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1、总总 复复 习习第第1 1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率B(1). 事件的事件的包含包含事件事件A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生 一、事件的关系与运算一、事件的关系与运算A (2) 事件的事件的和和(并并) 事件事件 A 与与 B至少有一个发生至少有一个发生BA A+BA+B 意味着意味着 A 发生或者发生或者 B 发生发生.(3) 事件的事件的积积 (交交) 事件事件 A 与事件与事件 B 同时发生的事件同时发生的事件B AAB(4) 互逆事件互逆事件(对立事件对立事件) 若事件若事件 A 与与 B 满足满足: A + B = , AB = , 则称事件则称事件 A
2、 与与 B 互逆互逆 (或对立或对立) .如图中黄色部分所示如图中黄色部分所示. A(5) 互不相容事件互不相容事件(互斥事件互斥事件)A B 若事件若事件 A 与与 B 不能同时发生不能同时发生, 即即 AB = , 则称事件则称事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (或互斥或互斥).如图所示如图所示.互斥与互逆有什么区别与联系互斥与互逆有什么区别与联系?(1) AB = , A 与与 B 互斥互斥(2) A + B = , AB = , A 与与 B 互逆互逆. 互斥不一定互逆互斥不一定互逆互逆一定互斥互逆一定互斥A B A只需要满足一个条件只需要满足一个条件 需要同时满足两个条件需要同时
3、满足两个条件事件事件 A, B 满足对偶律满足对偶律:“并并的补的补”= “补的补的交交”“交交的补的补”= “补的补的并并”P20：2 用事件用事件A, B, C 的运算关系式表示的运算关系式表示下列事件下列事件: (4) A发生发生, B，C 不发生不发生;(1) A, B, C 都发生都发生; (3) A, B, C 不都发生不都发生;(5) A, B, C 恰有恰有1个发生个发生; (7) A, B, C 中至少有两个发生中至少有两个发生; (8) A, B, C 中至多只有一个发生中至多只有一个发生. (2) A, B, C 都不发生都不发生; (8) A, B, C 中至多只有一个
4、发生中至多只有一个发生. (7) A, B, C 中至少有两个发生中至少有两个发生; 三、条件概率三、条件概率二、重要公式二、重要公式四、乘法公式四、乘法公式P21：12 ，14定义定义4 若两个事件若两个事件 A、B 中中, 任一事件的发生与否任一事件的发生与否不影响另一事件的概率不影响另一事件的概率, 则称事件则称事件 A 与与 B 是相互独是相互独立的，立的，五、事件的独立性五、事件的独立性总总 复复 习习第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布一、离散型随机变量分布律的一、离散型随机变量分布律的性质性质 X P练习练习 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为 X P
5、方法方法: (1) 根据分布律的性质根据分布律的性质 2 直接计算直接计算; P26：例：例4 X P 0 1 ( 0 p 1 )1.两点分布（两点分布（01）分布）分布）二、常见的离散型随机变量的概率分布二、常见的离散型随机变量的概率分布2.二项分布二项分布若若其中其中是常数，是常数，P40：7 3.泊松（泊松（Poisson）分布）分布密度函数密度函数 f (x) 的性质的性质三、三、 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度X 在在 a, b 上上取值的概率取值的概率f(x)在在 a, b 上的定积分上的定积分P41：12(1) 1. 1. 均匀分布均匀分布四、常见的连续性随机变
6、量的分布四、常见的连续性随机变量的分布2.2. 指数分布指数分布3. 正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布 N( 0, 1 )一般正态转化为标准正态一般正态转化为标准正态P41：17, 18 练习练习 3定义定义5 5 设设X为随机变量为随机变量, , x是一个数是一个数, ,则概率则概率PXx与与x有关，随有关，随x的变化而变化，因而是的变化而变化，因而是x的的函数函数. .称称F(x)= PXx为为X的的分布函数分布函数。五、随机变量的分布函数五、随机变量的分布函数分布函数分布函数F( (x) )的取值本身就是一个概率值，的取值本身就是一个概率值，F( (x) )的定义域为整个实数域。
7、的定义域为整个实数域。分布函数是概率密度的变上限积分，连续点处有：分布函数是概率密度的变上限积分，连续点处有：P41：13 解解例例 若若X的分布函数为的分布函数为 nP41： 19(1)总总 复复 习习第第3 3章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.离散型离散型一、数学期望（均值）一、数学期望（均值）2.连续型连续型 几种离散型随机变量几种离散型随机变量 X 的数学期望的数学期望 两点分布两点分布: X01P1 pp二项分布二项分布: X B ( n, p) , 则则 泊松分布泊松分布: 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望的数学期望 均匀分布均匀分布: 标准正态分布标准正态
8、分布: X N ( 0, 1) 正态分布正态分布: 指数分布指数分布: 二、方差二、方差重要公式!二项分布二项分布X B ( n, p) , 泊松分布泊松分布: 正态分布正态分布: 均匀分布均匀分布: X U ( a, b), 指数分布指数分布: X E () P53 表表3-2 六大分布及其数学期望与方差六大分布及其数学期望与方差 P55：12 X服从二项分布服从二项分布 P51:例例3-15 总总 复复 习习第第4 4章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布XY一、二维离散型变量联合分布及边缘分布一、二维离散型变量联合分布及边缘分布二、二维均匀分布二、二维均匀分布定定义7 7 三、随
9、机变量的独立性三、随机变量的独立性P65例例4 设设 ( X , Y)的分布律为的分布律为12312XY12312XYP80:11 P66例例4 设随机变量设随机变量 的联合分布为的联合分布为 YX0100.20.410.30.1求二维随机变量的函数求二维随机变量的函数Z Z的分布的分布: :四、二维离散型随机变量的函数的分布四、二维离散型随机变量的函数的分布0.20.40.30.1(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)把把Z Z值相同相同项对应的概率的概率值合并可得合并可得: 0 1 20.2 0.7 0.10 10.9 0.101120001P81:14(1)(2) 五、协方差与相关系数
10、五、协方差与相关系数 - 1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1XYYX例例 设（设（ X ，Y ）的联合分布律为）的联合分布律为判断判断 X与与Y的相关性和独立性。的相关性和独立性。P81:17 总总 复复 习习第第5 5章章 样本及抽样分布样本及抽样分布定义定义3 设设(X1， X2， ， Xn)为总体为总体X的一个样本，的一个样本， g(X1， X2， ， Xn)是一个样本函数是一个样本函数设设g(X1， X2， ， Xn) 不不 含含 未未 知知 参参 数数，则称，则称g(X1， X2， ， Xn)为一个为一个统计量统计量 一、统计量
11、一、统计量 P98：2 样本均值样本均值样本均值样本均值和和样本方差样本方差样本均值观测值样本均值观测值样本方差样本方差样本方差样本方差样本标准差样本标准差：S 更为常用!二、抽样分布二、抽样分布 1.正态总体样本的线性函数的分布正态总体样本的线性函数的分布 重要公式!2. 分布分布 “卡方卡方”分分布布 P98：7 3. 分布分布 Student 分布分布 xf(x)0图5-2总总 复复 习习第第6 6章章 参数估计参数估计1.矩估计法的基本思想矩估计法的基本思想 用用样本矩样本矩去估计去估计总体矩总体矩定义定义4 用样本用样本k阶矩去估计总体的阶矩去估计总体的k阶矩的方法称为阶矩的方法称为
12、矩估计法矩估计法. 矩估计值矩估计值，矩估计矩估计.样本样本k阶矩阶矩.样本样本k阶中心矩阶中心矩.总体总体k阶矩阶矩.总体总体k阶中心矩阶中心矩.一、矩估计法一、矩估计法2.矩估计的求法矩估计的求法(1) 列出矩估计式求总体列出矩估计式求总体X的前的前k阶矩阶矩(2) 求解关于矩估计量的方程组求解关于矩估计量的方程组 (3) 求出矩估计求出矩估计解解 (1) 列出矩估计式列出矩估计式(2) 求解关于矩估计量的方程组求解关于矩估计量的方程组 (3) 求出矩估计求出矩估计以样本矩代替相应的总体矩以样本矩代替相应的总体矩: 例例1 设某型号节能灯的寿命设某型号节能灯的寿命X (以小时计以小时计)
13、服从指数分服从指数分布：布：解解：1890 2010 1930 2100 1780 2030 1920 2000 1680 1830 为未知参数为未知参数, 现经过抽查现经过抽查10个该节能灯，得个该节能灯，得样本值为：样本值为：P127：51.无偏性无偏性二二. 点估计的评价标准点估计的评价标准P127：62.有效性有效性解解 因因P127：7三、区间估计三、区间估计(1)选取待估参数选取待估参数 的较优的点估计的较优的点估计(2)利用利用 ，构造一个包含，构造一个包含 的样本函数的样本函数(该函数的该函数的分布已知且其分布与分布已知且其分布与 无关无关)(4)利用不等式，恒等变形后化为利用
14、不等式，恒等变形后化为单正态总体均值的置信区间单正态总体均值的置信区间解解该函数服从的标准正态分布不包含任何未知参由该函数服从的标准正态分布不包含任何未知参由标准正态分布的双侧分位数，有标准正态分布的双侧分位数，有单正态总体均值的置信区间单正态总体均值的置信区间说明：当说明：当 已知时，掌握的信息会多一些，对已知时，掌握的信息会多一些，对 的估的估计精度要高一些；反之，当计精度要高一些；反之，当 未知时，对未知时，对 的估计精的估计精度会低一些，表现为度会低一些，表现为 的置信区间长度要长一些的置信区间长度要长一些 135 125 140 105 103 109 95 99 124 说明：数学平均成绩估计在说明：数学平均成绩估计在105分至分至126分之间，分之间，这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为90% P128：11
