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1、第三章第三章地震作用和结构抗震验算地震作用和结构抗震验算一、课程内容一、课程内容二、重点、难点和基本要求二、重点、难点和基本要求2024/8/161结构抗震设计第三章第三章课程内容课程内容3-1概述概述3-2单自由度弹性体系的地震反应单自由度弹性体系的地震反应3-3单单自自由由度度弹弹性性体体系系的的水水平平地地震震作作用用地地震震反反应谱法应谱法3-4多自由度弹性体系的地震反应多自由度弹性体系的地震反应3-5多多自自由由度度弹弹性性体体系系的的水水平平地地震震作作用用振振型型分分解反应谱法解反应谱法3-6底部剪力法和时程分析法底部剪力法和时程分析法3-7水平地震作用下的扭转效应水平地震作用下
2、的扭转效应3-8结构的竖向地震作用结构的竖向地震作用3-9结构自振周期的近似计算结构自振周期的近似计算3-10地震作用计算的一般规定地震作用计算的一般规定3-11结构抗震验算结构抗震验算2024/8/162结构抗震设计第三章重点、难点和基本要求第三章重点、难点和基本要求重点和难点重点和难点：1、重要术语、概念、定义重要术语、概念、定义2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算3、底部剪力法、底部剪力法4、结构抗震验算、结构抗震验算基本要求：基本要求：掌握结构抗震验算基本方法掌握结构抗震验算基本方法2024/8/163结构抗震设计3-3单自由度弹性体系
3、的水平地震作用单自由度弹性体系的水平地震作用-地震反应谱法地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式一、水平地震作用的计算公式二、二、建筑的重力荷载代表值建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱三、抗震设计反应谱2024/8/164结构抗震设计一、水平地震作用的计算公式一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为为 若考虑到若考虑到cx(t)kx(t)而略去不计，则得而略去不计，则得上上式式表表明明，在在地地震震作作用用下下，质质点点任任一一时时刻刻的的相相对对位位移移与与该该瞬瞬时时的的惯惯性性力力成成正正比比
4、，且且比比例例系系数数为为体体系系的的刚刚度度k。因因此此可可以以认认为为这这一一位位移移是是由由该该瞬瞬时时的的惯惯性性力力引引起起的的，故故可可将将惯惯性性力力理理解解为为一一种种能能反反映映地地震震影影响响的的等效荷载。等效荷载。若考虑到若考虑到 ，并取，并取 ，则得水平地震作用，即则得水平地震作用，即在在结结构构抗抗震震设设计计中中，只只需需求求出出水水平平地地震震作作用用的的最最大大绝绝对对值值，即即质质点点质质量量m与最大绝对加速度的乘积。与最大绝对加速度的乘积。2024/8/165结构抗震设计计算水平地震作用最大值的基本公式计算水平地震作用最大值的基本公式设设F为水平地震作用最大
5、值，则得为水平地震作用最大值，则得 或或 ，这里，这里，令：令： ，代入上式，并以代入上式，并以FEK代替代替F，则得计算水平地震作用的基本则得计算水平地震作用的基本公式：公式： 式中：式中： FEK-水平地震作用标准值；水平地震作用标准值； Sa-质点加速度最大值；质点加速度最大值； -地震动峰值加速度；地震动峰值加速度；-动力系数；动力系数； k-地震系数；地震系数； -地震影响系数；地震影响系数；G-建筑的重力荷载代表值。建筑的重力荷载代表值。 求作用在质点上的水平地震作用求作用在质点上的水平地震作用FEK，关键在于求出关键在于求出地震系数地震系数k和动力系数和动力系数，或者是地震影响系
6、数或者是地震影响系数。 2024/8/166结构抗震设计二、二、建筑的重力荷载代表值建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用地震动时能作质量产生地震作用(惯性力惯性力)的各种竖向荷的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为重力荷载的取值称为重力荷载代表值重力荷载代表值。抗震规范规。抗震规范规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒恒载载)标准值和各可变荷
7、载标准值和各可变荷载(活荷载活荷载)组合值之和。各可变荷组合值之和。各可变荷载的组合值系数载的组合值系数按规范取值按规范取值。由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的“有效重力有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式的，所以按式 计算得到的地震作用也是标准计算得到的地震作用也是标准值。值。2024
8、/8/167结构抗震设计组合值系数组合值系数可变荷载种类可变荷载种类组合值系数组合值系数雪荷载雪荷载0.5屋面积灰荷载屋面积灰荷载0.5屋面活荷载屋面活荷载不考虑不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载1.0按等效均布活荷载考按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载虑的楼面活荷载藏书库、档案库藏书库、档案库0.8其它民用建筑其它民用建筑0.5吊车悬吊物重力吊车悬吊物重力硬钩吊车硬钩吊车0.3软钩吊车软钩吊车不考虑不考虑2024/8/168结构抗震设计三、抗震设计反应谱三、抗震设计反应谱1、地震系数地震系数k地震系数地震系数 是地震动峰值加速度（地面运是地震动峰值加速度（地面运动的最大
9、绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度地震系数与地震烈度有关，都是有关，都是地震强烈程度的参数。地震强烈程度的参数。例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的这次地震在该处的k值值(以重力加速度以重力加速度g为单位为单位)。2024/8/169结构抗震设计设防烈度与
10、地震系数的对应关系设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大地震烈度愈高，故地震系数与地面运动加速度愈大地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：地震烈度之间有一定的对应关系：从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度，度，k值大致增加一倍。值大致增加一倍。设防烈度67
11、89地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402024/8/1610结构抗震设计地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表表中中设设计计基基本本地地震震加加速速度度的的取取值值与与中中国国地地震震动动参参数数区区划划图图所所规规定定的的地震动峰值加速度相当。地震动峰值加速度相当。设防烈度与地震系数的对应关系设防烈度与地震系数的对应关系地震系数地震系数地震动峰值加速度地震动峰值加速度地地震震系系数数是是地地震震动动峰峰值值加加速速度度（地地
12、面面运运动动的的最最大大绝绝对对加加速速度度）与与重重力力加加速速度度的的比比值值，也也就就是是以以重重力力加加速速度度为为单单位位的的地地震震动动峰峰值值加加速速度。度。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402024/8/1611结构抗震设计2、动力系数、动力系数动力系数：动力系数：是是单单自自由由度度弹弹性性体体系系在在地地震震作作用用下下最最大大反反应应加加速速度度与与地地面面运运动动最最大大加加速速度度的的比比值值，表表示示由由于于动动力力效效应应
13、，质质点点的的最最大大绝绝对对加加速速度度比比地地面面运运动动最大加速度放大了多少倍。最大加速度放大了多少倍。无无量量纲纲，其其值值与与地地震震烈烈度度无无关关，因因为为当当 增增大大或或减减小小时时，Sa相相应应随随之之增增大大或或减减小小。这这样样就就可可利利用用所所有有不不同同烈烈度度的的地地震震记记录录进进行行计计算算和统计。和统计。动力系数动力系数还可以表示为：还可以表示为： 由由上上式式可可知知，动动力力系系数数与与地地面面运运动动加加速速度度记记录录 的的特特征征、结结构构的的自自振振周周期期T及及阻阻尼尼比比有有关关。当当地地面面加加速速度度记记录录 和和阻阻尼尼比比给给定定时
14、时，就就可可根根据据不不同同的的T值值算算出出动动力力系系数数，从从而而得得到到一一条条T曲曲线线。这这条条曲曲线就称为动力系数反应谱曲线。线就称为动力系数反应谱曲线。动力系数是单质点动力系数是单质点m最大反应加速度最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度与地面运动最大加速度 之之比比，而而 对对于于给给定定的的地地震震是是个个定定值值，所所以以T曲曲线线实实质质上上是是一种加速度反应谱曲线。一种加速度反应谱曲线。 2024/8/1612结构抗震设计3、地震影响系数、地震影响系数地震影响系数：地震影响系数：表表示示单单自自由由度度弹弹性性体体系系在在地地震震时时以以重重力力加加速速度度g为为单单
15、位位的最大反应加速度。的最大反应加速度。地地震震影影响响系系数数也也是是作作用用在在质质点点上上的的地地震震作作用用与与结结构构重重力荷载代表值之比（力荷载代表值之比（ ）。）。抗震规范是以地震影响系数作为抗震设计依据的，抗震规范是以地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：设计反应谱）确定：2024/8/1613结构抗震设计（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）-地震
16、影响系数；地震影响系数；-地震影响系数最大值；地震影响系数最大值；-结构自振周期；结构自振周期；-特征周期（？）；特征周期（？）；-直线下降段的下降斜率调整系数；直线下降段的下降斜率调整系数；-阻尼调整系数；阻尼调整系数；-衰减指数衰减指数2024/8/1614结构抗震设计（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值抗震设计反应谱的特征及参数取值1）曲线由四部分组成，其值也由曲线由四部分组成，其值也由四部分构成四部分构成。2）结构自振周期结构自振周期1、单自由度体系：、单自由度体系：-质点在单位水平集中力作用下产生的侧移质点在单位水平集中力作用下产生的侧移2、多质点体系：近似计算（、多质点体系：近似计
17、算（P87：3-9）3）特征周期特征周期4）地震影响系数最大值地震影响系数最大值：5）对应于阻尼比等于对应于阻尼比等于0.05和不等于和不等于0.05，抗震设计反应，抗震设计反应谱的形状参数（谱的形状参数（ 、 、 ）不同：）不同： 即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。期的增大而减小。2024/8/1615结构抗震设计设计特征周期设计特征周期规规范范规规定定，根根据据建建筑筑工工程程的的实实际际情情况况，将将地地震震动动反反应应
18、谱特征周期谱特征周期Tg，取名为取名为“设计特征周期设计特征周期”。设设计计特特征征周周期期的的值值应应根根据据建建筑筑物物所所在在地地区区的的地地震震环环境境确确定定。（所所谓谓地地震震环环境境，是是指指建建筑筑物物所所在在地地区区及及周周围围可可能能发发生生地地震震的的震震源源机机制制、震震级级大大小小、震震中中距距远远近近以以及建筑物所在地区的场地条件等。）及建筑物所在地区的场地条件等。）抗抗震震设设计计中中，设设计计特特征征周周期期Tg的的取取值值根根据据“设设计计地地震震分组分组”确定。确定。2024/8/1616结构抗震设计设计地震分组设计地震分组GB500112001规规范范在在
19、附附录录A中中规规定定了了县县级级及及县县级级以以上上城城镇镇的的中中心心地地区区(如如城城关关地地区区)的的抗抗震震设设防防烈烈度度、设设计计基基本本地地震震加加速速度度和和所属的设计地震分组。所属的设计地震分组。特特征征周周期期Tg 值值设计地震分组场地类别 IV 第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.902024/8/1617结构抗震设计水平地震影响系数最大值（阻尼比水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）注：括号数字分别对应于注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度设计基本地震加速度0.15g和和0.30g地区的地
20、震作用影响系数。地区的地震作用影响系数。地 震影 响烈 度6789多遇地震 0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.402024/8/1618结构抗震设计设计基本地震加速度设计基本地震加速度1设计基本地震加速度设计基本地震加速度定定义义：50年年设设计计基基准准期期超超越越概概率率10的的地地震震加加速速度度设设计取值。计取值。抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表表中中设设计计基基本本地地震震加加速速度度的的取取值值与与中中国国地地震震动动参参数数区划图所规定的地震动峰值加速度
21、相当。区划图所规定的地震动峰值加速度相当。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g2024/8/1619结构抗震设计3-4多自由度弹性体系的地震反应多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动二、两自由度弹性体系的自由振动1、两自由度运动方程的建立、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运
22、动微分方程组自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法四、振型分解法 1、两自由度体系、两自由度体系振型分解法振型分解法 2、n自由度体系自由度体系振型分解法振型分解法2024/8/1620结构抗震设计一、多质点和多自由度体系一、多质点和多自由度体系 在进行建筑结构地震反应分析时，在进行建筑结构地震反应分析时，除了少数质量比较集中的结构除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化等
23、，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。能得出比较符合实际的结果。w一般，对一般，对多质点体系，若多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。系的自由度与质点个数相同。2024/8/1621结构抗震设计二、两自由度弹性体系的自由振动二、两自由度弹性体系的自由振动w左图为一两自由度弹性体系在左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻水平地震作用下，在时刻t的变的变形情况。形情况。Xg(t)为地震时地面运为地震时地面运动的水平位移，质点动的水平位移，质点1和质点和质点2沿地面运动方向
24、产生的相对于沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为地面的水平位移分别为x1(t)和和x2(t)，而相对速度则为而相对速度则为 和和 ，相对加速度为，相对加速度为 和和 ，绝对加速度分别为绝对加速度分别为 +和和+。2024/8/1622结构抗震设计1、两自由度运动方程的建立、两自由度运动方程的建立单单自自由由度度体体系系相相似似，取取质质点点1作作隔隔离离体体，则则作作用用在在其其上上的的惯性力为：惯性力为：弹性恢复力为弹性恢复力为：阻尼力为阻尼力为：式中式中k11使质点使质点1产生单位位移而质点产生单位位移而质点2保持不动时，保持不动时， 在质点在质点1处所需施加的水平力；处所需施加
25、的水平力；k12使质点使质点2产生单位位移而质点产生单位位移而质点1保持不动时，保持不动时， 在质点在质点1处引起的弹性反力；处引起的弹性反力；c11质点质点1产生单位速度而质点产生单位速度而质点2保持不动时，保持不动时， 在质点在质点1处产生的阻尼力；处产生的阻尼力；c12质点质点2产生单位速度而质点产生单位速度而质点1保持不动时，保持不动时， 在质点在质点1处产生的阻尼力；处产生的阻尼力；m1集中在质点集中在质点1上的质量。上的质量。2024/8/1623结构抗震设计2、两自由度弹性体系的运动微分方程组、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=
26、0，经整理得下列运经整理得下列运动方程动方程同理对于质点同理对于质点2:上上二二式式就就是是两两自自由由度度弹弹性性体体系系在在水水平平地地震震作作用用下下的的运运动微分方程组。动微分方程组。上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数方程中的系数kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。数。2024/8/1624结构抗震设计3、两自由度弹性体系的自由振动、两自由度弹性体系的自由振动以以两两自自由由度度体体系系为为例例，令令方方程程组组等等号号右右边边荷荷载载项项为为零零，由由于于阻阻尼尼对对体体系系自
27、自振振周周期期影影响响很很小小，故故略略去去阻阻尼尼，即即得该体系无阻尼自由振动方程组：得该体系无阻尼自由振动方程组：设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：分方程组的解为： 式中式中X1和和X2分别为质点分别为质点1和质点和质点2的位移振幅；的位移振幅；振动频率；振动频率；初相位。初相位。经整理后得下列振幅方程经整理后得下列振幅方程 ：2024/8/1625结构抗震设计1）、）、自振频率和自振周期自振频率和自振周期上上式式为为Xl和和X2的的线线性性齐齐次次方方程程组组；体体系系在在自自由由振振动动时时，X1和和X2不能同时
28、为零，否则体系就不可能产生振动。不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：展开行列式，可得展开行列式，可得2的二次方程的二次方程：上式称为频率方程，解之得：上式称为频率方程，解之得：由由此此可可求求得得的的两两个个正正实实根根，它它们们就就是是体体系系的的两两个个自自振振圆圆频频率率。其其中中较较小小的的一一个个用用l表表示示，称称为为第第一一频频率率或或基基本本频频率率，较较大大的的一一个个2称称为第二频率。为第二频率。 利利用用式式 可可由由l和和2求求得得体体系系的的两两个个自自振振周周期期，即即T
29、1=2/1和和T2=2/2，且且T1T2 ，T1称称为为第第一一周周期期或或基基本本周周期期，T2称为第二周期。称为第二周期。2024/8/1626结构抗震设计2）、）、主振型主振型由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅的比值，如：的比值，如：或或当当，振幅比值为：振幅比值为：当当，振幅比值为：振幅比值为：式中：式中：体系按频率体系按频率j (频率序号频率序号j=1，2)自由振自由振动时，质点动时，质点i (质点编号质点编号i=1，2
30、)的位移振幅。的位移振幅。当当，质点位移：，质点位移：和和当当，质点位移：，质点位移：和和式中式中 体系按频率体系按频率j(频率序号频率序号j=1，2)自由振动自由振动时，质点时，质点i (质点编号质点编号i=1，2)的位移的位移2024/8/1627结构抗震设计则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：值分别为：当当 时，时， 当当 时，时，上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中
31、的任意时刻，两质点的位移比值时刻，两质点的位移比值(或振动曲线形状或振动曲线形状)始终保持不始终保持不变，且等于变，且等于Xj2Xj1，改变的只是位移大小和方向。这改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式种保持质点位移比值不变的振动形式(或形状或形状)称为主振称为主振型。当体系按第一频率型。当体系按第一频率1振动时的振动形式称为第一主振动时的振动形式称为第一主振型振型(简称第一振型或基本振型简称第一振型或基本振型)，而对应于第二频率，而对应于第二频率2的振动形式称为第二主振型的振动形式称为第二主振型(简称第二振型简称第二振型)。 主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决
32、于体主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。个频率，相应地就有多少个主振型。 2024/8/1628结构抗震设计3）、自由振动方程的通解）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：即： 其中其中X11、X12、X21、X22、1、2由初始条件确定。由初始条件确定。由上式可见，在一般初始条件下，任一
33、质点的振动都由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。 2024/8/1629结构抗震设计4）、质点复合振动振型曲线和惯性力）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率两自由度弹性体系分别按频率1和和2作简谐振动时，两个振型的作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。惯惯性性力力可可表表示示为为 ，其其中中i为为质质点点编编号号，j为为振振型型序序号号，而而且且主主振振型型变变形形曲曲线线可可视视为为体体系系上上相相应应的的惯惯性性
34、力力引引起起的的静静力力变变形形曲曲线线，因因为为由由 可可知知，结结构构在在任任一一瞬瞬时时的的位位移移就就是是等等于惯性力所产生的静力位移于惯性力所产生的静力位移。在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。加而成的复合振动。2024/8/1630结构抗震设计5）、主振型的正交性）、主振型的正交性根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所
35、做的功，这样可得到：主振型的位移上所做的功，这样可得到：整理后得到：整理后得到：由于由于12，所以：所以：上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某
36、一振型作自由振转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。动时不会激起该体系其它振型的振动。 2024/8/1631结构抗震设计三、多自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动自由度弹性体系的自由振动2024/8/1632结构抗震设计1、n自由度体系运动微分方程组自由度体系运动微分方程组把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到n自由度体系，则其运动微分方程组应由自由度体系，则其运动微分方程组应由n个方程个方程组成，一般表达
37、式为组成，一般表达式为:式中式中Cij质点质点j产生单位速度，而其它质点保持不动时，产生单位速度，而其它质点保持不动时， 在质点在质点i处产生的阻尼力；处产生的阻尼力；kij质点质点j产生单位位移，而其它质点保持不动时，产生单位位移，而其它质点保持不动时， 在质点在质点i处引起的弹性反力；处引起的弹性反力；mi集中在质点集中在质点i的质量。的质量。 求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自的自由振动得来的
38、。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。由振动问题。2024/8/1633结构抗震设计2、n自由度弹性体系的自由振动自由度弹性体系的自由振动对于对于n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：自由度体系，由上式可得其自由振动方程组： （i=1，2，n） 设微分方程组的解为设微分方程组的解为 ：代入上式，经整理后得：代入上式，经整理后得： 2024/8/1634结构抗震设计1）、）、自振频率和自振周期自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以方程是一个以2为未知数的一元为未知数的一元n次方程，解此方程，次方程，解此
39、方程，可以求出可以求出n个根个根12、22、n2，即可得出体系即可得出体系的的n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为12iT2TiTn。2、n统称为高阶频率。一般说来，当体系的质统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于点数多于3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。2024/8/1635结构抗震设计2）、）、主振型和自由振动方程的通解主振型和自由振动方程的通解对于对于n自由度弹性体系，有自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入
40、个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。它振型统称为高阶振型。n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为可写为 （i=1，2，n）式中式中 第第j 振型振型i质点的相对位移；质点的相对位移； 第第j 振型振型i质点的位移振幅。质点的位移振幅。 2024/8/1636结构抗震设计3）、）、主振型的正交性主振型的正交性对对n自由度弹性体系，主
41、振型正交性一般可表示为自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为 （jk） 它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。 其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。性力不在其它振型的位移上作功。 这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型
42、的振动。它振型的振动。 2024/8/1637结构抗震设计四、振型分解法四、振型分解法 多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。 振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周
43、期的单自体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。反应。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。要方法。2024/8/1638结构抗震设计1、两自由度体系、两自由度体系振型分解法振型分解法将质点将质点m及及m在地震作用下任一时刻的位移在地震作用下任一时刻的位移x(t)和和x(t)用其两个振型的线性组合来表示：用其两个振型的线性
44、组合来表示：上式实际上是一个坐标变换公式，上式实际上是一个坐标变换公式，x(t)和和x(t)为原来为原来的几何坐标，而新坐标的几何坐标，而新坐标q(t)和和q(t)称为广义坐标，它称为广义坐标，它们也是时间的函数。们也是时间的函数。上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解，上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解，q(t)和和q(t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。二振型所占的分量。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当由于体系的振型是唯一确定的，因此，当q(t)和和q(t)确定后，确定后，x(t)和和x(t)也将随之而定
45、。也将随之而定。2024/8/1639结构抗震设计对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：这里，这里，解两个解耦的方程可分别求出解两个解耦的方程可分别求出q(t)和和q(t)，而而当当q(t)和和q(t)确定后，确定后，x(t)和和x(t)也随之而定。也随之而定。2024/8/1640结构抗震设计两自由度体系变形按振型分解示意图两自由度体系变形按振型分解示意图2024/8/1641结构抗震设计2、n自由度体系自由度体系振型分解法振型分解法对对n自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移xi
46、(t)也可也可用其各个振型的线性组合来表示，即：用其各个振型的线性组合来表示，即： （i=1，2，.,n）对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到解耦方程：解耦方程：式中式中 ， 称为对应于第称为对应于第j振型的振型的阻尼比，系数阻尼比，系数1及及2通常由试验根据通常由试验根据 第一、二振型的阻第一、二振型的阻尼比确定，而尼比确定，而 称为体系在地震反应中第称为体系在地震反应中第j振型的振型参与系数。振型的振型参与系数。rj实际实际上是当各质点位移上是当各质点位移x1= x2= xj= xn= 1时的时的qj值。值。 2024/8/164
47、2结构抗震设计解耦方程的解解耦方程的解在在解耦方程中，依次取解耦方程中，依次取j=1、2、n，可得可得n个独立的个独立的微分方程，即在每一方程中仅含有一个未知量微分方程，即在每一方程中仅含有一个未知量qj（t），），由此可分别解得由此可分别解得q1（t）、）、q2（t）、）、qn（t）。）。可以看到，上述方程与单自由度体系在地震作用下的运可以看到，上述方程与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式在形式上基本相同，只是动微分方程式在形式上基本相同，只是n自由度解耦方自由度解耦方程的等号右边多了一个系数程的等号右边多了一个系数rj，所以所以n自由度解耦方程的自由度解耦方程的解可以比照单自由度体系
48、在地震作用下的运动微分方程解可以比照单自由度体系在地震作用下的运动微分方程的解写出：的解写出：单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式和解单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式和解 2024/8/1643结构抗震设计上述解也可以写成：上述解也可以写成：这样，这样，用用振振型型分分解解法法分分析析时时，多多自自由由度度弹弹性性体体系系在在地地震震作作用用下下其中任一质点其中任一质点i的位移计算公式。的位移计算公式。 相当于阻尼比为相当于阻尼比为j、自振频率为自振频率为j的单自由度弹的单自由度弹性体系在地震作用下的位移反应。这个单自由度体系称性体系在地震作用下的位移反应。这个单自由度体系称作与振型作与振型j相应的振子。相应的振子。rj称为体系在地震反应中第称为体系在地震反应中第j振型的振型参与系数。振型的振型参与系数。rj实际上是当各质点位移实际上是当各质点位移x1= x2= xj= xn= 1时的时的qj值。值。2024/8/1644结构抗震设计
