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1、2024/8/161运筹学运筹学OPERATIONS RESEARCH2024/8/162第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论 ( Dual Linear Programming, DLP)n原问题与对偶问题原问题与对偶问题n对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质n影子价格影子价格n对偶单纯形法对偶单纯形法n灵敏度分析灵敏度分析n参数线性规划参数线性规划2024/8/1631 1 对偶问题的提出对偶问题的提出1 1.1 .1 线性规划单纯形法的矩阵描述线性规划单纯形法的矩阵描述设有线性规划问题的标准形式设有线性规划问题的标准形式将系数矩阵表示成：将系数矩阵表示成：2024/8/16
2、4初始单纯形表初始单纯形表初始解初始解 非基变量非基变量 基变量基变量 0基可行解基可行解基变量基变量 非基变量非基变量 0初等行变换后初等行变换后初始表中是初始表中是 I 的位置，经变换后成为的位置，经变换后成为 .2024/8/165其中其中则则 例：书例：书 P36 P36 例例1010，验证上述公式。，验证上述公式。 上述公式对于灵敏度分析很有帮助上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。 记记2024/8/166例例 甲方生产计划问题：甲方生产计划问题： 能力能力 设备设备A 2 2 12 设备设备B 4 0 16 设备设备C 0 5 15 利润利润 2 3，各生产多少各生产多少, , 可获
3、最大利润可获最大利润? ?1 1.2 .2 对偶问题的提出对偶问题的提出 设有原问题设有原问题 2024/8/167现在现在乙方乙方租借设备租借设备, ,甲方以何种价格将设备甲方以何种价格将设备A A、B B、C C租借给乙方比较合理？租借给乙方比较合理？ 请为其定价。请为其定价。思路思路： 就甲方而言就甲方而言， 租金收入应不低于将设备用租金收入应不低于将设备用于自己生产时的利润。于自己生产时的利润。而就乙方而言而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好，这样双方才可能达成协议。条件下越小越好，这样双方才可能达成协议。解：解： 假设假设A A、
4、B B、C C的单位租金分别为的单位租金分别为 。2024/8/168于是得到下述于是得到下述 的线性规划模型：的线性规划模型：生产产品生产产品的资源用于出租时，租金收入应满足：的资源用于出租时，租金收入应满足：类似的，生产产品类似的，生产产品的资源用于出租时，租金收入的资源用于出租时，租金收入应满足：应满足：总的租金收入：总的租金收入：2024/8/169原问题原问题 对偶问题对偶问题 2024/8/1610原问题原问题 对偶问题对偶问题 用矩阵将上述原问题对偶问题写出用矩阵将上述原问题对偶问题写出2024/8/1611即：即：原原问问题题 对对偶偶问问题题 2024/8/16122 2 原
5、问题与对偶问题原问题与对偶问题对于一般的线性规划问题对于一般的线性规划问题2024/8/1613类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个应一个“ 对偶变量对偶变量”，它就相当于给各资源的单，它就相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的位定价。于是我们有如下的对偶规划对偶规划：2024/8/1614对偶问题与原问题的关系：对偶问题与原问题的关系：原原问问题题 对对偶偶问问题题 目标函数：目标函数：MAXMAX约束条件：约束条件：m m个个变量变量 ： n个个目标函数：目标函数：MIN约束条件：约束条件：n个个变量变量 ： m个个2024/8/1
6、615这是规范形式这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？如何写出其对偶问题？可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶问题。问题。2024/8/1616例例 写出下述规划的对偶问题写出下述规划的对偶问题于是对偶问题即为：于是对偶问题即为：解解 先将该问题化为规范形式先将该问题化为规范形式也即为：也即为：互为对偶互为对偶2024/8/1617如何写出非规范的原问题相应的对偶问题：如何写出非规范的原问题相应的对偶问题：
7、1.目标函数目标函数MIN MAX 2.约束条件约束条件3.约束条件约束条件 = ? 4. 变量变量 ? 例：例：P55 例例2，写出下，写出下面规划的对偶规划面规划的对偶规划2024/8/1618解：解：将原问题模型变形将原问题模型变形,则对偶问题是则对偶问题是2024/8/1619小结：小结：对偶问题与原问题的关系：对偶问题与原问题的关系：原原问问题题 对对偶偶问问题题 目标函数：目标函数：MAX约束条件：约束条件：m个约束个约束变量变量 ： n个变量个变量目标函数：目标函数：MIN约束条件：约束条件：n个约束个约束变量变量 ： m个变量个变量约束条件右端项约束条件右端项价值系数价值系数价
8、值系数价值系数约束条件右端项约束条件右端项2024/8/16203 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质2、无界性、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则如果原问题（对偶问题）有无界解，则其对偶问题其对偶问题(原问题）无可行解。原问题）无可行解。就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，就上节所讨论的一般的线性规划问题及其对偶问题，有如下的性质：有如下的性质：1、弱对偶性、弱对偶性 如果如果 分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有考虑利用考虑利用 及及 代入。代入。2024/8/16213、最优性、最优性如果如果 分别是原问题和对分别是原问题和对偶
9、问题的可行解，且有偶问题的可行解，且有则则 分别是原问题和对分别是原问题和对偶问题的偶问题的最优解。最优解。2024/8/1622证明证明 设设 分别是原分别是原问题和对偶问题的最优解，则由弱对偶性，问题和对偶问题的最优解，则由弱对偶性，又又 ，所以，所以2024/8/16234、强对偶性、强对偶性 如果原问题有最优解，则其对如果原问题有最优解，则其对偶问题也必有最优解，且两者最优目标函数值相偶问题也必有最优解，且两者最优目标函数值相等，即等，即 。证明证明 设有线性规划问题设有线性规划问题经单纯形法计算后，令经单纯形法计算后，令 ,最终表中最终表中2024/8/1624基可行解基变量 非基变
10、量 所以所以 ,即：即：由此可知由此可知 是对偶问题的是对偶问题的可行解可行解 ,又又 由最优性知由最优性知 就是最优解。就是最优解。2024/8/16255、互补松弛性：、互补松弛性：在线性规划的最优解中，如果对在线性规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值非零，则该约束条应某一约束条件的对偶变量值非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对偶变量一定为零。即式，则其对偶变量一定为零。即若若 若若2024/8/1626证明证明 由弱对偶性知：由弱对偶性知：又因在最优解中又因在最优解中 ，于是上式，于是上式应为等式，即有
11、应为等式，即有而而 故要使得上式成立，必有故要使得上式成立，必有2024/8/1627后半部分是前一命体的逆否命题，自然成立。后半部分是前一命体的逆否命题，自然成立。互补松弛性还可写为互补松弛性还可写为对偶问题的相应的互补松弛性见书对偶问题的相应的互补松弛性见书 P58。例例 书书P76 ，习题，习题2-4 即即2024/8/16286、设原问题与对偶问题分别是：设原问题与对偶问题分别是：则原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解则原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解（不一定是可行解）（不一定是可行解），对应关系如下表，对应关系如下表 。初始解 非基变量 基变量 02024/8/1629说明：
12、说明：原问题与对偶问题存在一对互补基解，原原问题与对偶问题存在一对互补基解，原问题的松弛变量与对偶问题的变量对应；原问题问题的松弛变量与对偶问题的变量对应；原问题的变量与对偶问题的剩余变量对应。互补的基解的变量与对偶问题的剩余变量对应。互补的基解对应的目标函数值相等。对应的目标函数值相等。2024/8/1630例例 书书P59 例例3 2300023101/20-1/50400-214/53501001/500-10-1/52024/8/1631基1120-1/201/50-4/511/5-1/5040332024/8/16321、 对偶变量对偶变量 可理解为对一个单位第可理解为对一个单位第
13、种资源种资源的估价，称为的估价，称为影子价格影子价格，但并非市场价格。，但并非市场价格。2、 对偶变量对偶变量 的值（即影子价格）表示第的值（即影子价格）表示第 种资种资源数量变化一个单位时，目标函数的增量。源数量变化一个单位时，目标函数的增量。因为因为4 4 影子价格影子价格假设有假设有原问题原问题和和对偶问题对偶问题如下：如下：2024/8/1633资源增加一个单位时，最优解及目标函数值的变化资源增加一个单位时，最优解及目标函数值的变化目标函数等值线2024/8/16343、 影子价格可用于指导资源的购入与卖出。影子价格可用于指导资源的购入与卖出。当当 影子价格影子价格 市场价格时市场价格
14、时，买入；，买入； 影子价格影子价格 市场价格市场价格 时，卖出时，卖出.4、 由互补松弛性可知，由互补松弛性可知， 即影子价格为零。即影子价格为零。经济解释：资源未用完，再增加对目标函数也无贡经济解释：资源未用完，再增加对目标函数也无贡献。献。反之，反之， 表明该种资源用表明该种资源用尽，再购进用于扩大生产可增加总利润。尽，再购进用于扩大生产可增加总利润。 2024/8/16355 5 对偶单纯形法对偶单纯形法在单纯形表中，在单纯形表中， 列对应原问题的基可行解，列对应原问题的基可行解， 行行对应对偶问题的一个对应对偶问题的一个基解基解（不一定可行），当（不一定可行），当 时，在检验数行就得
15、到对偶问题的时，在检验数行就得到对偶问题的基可行解基可行解，此时，此时两个问题的目标函数值相等两个问题的目标函数值相等 ，由由最优性条件最优性条件知，两个问题都达到了最优解。知，两个问题都达到了最优解。单纯形法：单纯形法：找一个初始基可行解，保持找一个初始基可行解，保持b列为正，通列为正，通过迭代找到下一个基可行解，使目标函数值不断增大，过迭代找到下一个基可行解，使目标函数值不断增大，当当检验数行全部小于等于零检验数行全部小于等于零时，达到最优解。时，达到最优解。2024/8/1636对偶单纯形法思想：对偶单纯形法思想：找一个对偶问题的基可行解（保持找一个对偶问题的基可行解（保持 行非正），原
16、行非正），原问题的解为基解（问题的解为基解（ b列可以为负），通过迭代，当列可以为负），通过迭代，当b列全部为正（原问题也达到了基可行解）列全部为正（原问题也达到了基可行解），即找到最，即找到最优解。优解。2024/8/16373、检查是否达最优、检查是否达最优 ：b列列 非负非负时达最优，否则继时达最优，否则继续续1、2。对偶单纯形法计算步骤：对偶单纯形法计算步骤：1、确定出基变量、确定出基变量 ：选择选择b列中负值最小者对应变列中负值最小者对应变量出基，即量出基，即 对应的对应的 为出为出基变量。基变量。2、确定进基变量、确定进基变量 ：最小比值规则，即以最小比值规则，即以 对应的对应的
17、为进基变量，为进基变量， 为主元素进行迭代为主元素进行迭代。2024/8/16381、 为何只考虑为何只考虑 行中行中 的元素对应的变量的元素对应的变量进基？进基？为使迭代后的基变量取正值。为使迭代后的基变量取正值。2、为何采用最小比值规则选择进基变量？、为何采用最小比值规则选择进基变量？为了使得为了使得迭代后的多偶问题解仍为可行解（检验数行仍为非迭代后的多偶问题解仍为可行解（检验数行仍为非正）正）2024/8/16393、 原问题无可行解的判别准则：原问题无可行解的判别准则：当对偶问题存在可当对偶问题存在可行解时，若有某个行解时，若有某个 ，而所有，而所有 ，则原问，则原问题无可行解，对偶问
18、题目标值无界。题无可行解，对偶问题目标值无界。因为第因为第r r行的约束方程即为：行的约束方程即为： 其中其中 ， ，因此不可能存在，因此不可能存在 使上使上式成立。也即原问题无可行解。式成立。也即原问题无可行解。2024/8/1640例例、用对偶单纯形法求解下述问题、用对偶单纯形法求解下述问题解解 将问题改写为目标最大化，并化为标准型将问题改写为目标最大化，并化为标准型2024/8/1641列单纯形表列单纯形表 -12-16-15000-2-2-40100-3-20-501-12-16-15000-2-2-4010-153/52/5010-1/5-6-1600-3-121120-1/20-1
19、51/50-4/511/5-1/50-40-3-3达到最优达到最优 2024/8/1642注意：注意：1、 使用对偶单纯形法时，使用对偶单纯形法时，当约束条件是当约束条件是 时，可时，可以不必添加人工变量。以不必添加人工变量。 2、使用对偶单纯形法时，、使用对偶单纯形法时，初始单纯形表中要保证对初始单纯形表中要保证对偶解为可行解常难以做到，偶解为可行解常难以做到， 所以一般不单独使用，所以一般不单独使用，常与灵敏度分析结合使用。常与灵敏度分析结合使用。 2024/8/16436 6 灵敏度分析灵敏度分析灵敏度分析：灵敏度分析：线性规划问题中的某些参数发生变线性规划问题中的某些参数发生变化，对解
20、的影响。（化，对解的影响。（C C，A A，b b）灵敏度分析的一般步骤：灵敏度分析的一般步骤：1 1、 将参数的改变经计算后反映到最终单纯形表中；将参数的改变经计算后反映到最终单纯形表中；2 2、 检查原问题和对偶问题是否仍为可行解；检查原问题和对偶问题是否仍为可行解； 3 3、 按按照下表对应情况，决定下一步骤。照下表对应情况，决定下一步骤。原问题原问题对偶问题对偶问题结论或计算步骤结论或计算步骤可行解可行解仍是最优解可行解非可行解用单纯形法继续迭代得到新的最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代得到新的最优解非可行解非可行解引入人工变量，重新编单纯形表，重新计算2024/8/16446
21、 6. .1 1 C C 的变化分析的变化分析 C C 的变化只影响检验数。的变化只影响检验数。例例1 1 设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型试分析试分析 分别在什么范围变化时，最优解不变分别在什么范围变化时，最优解不变？ 2024/8/16452300023101/20-1/50400-214/53301001/500-10-1/5解：解：问题的最终单纯形表如下：问题的最终单纯形表如下：30003101/20-1/50400-214/53301001/50002024/8/16461 1、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则要使得问题的，则要使得问题的 最最优解保持不变，则检验数
22、行优解保持不变，则检验数行 即可，即要求即可，即要求2 2、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则要使得问题的，则要使得问题的 最最优解保持不变，则检验数行优解保持不变，则检验数行 即可，即要求即可，即要求2024/8/16476 6. .2 2 b b 的变化分析的变化分析b b的变化将只影响原问题的基可行解，即最终表中的变化将只影响原问题的基可行解，即最终表中的的b b列数值。列数值。例例2 设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型试分析试分析 分别在什么范围变化时，最优基分别在什么范围变化时，最优基不变？不变？ 2024/8/1648解：解：将将 重新计算后填入问题的最终单纯形表：重
23、新计算后填入问题的最终单纯形表：1 1、当、当 变化时，假设变化时，假设 ，则问题的解变为，则问题的解变为填入下表，得填入下表，得230002101/20-1/5000-214/5301001/500-10-1/52024/8/1649要使得最优基保持不变，则要使得最优基保持不变，则b b列数值列数值 即可，即即可，即要求要求同理可得同理可得 的变化范围是：的变化范围是： 的变化范围是：的变化范围是：2024/8/16506 6. .3 3 增加一个变量的变化分析增加一个变量的变化分析 增加一个变量，在方程组（矩阵增加一个变量，在方程组（矩阵A A）中就要增加）中就要增加一个系数列，在原来的最
24、终表中也要添加一列一个系数列，在原来的最终表中也要添加一列 ，检验数也要计算，其余部分不受影响。如果检验数检验数也要计算，其余部分不受影响。如果检验数行仍行仍 ，则最优解不变，否则继续迭代寻找最，则最优解不变，否则继续迭代寻找最优。优。一般分析步骤：一般分析步骤： 1 1、计算增加的新变量系数列计算增加的新变量系数列 在原最终表中的结果在原最终表中的结果 ； 2 2、计算、计算新变量对应的检验数新变量对应的检验数 ； 3 3、根据、根据 的符号判断是否仍是最优解，若是，最优解不变；的符号判断是否仍是最优解，若是，最优解不变；若不是，继续求解。若不是，继续求解。2024/8/1651例例3 3
25、设有如下的线性规划模型设有如下的线性规划模型, ,现增加变量现增加变量 ，其，其对应系数列为对应系数列为 ，价值系数，价值系数 ，请，请问最优解是否改变？问最优解是否改变？ 2024/8/1652解：解：最终表最终表2300023101/20-1/50400-214/53301001/500-10-1/52024/8/1653新变量的检验数及系数列分别为：新变量的检验数及系数列分别为：填入表中，易知未达最优，继续迭代求解。填入表中，易知未达最优，继续迭代求解。2024/8/16542300023101/20-1/50400-214/53301001/500-10-1/523101/20-1/5
26、0100-1/21/41/532011/2-1/4000-1/2-1/4-2/5010040411已达最优。最优解为已达最优。最优解为 最优目标值最优目标值2024/8/16556 6. .4 4 增加一个约束条件的变化分析增加一个约束条件的变化分析 增加一个约束条件，相当于增加一道工序。增加一个约束条件，相当于增加一道工序。一般分析步骤：一般分析步骤： 1 1、先将原最优解带入此新约束，若满足条件，说明此先将原最优解带入此新约束，若满足条件，说明此约束未起作用，原最优解不变；约束未起作用，原最优解不变； 2 2、否、否则，将新约束加入到最终表中，继续分析。则，将新约束加入到最终表中，继续分析
27、。例例4 4 在上例中添加新约束在上例中添加新约束 ，分析最，分析最优解的变化情况。优解的变化情况。 解：解：因为将原最优解因为将原最优解 带入此约束，带入此约束，不满足约束，原解已不是最优，继续分析。不满足约束，原解已不是最优，继续分析。2024/8/16562300023101/20-1/50400-214/53301001/50143200000-10-1/500001023101/20-1/50400-214/53301001/50-100-3/201/500-10-1/5000106x2024/8/165728/31000-1/10016/300018/153301001/502/3
28、0010-2/150000-2/51/3-4/30-2/3-2/3已达最优。最优解为已达最优。最优解为 最优目标值最优目标值2024/8/16587 7 参数线性规划参数线性规划参数线性规划：参数线性规划：研究参数连续变化时最优解的变化研究参数连续变化时最优解的变化以及目标函数值随参数变化的情况。以及目标函数值随参数变化的情况。注：注：当多个参数同时变化时，可以引入一个参数当多个参数同时变化时，可以引入一个参数 来表示这种变化。来表示这种变化。如：如：b b列多个值发生变化时，可表示成列多个值发生变化时，可表示成2024/8/1659求解参数线性规划的步骤：求解参数线性规划的步骤：1 1、 令
29、令 求解得最终单纯形表；求解得最终单纯形表；2 2、 将参数的变化反映到最终单纯形表中；将参数的变化反映到最终单纯形表中；3 3、 找到使得最优解不变的参数变化范围，在临界找到使得最优解不变的参数变化范围，在临界点处令参数增加或减少，分析最优解的变化，并分点处令参数增加或减少，分析最优解的变化，并分析目标函数值随参数变化的情况。析目标函数值随参数变化的情况。2024/8/1660例例5 5 求解下述参数线性规划问题求解下述参数线性规划问题: :2024/8/1661解：解：求得求得 时最终单纯形表并将参数的变化填时最终单纯形表并将参数的变化填入表中入表中 ： 0003101/20-1/5040
30、0-214/5301001/50002024/8/16621 1、由表可知，当、由表可知，当 时，即时，即 最优解不变最优解不变 目标函数值是：目标函数值是： 2024/8/16632 2、 是临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得到：作为进基变量，迭代一步得到：000062010-2/501640010301001/50002024/8/16643 3、由上表可知，当、由上表可知，当 时，即时，即 最优解不变最优解不变 目标函数值是目标函数值是 2024/8/16654 4、 是临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得
31、到：作为进基变量，迭代一步得到：0000122210001640010015050010002024/8/16665 5、由上表可知，当、由上表可知，当 时，最优解不再变化。时，最优解不再变化。目标函数值是目标函数值是 6 6、 是临界点，当是临界点，当 时，时， 所以选择所以选择 作为进基变量，迭代一步得到：作为进基变量，迭代一步得到：2024/8/166700041001/400500-5/25/412011/2-1/40000此时无论此时无论 如何增加，检验数始终为负，最优解不如何增加，检验数始终为负，最优解不再变化。目标函数值是再变化。目标函数值是 2024/8/16681524341
32、-12-2-3342024/8/1669例例6 6某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本、练习本三种产品，该厂现有工人记本、练习本三种产品，该厂现有工人100100人，每天人，每天白坯纸供应量限制是白坯纸供应量限制是3 3万万kgkg，如果单独生产各种产品，如果单独生产各种产品时，每人每天生产原稿纸时，每人每天生产原稿纸3030捆、日记本捆、日记本3030打、练习打、练习本本3030箱。已知原材料消耗为每捆原稿纸用白坯纸箱。已知原材料消耗为每捆原稿纸用白坯纸 公斤，每打日记本用白坯纸公斤，每打日记本用白坯纸 公斤，每箱练习公斤，每箱练习本用白坯
33、纸本用白坯纸 公斤。又知每捆原稿纸可盈利公斤。又知每捆原稿纸可盈利2 2元，元，每打笔记本盈利每打笔记本盈利3 3元，每箱练习本盈利元，每箱练习本盈利1 1元。试决定元。试决定 1 1、在现有生产条件下，工厂盈利最大的生产方案；、在现有生产条件下，工厂盈利最大的生产方案； 2 2、如果白坯纸的供应数量不变，当工人人数不足时、如果白坯纸的供应数量不变，当工人人数不足时可招收临时工，其工资支出为每人每天可招收临时工，其工资支出为每人每天4040元。元。 问该厂要不要招收临时工，最多招多少？问该厂要不要招收临时工，最多招多少？2024/8/1670解：解：设该厂每天生产原稿纸、日记本、练习本的数设该
34、厂每天生产原稿纸、日记本、练习本的数量分别是量分别是 ， 表示招收临时工的数量。表示招收临时工的数量。则有下列模型：则有下列模型： 时，得现有条件下的最优生产计划，如下表。时，得现有条件下的最优生产计划，如下表。2024/8/16712310032000017/31/10-102100010-4/3-1/104000-10/3-1/10-50由表中可知，劳动力的影子价格是由表中可知，劳动力的影子价格是5050元元/ /人（人（4040），所以），所以可以雇用工人扩大生产。将参数可以雇用工人扩大生产。将参数 反映到最终表中，得：反映到最终表中，得：231003017/31/10-10210-4/3-1/104000-10/3-1/10-502024/8/1672要使得最优基不变，须要使得最优基不变，须 即即 ，当，当 时，时， 最优基不变，最优解最优基不变，最优解 目标函数值目标函数值2001003002000100008000600040002024/8/16732310000-1/10-7/301/100121483/1000-5-15-6/100由上表可知，当由上表可知，当 时，最优解是时，最优解是目标函数值是目标函数值是 变变化情况可见图。化情况可见图。当当 时，时， 利用对偶单纯形法迭代一步，得结果如下：利用对偶单纯形法迭代一步，得结果如下：
