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1、 环节四 双曲线的应用（二） 思考： 如何研究直线与椭圆的位置关系？ 答案：将直线方程与椭圆方程联立，形成一个方程组，研究方程组解的情况，即可判断直线与椭圆的位置关系 追问 1： 由直线方程和椭圆方程联立形成的方程组，我们该如何研究它的解的情况？ 答案：由直线方程与椭圆方程联立形成的方程组，是二元二次方程组 一般地，我们可以通过消元，得到关于x（或关于y）的一元二次方程，通过一元二次方程研究二元二次方程组 追问 2： 具体来说，如何利用一元二次方程的判别式判断直线与椭圆的位置关系？ 答案：设直线 l：AxByC0，椭圆 C：22221xyab， 由22220,1AxByCxyab消去 y，得
2、Mx2NxP0 记一元二次方程 Mx2NxP0 的判别式为 ，则 0 直线与椭圆 C 有两个不同的公共点； 0 直线与椭圆 C 有且只有一个公共点； 0 直线与椭圆 C 没有公共点 追问 2：当直线与椭圆相交时，如何求两个交点的坐标？ 答案： 设直线 l： AxByC0 与椭圆 C：22221xyab相交于11(,)A xy、22(,)B xy两点 由22220,1AxByCxyab消去 y，得 Mx2NxP0 则 0，且12,x x是方程 Mx2NxP0 的两根 由方程 Mx2NxP0，解出12,x x， 分别代入直线方程，得12,yy，即得11(,)A xy、22(,)B xy 追问 3：
3、当直线与双曲线相交时，如何求交点的坐标呢？ 答案：与直线和椭圆相交时，求交点的方法类似，这也是本节课要探讨的问题 直线方程、椭圆方程二元二次方程组一元二次方程判别式直线与椭圆的位置关系联立消元计算判断 例 1 如图，过双曲线22136xy的右焦点2F，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B两点，求AB 问题： 如何求直线被双曲线所截得的线段的长？ 答案：首先，将直线方程与双曲线方程联立，得到一个一元二次方程组； 其次，解方程组，得到两个交点的坐标； 最后， 根据两个交点的坐标， 及两点间的距离公式求出直线被双曲线所截得的线段的长 追问 1：本题中，怎样表示直线AB？ 答案：直线AB的倾斜角为30
4、，则斜率为3tan303k ， 而双曲线的右焦点为2(3, 0)F， 直线AB可用点斜式方程表示为3(3)3yx 追问 2：怎样求直线与双曲线的两交点,A B？ 答案：将直线方程与双曲线方程联立，得223(3),31.36yxxy 将3(3)3yx代入22136xy， 消去y，整理，得256270xx， 解方程，得13x ，295x 将1x，2x的值分别代入，得12 3y ，22 35y 于是,A B两点的坐标分别为( 3, 2 3)，92 3( ,)55 追问 3：由,A B两点的坐标，如何求AB？ 答案：利用两点间的距离公式，可得 221212221()()92 332 35516 35A
5、Bxxyy 追问 4：不求,A B两点的坐标，能否求出AB？ 答案：可以， 设11(,)A xy，22(,)B xy， 则221212()()ABxxyy 2212122212122123333()()()331()()32 3() .3xxxxxxxxxx 12,x x是方程256270xx的两根，由一元二次方程根与系数的关系，可知1265xx ，12275x x ， 则22121212576()()425xxxxx x， 可得2122 32 32416 3()3355ABxx 由一元二次方程根与系数的关系，可得12xx，12x x的表达式，利用12xx，12x x求解很多问题 （例如直线被
6、双曲线截得的线段的中点和长度等） 解题过程中，经常要用到22121212()()4xxxxx x 追问 5：如何求线段AB的中点？ 答案：设11(,)A xy，22(,)B xy，线段AB的中点00(,)M xy， 则12,x x是方程256270xx的两根， 由一元二次方程根与系数的关系，可知1265xx ， 由中点坐标公式，120325xxx ， 则00(,)M xy在直线AB上，0036 3(3)35yx ， 则线段AB的中点36 3(,)55M 追问 6： 如何求AOB的面积？ 答案：已求得AB，再求出AB边上的高，即可求得面积 直线AB的一般式方程为330xy， 则原点O到直线AB的
7、距离为223321(3)d ， 则1116 3312 322525AOBSAB d 追问 7： 求AOB的面积，还有其他方法吗？ 答案：利用AOB，2AOF与2BOF的关系,其中2AOF，2BOF有一条长度为 3 的公共边2OF 注意23OF，113(3)3yx，223(3)3yx， 设11(,)A xy，22(,)B xy， 则2221221122AOBAOFBOFSSSOFyOFy， 所以121212333()222AOBSyyyyxx， 由22121212576()()425xxxxx x，得12245xx， 则12312 325AOBSxx 例 2 已知双曲线22:12yC x ，过点
8、(1,1)P的直线l与双曲线相交于,A B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 问题： 如何判断点P能否作为线段AB的中点？ 将直线方程与双曲线方程联立，消元得到一元二次方程，借助根与系数的关系，表示出线段AB的中点坐标，再判断点P的坐标能否写成这种形式 追问 1： 本题中，怎样表示过点(1,1)P的直线AB？ 答案：经过点(1,1)P的直线有两种类： 直线l的斜率不存在时，直线方程为1x ； 直线l的斜率为k时，直线方程为1(1)yk x 追问 2： 过点(1,1)P的直线一定与双曲线C有两个公共点吗？ 答案：不一定，直线1x 与双曲线2212yx 只有一个公共点 追问 3：过点(1,1)
9、P的直线满足什么条件,才能与双曲线C有两个公共点？ 答案：由221,21(1).yxyk x 消去y，得 222(2)2 (1)(1)20kxkk xk 当220k且0 时，方程组有两解， 此时，直线l与双曲线C有两个公共点 追问 4：怎样表示线段AB的中点呢？ 答案： 222(2)2 (1)(1)20kxkk xk, PP 当220k且0 时， 设11(,)A xy，22(,)B xy，线段AB的中点00(,)M xy， 则1222 (1)2kkxxk，2120222xxkkxk， 而00222(1)12kyk xk ， 故2222222kkkMkk， 追问 5： 至此，如何判断点(1,1)P能否作为线段AB的中点？ 答案：我们已经求得2222222kkkMkk，若点 P 是线段AB的中点， 得2212kkk，解得2k 而当2k 时，方程222(2)2 (1)(1)20kxkk xk即22430xx，2( 4)42380 则当2k 时，直线l与双曲线C无公共点，不符合题意 所以，点P不是线段AB的中点
