控制工程基础5

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1、第五章 频率响应法引言引言频率特性频率特性频率特性的几何表示频率特性的几何表示频率特性图频率特性图基本单元的频率特性图基本单元的频率特性图系统开环频率特性图的绘制系统开环频率特性图的绘制奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据由开环频率特性研究闭环系统的性能由开环频率特性研究闭环系统的性能周期信号的频谱周期信号的频谱 任何一个满足任何一个满足dirichlet条件条件的周期为的周期为T函数函数f(t),都可以用都可以用Fourier级数表示，即可以分解为一系列谐波之和级数表示，即可以分解为一系列谐波之和1=2/T一一 引言引言21tf(t)幅值幅值0.10.2=1 T=10=1 T=50=1 T=3非

2、周期信号的频谱非周期信号的频谱 非周期信号可以看做是周期为非周期信号可以看做是周期为的周期信号，其频谱是幅值为的周期信号，其频谱是幅值为无穷小而具有一切频率成分的无穷多个谐波之和。无穷小而具有一切频率成分的无穷多个谐波之和。用相对大小表示各项谐波的幅值用相对大小表示各项谐波的幅值用相对大小表示各项谐波的幅值用相对大小表示各项谐波的幅值相对幅值相对幅值当当0.10.34信号频谱与信号波形的关系信号频谱与信号波形的关系单边指数函数单边指数函数假设其角频率假设其角频率其其Fourier展开式为展开式为取取=1， =0.02，在计算机上仿真，在计算机上仿真为为n，其中，其中n 具体推导见吴麒编具体推导

3、见吴麒编自控原理自控原理p165n = 100n = 300n = 1000f(t)tf(t)t5l信号频谱中所含有信号频谱中所含有 的高频成分越多，信号的波形起的高频成分越多，信号的波形起伏越迅速剧烈；伏越迅速剧烈； （函数导数的绝对值可能达到比较大的值）（函数导数的绝对值可能达到比较大的值）l反之，频谱中的高频成分越少，信号波形就越平缓。反之，频谱中的高频成分越少，信号波形就越平缓。 （函数导数的绝对值比较小）（函数导数的绝对值比较小）6 把控制系统中的各个变量看成为不同频率的正弦信号的把控制系统中的各个变量看成为不同频率的正弦信号的叠加；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响叠加

4、；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。应的总和。线性系统tt频率响应法的基本思想频率响应法的基本思想频率响应法的基本思想频率响应法的基本思想7TuuT8RC滤波电路如下图。设电路的输入电压为 。稳态输出为 。 Cui(t)Ruc(t)ui(t)tUiuc(t)tUc二二 频率特性频率特性9RC电路的微分方程 拉普拉斯变换拉氏反变换暂暂态态分分量量稳稳态态分分量量10输入：输入：稳态输出：稳态输出：幅值的变化相位的变化幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性相频特性相频特性11此RC电路的传递函数 比比比比较较较较可知，可知，可知，可知，和和和和分分分分别为别为别为别

5、为的幅的幅的幅的幅值值值值和相角和相角和相角和相角。 幅值的变化相位的变化幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性相频特性相频特性12推广到一般的系统推广到一般的系统推广到一般的系统推广到一般的系统：设系统的闭环传递函数： 设系统是稳定的，其所有的极点均分布在复平面的左半平面。当系统的输入为正弦函数系统的输出写成分布因式后反变换13无重根p1为q重根有重根14同理： 代入： 15得系统的稳态响应：系统的输入幅幅频频特性特性相相频频特性特性频率特性频率特性16微分方程、传递函数和频率特性函数三者的关系微分方程、传递函数和频率特性函数三者的关系17三三 频率特性几何表示频率特性几何表示(频

6、率特性图频率特性图)频频频频域分析法是系域分析法是系域分析法是系域分析法是系统统统统的一种的一种的一种的一种图图图图解分析方法。工程上常把系解分析方法。工程上常把系解分析方法。工程上常把系解分析方法。工程上常把系统统统统的的的的频频频频率特性率特性率特性率特性绘绘绘绘制成几何制成几何制成几何制成几何图图图图形，然后根据形，然后根据形，然后根据形，然后根据图图图图形的形状及特征研究分析系形的形状及特征研究分析系形的形状及特征研究分析系形的形状及特征研究分析系统统统统的运的运的运的运动动动动。p对数坐标图对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)(Bode d

7、iagram or logarithmic plot)p极坐标图极坐标图 (Polar plot)(Polar plot)p对数幅相图对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)(Log-magnitude versus phase plot)18极坐标图（极坐标图（极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图）图）图）图）实频实频特性特性虚虚频频特性特性在复平面中的位置也随之作相应的变化，移动的轨迹称为极坐极坐标图标图。 这样，当输入信号的频率 由变化时，复数与w相关的一个复数系统对频率为w信号的幅值增益系统对频率为w信号的相位影响19例如，对于RC网

8、络 给定时间常数T=0.5-0.19-0.34-0.4-0.460.5-0.400.040.1380.20.3080.50.8110543210ImRew=0w=1w=2w=3w=5w=10+w=是以 为圆心半径为1/2的半圆。20例如，对于RC网络 给定时间常数T=0.5-78.70-68.20-63.40-56.30-450-26.60000.1960.3710.4470.5550.7070.894110543210ImRew=0w=1w=2w=3w=5w=10+w=21幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数。从零变化至+和从零变化至-的幅相曲幅相曲线关于实轴对称线关于实轴对称。一般的只绘

9、制从零变化至+的幅相曲线。在系统幅相曲线中，一般用小箭头表示增大时的幅相曲线的变化方向。22l对于不同频率的正弦输入信号，对于不同频率的正弦输入信号，G(jw) 的幅值和相角不同（在复平面的幅值和相角不同（在复平面上的位置不同），表示对与不同频率的正弦输入信号，系统的影响不同。上的位置不同），表示对与不同频率的正弦输入信号，系统的影响不同。l只要绘制出只要绘制出 G(jw) 的幅值和相角随频率变化的图线，就可方便地分析的幅值和相角随频率变化的图线，就可方便地分析系统的性能（对不同频率信号的影响）系统的性能（对不同频率信号的影响）对对于极坐于极坐标图标图上任一点上任一点从原点到它的距离从原点到它

10、的距离为为复数的模：表示系复数的模：表示系统对统对此点此点频频率信号的幅率信号的幅值值增增益。益。原点与此点原点与此点连线连线与正方向的与正方向的夹夹角角为为复数的角：表示系复数的角：表示系统对统对此点此点频频率率信号的相位影响。信号的相位影响。23对数频率特性又称为伯德图，由对数幅频特性图对数幅频特性图和对数对数相频特性图相频特性图组成，是工程中广泛使用的一种图示方法。对系统的频率特性取以10为底的对数令 贝尔（贝尔（B B）分贝分贝(dB) (dB) 1B=20dB1B=20dB对数相频特性对数相频特性对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图对数幅频特性对数幅频特性24对数

11、幅频特性图和对数相频特性图均以=lg为横坐标分度。为了便于直接读取实际角频率值，一般在轴上所标记的仍然是值。 的每一个单位表示变化10倍，被称为一个十倍频程，记为dec。=0点对应的位置在负向无穷远点。wlgw-101230.10.20.4 0.61246102040 60100对数坐标对数坐标采用对数坐标，在低频段表示的频率特性的精度高，在高频段表示的频率特性的精度低，这正好符合一般的工业过程控制对象的需求。25以 为纵坐标（dB）以 为纵坐标（rad或度）以=lg为横坐标（dec）对数相频特性图对数幅频特性图26Cui(t)Ruc(t)(dbLw 0 0-45o -90o 对数频率特性实现

12、了横坐标的非线性压缩，便于大范围反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用加减运算，简化曲线绘制。27对数幅相特性图对数幅相特性图对数幅相特性图对数幅相特性图 在一定的频率范围内，以对数幅频特性L()为纵坐标，以对数相频特性 ()为横坐标，以角频率为参变量绘制的频率特性图为对数幅相特性图，也称Nichols图。90O 0O 90O 100-10-2028四四 基本单元的频率特性图基本单元的频率特性图 最小相位环节最小相位环节零极点全位于S左半平面非最小相位环非最小相位环零极点不全位于S左半平面比例环节 比例环节 惯性环节 惯性环节 震荡环节 震荡环节 一阶微分环节 一阶微分环节 二阶微分环节 二

13、阶微分环节 微分环节 延时环节 积分环节 29系统开环频率特性表现为组成诸基本环节频率特性的组合；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性叠加这一更简单的形式 301 1、比例、比例、比例、比例环节环节环节环节：Bode图Nyquist图312 2、积积积积分分分分环节环节环节环节：Nyquist图0ReImBode图)dB)(wLw)(wjo01w101004020020-40-dB/dec20-o180-o90-110100323 3、微分、微分、微分、微分环节环节环节环节：Bode图-40-20200401101000.111010090180decdB/20ww)dB)(

14、wL)(wj0Nyquist图0ReIm334 4、惯惯惯惯性性性性环节环节环节环节： 低频渐近线：低频渐近线：低频渐近线：低频渐近线：当 时， 此方程为半对数坐标中的0db线。高频渐近线：高频渐近线：高频渐近线：高频渐近线：当 时，对数幅频曲线可用一条过（ ，0）点，斜率为-20dB/dec的直线近似。对数幅频特性对数幅频特性)dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o90-o45-o0)(wj10-20-010转折频率344 4、惯惯惯惯性性性性环节环节环节环节： 对数幅频特性对数幅频特性)dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o90-

15、o45-o0)(wj10-20-010转折频率交接频率处，实际的对数幅频曲线与渐近线的误差最大可予以修正精确曲线354 4、惯惯惯惯性性性性环节环节环节环节： )dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o90-o45-o0)(wj10-20-010转折频率精确曲线对数相频特性对数相频特性当 时， 。当 时， 。在 处， 。取两个对称点， ， 曲线是以 ， 中心对称。 364 4、惯惯惯惯性性性性环节环节环节环节： )dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o90-o45-o0)(wj10-20-010转折频率精确曲线 Bode图ReImNyq

16、uist图376 6、振、振、振、振荡环节荡环节荡环节荡环节：当 ，即 时，当 ，即 时，当 ，即 时，Nyquist图38)dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o180-o90-o0)(wj10-20-010对数频率特性对数频率特性低频渐近线：低频渐近线：低频渐近线：低频渐近线：当 时， 此方程为半对数坐标中的0db线。（）0高频渐近线：高频渐近线：高频渐近线：高频渐近线：当 时，对数幅频曲线可用一条过（ ，0）点，斜率为-40dB/dec的直线近似。（）180转折频率39实际的数幅频特性既与频率实际的数幅频特性既与频率 和和 有关，又与阻尼比有关，又与阻尼比

17、有关，因而这有关，因而这种因子的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会引起种因子的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会引起较大的误差。较大的误差。)dB)(wLwT101T201T51T21T1T2T5T10T20o90-o45-o0)(wj10-20-010对数频率特性对数频率特性转折频率20)dB)(wL10010-)(wjo0o90-o180-0.10.20.4 0.60.81246 8 10nww 1 . 0=z2 . 0=z3 . 0=z5 . 0=z7 . 0=z0 . 1=z渐近线0 . 1=z7 . 0=z5 . 0=z3 . 0=z1 . 0=z2

18、. 0=z谐振峰谐振峰谐振频谐振频率率40振荡环节幅频表达式为显然，如在某一频率时， 有最小值，则 便有最大值。谐振峰值和谐振频率的计算谐振峰值和谐振频率的计算当 时， 有最小值为 可求得 的峰值为产生谐振峰值时的频率叫谐振频率，用 表示这个最大值称为谐振峰值，用 表示。当 时当 时0时，最小时，最小值为值为1，g (）随着随着单调衰减单调衰减41与 间的关系曲线42当 时，在极坐标图上离原点最远点（ 的最大值）对应的频率就是振荡环节的谐振频率 谐振峰值 用 与 之比来表示。Nyquist图ReIm0w0=wnw rw谐振峰值435 5、一、一、一、一阶阶阶阶微分微分微分微分环节环节环节环节：

19、 Nyquist图 与 互为倒数)dB)(wL4020020-40-T01. 0T1 . 0T1T10 精确曲线渐近线渐近线wT01. 0T1 . 0T1T10w)(wjo0o45o90 447 7、二、二、二、二阶阶阶阶微分微分微分微分环节环节环节环节01 ReImNyquist图 与 互为倒数。Bode图)dB)(wL4020020-40-T01. 0T1 . 0T1T10 精确曲线渐近线渐近线wT01. 0T1 . 0T1T10w)(wjo0o90o180 458 8、延、延、延、延时环节时环节时环节时环节Nyquist图Bode图469 9、非最小相位、非最小相位、非最小相位、非最小相

20、位环节环节环节环节对于每一非最小相位环节，都有一种最小相位环节与之对应。二阶微分环节 一阶微分环节 震荡环节 惯性环节 非最小相位环非最小相位环零极点不全位于S左半平面最小相位环节最小相位环节零极点全位于S左半平面幅频特性相同，相频特性符号相反对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0度线对称。47G(jw) 与与 1/ G(jw) 的的Bode图图G(jw) 与与 G(-jw) 的的Bode图图对数幅频相同，对数相频关于对数幅频相同，对数相频关于0线对称。线对称。对数幅频关于对数幅频关于0dB线对称，对数相频关于线对称，对数相频关于0线对称。线对称。48 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信

21、号 x(t) 必须绝对可积；必须绝对可积； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和只能有有限个极大值和极小值；极小值； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续点上，而且，在这些不连续点上， x(t) 的函数值必须是有限的函数值必须是有限值。值。 49一、开环对数频率特性曲线一、开环对数频率特性曲线渐近特性渐近特性渐近特性渐近特性50例例51 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。基本环节比例比例一阶微

22、分一阶微分一阶惯性一阶惯性震荡震荡L（）0.21102051例例51 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。基本环节比例比例一阶微分一阶微分一阶惯性一阶惯性震荡震荡L（）0.211020积分积分52第一类第一类：或 ( )， 为包含的积分环节的个数； 特点特点特点特点： 1. 1. 对数幅频特曲线斜率为20 dB/dec，平移 2. 相频特性曲线90 度。第二类第二类：一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节。1.交接频率 ；2.低频斜率为0，交接频率后为 20dB/dec。特点特点特点特点：53

23、第三类第三类：二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节。1.交接频率 ；2.低频斜率为0，交接频率后为 40dB/dec。特点特点特点特点：54 开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：1）开环传递函数基本环节分解）开环传递函数基本环节分解2）确定各环节的交接频率，将各交接频率标注在）确定各环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的半对数坐标图的 轴上轴上3）绘制低频段）绘制低频段 渐近线渐近线这里这里这里这里 为最小交接频率为最小交接频率为最小交接频率为最小交接频

24、率a) a) 确定斜率：确定斜率：确定斜率：确定斜率：斜率取决于含有积分环节的个数 ，因而直线斜率为20 dB/dec。55b) 确定直线上的一点确定直线上的一点确定直线上的一点确定直线上的一点：方法一方法一：在 的范围内，任选一点 ，计算方法二方法二：取频率为特定值 ,则 方法三方法三：取 为特殊值0，即则 ， 过 在 范围内作斜率为 的直线。显然，若有 ，则点 位于低频渐近线的延长线上。564）作）作 频段渐近特性曲线：频段渐近特性曲线： 每个交接频率点处，直线的斜率发生变化，变每个交接频率点处，直线的斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的基本环节的种类化规律取决于该交接频率对应的基

25、本环节的种类 当系统的多个环节具有相同交接频率时，求斜当系统的多个环节具有相同交接频率时，求斜率变化值的代数和。率变化值的代数和。5）作相频特性曲线。）作相频特性曲线。 根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。57例例51 已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。解：第一步：解：第一步：开环传递的基本环节分解第二步：第二步：确定各交接频率斜率减小20dB/dec斜率增加20dB/dec斜率减小40dB/dec58-40dB/dec -60

26、dB/dec -40dB/dec -80dB/dec )(wL 1 2 20 20dB 1 ww59二、开环极坐标图的绘制开环的传递函数开环的频率特性幅频特性相频特性根据幅频特性函数根据幅频特性函数根据幅频特性函数根据幅频特性函数和相频特性函数绘和相频特性函数绘和相频特性函数绘和相频特性函数绘制开环极坐标图！制开环极坐标图！制开环极坐标图！制开环极坐标图！60例例例例5 51 1 某0型单位反馈系统的开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。析析：比例单元比例单元惯性单元惯性单元惯性单元惯性单元幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性相频特性相频特性61幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性

27、相频特性相频特性相频特性相频特性起点起点起点起点终点终点终点终点1) 开环幅相曲线的起点起点起点起点( )和终点终点终点终点( )。2) 开环幅相曲线的变化范围(象限单调性)。62绘制绘制绘制绘制：注注注注：若：若：若：若K0Km： 终点原点。终点原点。 mn ： 终点无穷远。终点无穷远。(n-m)(-180)(m-n)(180)最最小小相相位位672) 开环幅相曲线的变化范围(象限单调性)。 相角随相角随增大而增大，逆时针绘制增大而增大，逆时针绘制 相角随相角随增大而减小，顺时针绘制增大而减小，顺时针绘制 相角穿越相角穿越-180线的次数即线的次数即Nyquist图穿越负实轴的次数图穿越负实

28、轴的次数 相角先受到转折频率较低环节的影响。相角先受到转折频率较低环节的影响。j68j0.010.2 1-180-270j0.010.2 1-180-270j0.010.2 1-180-270693) 开环幅相曲线与实轴的交点坐标。系统的开环传递函数为 ，设 时，开环幅相曲线与实轴相交，此时满足或或或或穿越频率70例例3 已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解：解：系统开环频率特性： 71实轴的交点：实轴的交点：实轴的交点：实轴的交点：即与实轴的交点。即与实轴的交点。令 得所以，开环幅相曲线位于第三与第二象限。所以，开环幅相曲线位于第三与第二象限。所以，开环幅相曲线位于第

29、三与第二象限。所以，开环幅相曲线位于第三与第二象限。72 无解无解与实轴无交点。与实轴无交点。所以，开环幅相曲线位于第三或第三与第四象限。综合上面两种情况得到概略幅相曲线：73例例4 已知系统开环传递函数为试绘制系统开环幅相曲线。解：解：其开环频率特性为起点终点74因为 从 单调减至 ，故幅相曲线在第三与第二象限间变化。开环概略幅相曲线如右图。与实轴的交点与实轴的交点与实轴的交点与实轴的交点：令虚部为零，解得75由开环频率特性分析闭环系统的性能由开环频率特性分析闭环系统的性能Nyquist图奈氏稳定判据系统稳定性Bode图 系统的静态特性 系统的动态特性 最小相位系统的稳定性 和系统的稳定裕量

30、765-6 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据一、奈氏判据的数学基础幅角原理一、奈氏判据的数学基础幅角原理ImReImReSF(s)77ImReSImReS结论：结论：结论：结论：当 沿闭曲线 顺时针旋转一周时， 的总的角度增量为 。即 顺时针包围原点的周数为 周。ImReF(s)78 设除有限个奇点外，设除有限个奇点外， 是关于是关于 的解析函数。的解析函数。若若 平面上闭合曲线平面上闭合曲线 包围包围 的的 个零点和个零点和 个极个极点，且此曲线不通过点，且此曲线不通过 的任何零点和极点，当复的任何零点和极点，当复变量变量 沿沿 顺时针旋转一周时，其在顺时针旋转一周时，其在 平面上的映平面上

31、的映射射 顺时针包围原点的圈数顺时针包围原点的圈数 。 （若（若 表示为逆时针包围）。表示为逆时针包围）。幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理：79二、奈奎斯特稳定判据二、奈奎斯特稳定判据开环传递函数： 映射函数映射函数 取为：取为：=0 系统特征方程F(s)的零点为系统的闭环极点的零点为系统的闭环极点F(s)的极点为系统的开环极点的极点为系统的开环极点F(s)的零点和极点数相同的零点和极点数相同F(s)的映射曲线包围原点的圈数等于的映射曲线包围原点的圈数等于G(s)H(s)包围包围-1点圈数点圈数-1GHG GFG GReIm80闭合曲线闭合曲线 取为取为包含整个右半平面的D形围线在虚轴上无极点

32、在虚轴上无极点在虚轴上无极点在虚轴上无极点在虚轴上有极点在虚轴上有极点在虚轴上有极点在虚轴上有极点ReIm0DE81ImReF(s)R = F(s)右半平面零点数右半平面零点数Z F(s)右半平面极点数右半平面极点数P = 系统在右半平面闭环极点数系统在右半平面闭环极点数Z 系统在右半平面开环极点数系统在右半平面开环极点数PF(s)绕原点的圈数绕原点的圈数R：系统稳定系统稳定Z=0R= P82 不穿过不穿过原点原点且逆时针包围临界点且逆时针包围临界点原点原点的圈数的圈数等于开环传递函数的正实部极点数等于开环传递函数的正实部极点数P。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据关于关于D形围线（或广义形围线

33、（或广义D形围线）的映射曲线为形围线）的映射曲线为系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是设反馈控制系统的开环传递函数设反馈控制系统的开环传递函数 不穿过不穿过(-1,0)且逆时针包围临界点且逆时针包围临界点(-1,0)的的圈数圈数R等于开环传递函数的正实部极点数等于开环传递函数的正实部极点数P。关于关于D形围线（或广义形围线（或广义D形围线）的映射曲线为形围线）的映射曲线为系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是:顺时针圈数顺时针圈数R-P则系统不稳定则系统不稳定在有半平面有在有半平面有Z=R+P个闭环极点个闭环极点83正实部极点数正实部极点数手动手动/计算机绘图得计算机绘图

34、得 曲线曲线包围包围 圈数圈数判判判判断断断断闭闭闭闭环环环环稳稳稳稳定定定定性性性性判据应用思路：判据应用思路：当当s沿沿D形围线或广义形围线或广义D形围线旋转一周时，相应的形围线旋转一周时，相应的开环传递函数开环传递函数 的映射：的映射：841) 若若 无虚轴上极点无虚轴上极点a) 在 ， 时，对应极坐标图。b) 在 , 时，对应原点( 时) ； 或 点( 时) 系统开环根轨迹增益为 。c) 在 ， 时，对应极坐标图关于实轴的对称图像。ReIm0D852) 若若 有积分环节有积分环节a) 在 ， 时，对应极坐标图。b) 在 , 时，对应原点( 时) ；或 点( 时) 系统开环根轨迹增益为

35、。c) 在 ， 时，对应极坐标图关于实轴的对称图像。d) 在原点附近，闭合曲线 为 ， 映射为无穷大半径的圆弧，角度从 到 。ReIm0ej+j-e862) 若若 有虚轴上极点有虚轴上极点jaReIm0a)b) 在+ja附近，c)d)e)f) 在-ja附近，g)87三、奈奎斯特稳定判据应用举例三、奈奎斯特稳定判据应用举例例例56 某反馈系统的开环传递函数为其中 ，要求判断闭环系统是否稳定。ReIm05101520-5 -1 -w+w0=w)(wjGReIm0DP=0R=0R=P，系统稳定，系统稳定ReIm0 1 -88例例57 把例6的开环比例系数是增大为100，要求重新判断闭环系统的稳定性。

36、析：正实部极点数仍为P=0。作出系统的开环极坐标图。1) 当 从 连续增大到 时， 的曲线顺时针方向包围 点2圈，即 由于 ，闭环系统不稳定。2)根据 知道闭环系统具有两个右半平面极点89为了用为了用NyquistNyquist稳定判据判断系统稳定判据判断系统的稳定性，只要明确曲线在复平面的稳定性，只要明确曲线在复平面上与上与 点的相对位置，而不是点的相对位置，而不是曲线本身形状的细节。曲线本身形状的细节。最小相位系统（右半平面无开环极点）闭环系统稳定的充分必要条闭环系统稳定的充分必要条闭环系统稳定的充分必要条闭环系统稳定的充分必要条：当s沿D形围线顺时针旋转一周时，相应的的映射曲线不包围 (

37、-1，j0)点。90例例58 设系统的开环传递函数为要求判断闭环系统是否稳定91-90+ 90Nyquist一个半径为无穷大的半圆，即顺时针方向转过半圆。不包围 点，闭环系统稳定。92例例59 将例8的 由2改为20，重新判断稳定性。在 时 ,在复平面绘出Nyquist图，并仿照上例画出广义D形围线的映象。析析：顺时针包围 点2周，即 。由于 ，所以系统是不稳定的。由 进一步可知有 ，即闭环传递函数有两个右半平面的极点。93例例5-10 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 ImReImRe-1R=-1系统稳定94例例5-

38、10 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 ImReR=1系统不稳定-1 Z=R+P=2系统右半平面有2个闭环极点95例例5-11 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 ImReImReK=19.2K=334K=1.32104K稳定范围K19.2334K0 稳定r=0 临界稳定r1 稳定Kg=1 临界稳定Kg1 不稳定增益稳定裕量Kg的含义含义含义含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性在增大Kg倍，则系统将处于临界稳定状态。102例例513 已知

39、单位反馈系统设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕量。解解：时， 时， ，103例例513 已知单位反馈系统设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕量。-90-180-270-60dB20lgK1045-7 由开环频率特性研究闭环系统的性能由开环频率特性研究闭环系统的性能 这里仅针对最小相位的单位反馈系统。这里仅针对最小相位的单位反馈系统。这里仅针对最小相位的单位反馈系统。这里仅针对最小相位的单位反馈系统。 当开环频率特性中的转折频率足够远时，最小相位系统Bode图的幅频相频曲线有一个粗略的对应关系 。1、系统稳定性、系统稳定性105使使c附近相当宽的频率段上附近相当宽的频率段上L的斜率保持

40、为的斜率保持为-1B/dec。-1B/dec斜率频段须足够宽斜率频段须足够宽,与其相邻段的斜率不能过陡。与其相邻段的斜率不能过陡。 为了保证系统的稳定性，要求为了保证系统的稳定性，要求如果的折线的斜率如果的折线的斜率 在低于在低于c/2.5的频率段内不陡于的频率段内不陡于-2， 在在c/2.52.5c的频率段内保持为的频率段内保持为-l， 在高于在高于2.5c的频率段内不陡于的频率段内不陡于-4，则系统必定是稳定的。则系统必定是稳定的。1062、由开环对数频率特性研究闭环系统静态特性、由开环对数频率特性研究闭环系统静态特性从频率特性曲线的低频段可得上述信息！从频率特性曲线的低频段可得上述信息！

41、从频率特性曲线的低频段可得上述信息！从频率特性曲线的低频段可得上述信息！对于系统的静差对于系统的静差 开环含有积分环节的个数开环含有积分环节的个数系统跟踪信号的能力系统跟踪信号的能力与开环增益成反比与开环增益成反比单位阶跃函数 输入信号静差系统类型单位斜坡函数单位加速度函数0型系统1型系统02型系统00稳态误差与系统的类型和输入信号之间的关系107K20lgK0型系统斜率为0系统对单位阶跃信号的静态误差1型系统斜率为-1系统对阶跃信号差，对单位斜坡静差为1/K 2型系统斜率为-2系统对阶跃、斜坡信号无差，对单位加速度信号的静差为1/K。108闭环频率特性闭环频率特性由开环频率特性图绘制闭环频率

42、特性图由开环频率特性图绘制闭环频率特性图3、由开环对数频率特性研究闭环系统的动态性能、由开环对数频率特性研究闭环系统的动态性能开环频率特性开环频率特性在低频段， 很大，则在高频段， ，则对单位反馈系统， 对于单位反馈系统，开环和闭环频率特性几乎重合。109截止角频率与通频带截止角频率与通频带闭环与开环截止角频率接近；截止角频率越高，响应速度越快；过高则影响噪声抑制能力。闭环截止角频率闭环截止角频率闭环截止角频率闭环截止角频率 为系统闭环幅频特性为 (对数幅频特性对应 )时的角频率。从0到 这一段角频率范围为闭环系统的通频带通频带通频带通频带。)dB)(wLwT101T201T51T21T1T2

43、T5T10T20o90-o45-o0)(wj10-20-010 精确曲线转折频率渐近线渐近线110稳定裕量与动态性能的关系稳定裕量与动态性能的关系相角稳定裕量 很小开环Nyquist图很接近于复平面的 点闭环必然有谐振峰出现ReIm0 w1-g111开环频率特性与过渡过程的关系开环频率特性与过渡过程的关系开环频率特性与闭环性能间的关系一般根据工程实践总结出来的经验公式经验公式进行估算。如当系统的相角稳定裕量为 时，开环特性与过渡过程的估算公式为其中，112本章内容5.1 引言5-2 频率特性5-3 频率特性的几何表示（频率特性图）5-4 基本单元的频率特性图5-5 系统开环频率特性图的绘制5-6 奈奎斯特稳定判据5-7 由开环频率特性研究闭环系统的性能113