3)二次谐波分量作用二次谐波分量作用i iS2S2=0=0，看做开路，看做开路， 单独作用，电单独作用，电路路a a、b b之间的阻抗之间的阻抗Z Zab2ab2为为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（
33、第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n相量电流相量电流和和电压分别为电压分别为所以8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n(4) (4) 将各分量产生的电流和电压的瞬时值进行叠加，将各分量产生的电流和电压的瞬时值进行叠加，得得n n(5) (5) 校验功率平衡校验功率平衡n n电压源电压源u uS S发出的平均功率为发出的平均功率为8/17/2024电路与电子技术电路与电子技术（上册（上册电路原理）（第电路原理）（第2版）版）第第4章章 非正弦周期量电路分析非正弦周期量电路分析8/17/2024 03:084.4 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率n n电流源发出的平均功率为电流源发出的平均功率为所以所以8/17/2024
