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1、柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出复习资料必备播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典
2、型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的
3、体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）解解解解解解解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的
4、性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为
5、定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 X型型区域的特点区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平
6、行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式解解解解解解解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案 一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法例例1 1
7、解解例例2 2解解 二、小结二、小结基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区
8、域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为二、曲面的面积二、曲面的面积卫星卫星设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得解解解解解方程组解方程组得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周在在 平面上的投影域为平面上的投影域为三、平面薄
9、片的重心三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.由元素法由元素法解解四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量解解解解薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知所求引力为所求引力为几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）注意审题，熟悉相关物理知识）六、
10、小结六、小结思考题思考题薄片关于薄片关于 轴对称轴对称思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、三重积分的定义一、三重积分的定义直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算如图，如图，得得注意注意解解解解如图，如图，解解解解原式原式解解如图如图,三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题选择题选择题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算
11、三重积分规定：规定： 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为解解知交线为知交线为解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，
12、如图，解解补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,解解（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结思考题思考题练练 习习 题题练
13、习题答案练习题答案第八章习题课第八章习题课定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分一、主要内容一、主要内容1 1、二重积分的定义、二重积分的定义、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的
14、面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地特殊地性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下）直角坐标系下 Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型（）极坐标系下）极坐标系下5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2
15、) 曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.(3) 重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数(5) 引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义7、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义8 8、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算() 直角坐标直角坐标() 柱面坐标柱面坐标() 球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用() 重心重心() 转动惯量转动惯量二、典型例题二、典型例题例例1 1解解X-型型例例2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解例例6 6 证证例例7 7 解解例例8 8 解解利用球面坐标利用球面坐标例例 解解例例1010 证证思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手测测 验验 题题测验题答案测验题答案
