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1、二二.力学量与算符力学量与算符(1) (1) 算符算符（operator）即表明一种运算或一种操作或一）即表明一种运算或一种操作或一种变换的符号。种变换的符号。1算符算符一般情况下，一个算符一般情况下，一个算符 作用于一个函数作用于一个函数 ，得到的将，得到的将是另一个函数是另一个函数 。 例如：例如： (2) (2) 常见算符及其性质常见算符及其性质 时空坐标算符：时空坐标算符： 时空坐标算符就是它们自己。时空坐标算符就是它们自己。 单位算符和零算符单位算符和零算符 即常数算符就是常数本身。即常数算符就是常数本身。 线性算符线性算符 如如 满足满足 ，则，则 为线性算符。为线性算符。 例如：
2、例如：为线性算符。为线性算符。例：例：中那些是线性算符？中那些是线性算符？ 对易算符：对易算符： 注：注： 不一定等于不一定等于 ，二者不相等时则不对易。，二者不相等时则不对易。 运算顺序是从右到左。运算顺序是从右到左。 若二者对易，则若二者对易，则 所代表的物理量可以同时测定。所代表的物理量可以同时测定。 厄米厄米( (HermiteHermite) )算符算符 若有算符若有算符 满足满足 ，则称，则称 为厄米算符。为厄米算符。 例：例： 所以，所以， 是厄米算符。是厄米算符。 是线性算符，但不是厄米算符。是线性算符，但不是厄米算符。 厄米算符的几个重要性质：厄米算符的几个重要性质： 正交：
3、正交： 对厄米算符，具有不同本征值的本征函数相互正交。对厄米算符，具有不同本征值的本征函数相互正交。若若 为厄米算符，且为厄米算符，且 则则 必为实数。即厄米算符的必为实数。即厄米算符的本征值为实数。本征值为实数。 (3) (3) 算符的运算规则算符的运算规则 加减法加减法 乘法乘法 （注：乘法交换律不一定满足）（注：乘法交换律不一定满足） 算符相等算符相等 算符的平方算符的平方 2 2力学量与算符关系假设力学量与算符关系假设 假设假设2 2 对一个微观体系的每个可观测的力学量对一个微观体系的每个可观测的力学量 都对应着一都对应着一个线性轭米算符个线性轭米算符 。 力学量：经典物理学中的物理量
4、。如：时间、坐标、动量、力学量：经典物理学中的物理量。如：时间、坐标、动量、动能、势能等。动能、势能等。 力学量的基本算符：力学量的基本算符： 时空坐标算符时空坐标算符 动量算符动量算符 对于单电子一维运动的动量算符：对于单电子一维运动的动量算符： 其中，其中，构造力学量算符的方法构造力学量算符的方法 先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换：先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换： 动能算符动能算符 一维空间运动粒子的动能算符一维空间运动粒子的动能算符: :三维空间运动粒子的动能算符三维空间运动粒子的动能算符: :势能算符势能算符 一维空间运动粒子的势能算符一维
5、空间运动粒子的势能算符: :三维空间运动粒子的势能算符三维空间运动粒子的势能算符: :能量算符（哈密顿算符）能量算符（哈密顿算符） 一维空间运动粒子的能量算符：一维空间运动粒子的能量算符： 粒子的能量算符粒子的能量算符哈密顿算符哈密顿算符 ， 三维空间运动粒子的能量算符：三维空间运动粒子的能量算符： 角动量、角动量平方算符角动量、角动量平方算符 一质量为一质量为m m的粒子围绕点的粒子围绕点O O运动运动, ,其角动量其角动量 按照矢量积的定义展开之：按照矢量积的定义展开之： 则角动量在三个坐标轴上的分量则角动量在三个坐标轴上的分量 的经典表达式应为：的经典表达式应为： 它们对应的量子力学算符
6、它们对应的量子力学算符( (直角坐标形式直角坐标形式) )： 1.假设假设3例例1： 那么，那么， 为的为的 本征函数，与函数本征函数，与函数 对应的本征值是对应的本征值是2 2， 为本征方程。为本征方程。 如果如果 算符满足算符满足 其中其中a为常数为常数，则称则称a是算符的一个是算符的一个本征值本征值，f(x)为算符为算符 的属于本征值的属于本征值a的的本征函本征函数数，上述方程称为，上述方程称为本征方程本征方程。 三、三、本征态，本征值和薛定谔方程本征态，本征值和薛定谔方程例例2：下列函数下列函数,那些是那些是的本征函数的本征函数?并求出相应的本征值。并求出相应的本征值。 其相应的本征值
7、为其相应的本征值为-m2 其相应的本征值为其相应的本征值为-1 (a)和和(b)是是的本征函数。的本征函数。2 2定态薛定谔方程定态薛定谔方程 当体系的势能项当体系的势能项V V中，不含时间变量中，不含时间变量t t，体系的势能不随时体系的势能不随时间变化亦即体系的哈密顿量不随时间变化，这种状态称为定间变化亦即体系的哈密顿量不随时间变化，这种状态称为定态。态。( (本课程只讨论定态本课程只讨论定态) )于是定态薛定谔方程的算符表达式为：于是定态薛定谔方程的算符表达式为： 上式表明哈密顿算符上式表明哈密顿算符 作用在波函数上等于能量作用在波函数上等于能量E E乘以波函数。乘以波函数。E E是是
8、的本征值，的本征值， 为的为的 本征态，方程为本征方程。定态薛定本征态，方程为本征方程。定态薛定谔方程的算符表达式实际上就是能量算符的本征方程，表示能谔方程的算符表达式实际上就是能量算符的本征方程，表示能量有确定值。量有确定值。 将某体系实际的势能算符写进方程，根据边界条件将某体系实际的势能算符写进方程，根据边界条件和品优波函数的要求，求得描述体系的波函数和品优波函数的要求，求得描述体系的波函数 i以及该以及该状态的能量本征值状态的能量本征值Ei。解一个解一个Schrodinger方程所得的方程所得的 1， 2， 3，本征函数，本征函数，形成一个正交、归一的函数组。形成一个正交、归一的函数组。
9、四、四、态叠加原理态叠加原理 若若 1， 2， 3， n为某一微观体系的可为某一微观体系的可能状态，那么，能状态，那么，由由它们线性组合所得的它们线性组合所得的 也是该也是该体系可能的状态。体系可能的状态。 =c1 1+c2 2+cn nci i式中式中c1，c2，cn为为任意常数。其数值的大小决定任意常数。其数值的大小决定 的性质中的性质中 i的贡献，的贡献，ci大，相应的大，相应的 i的贡献大的贡献大设设与与1，2，3n对对应应的的本本征征值值分分别别a1，a2，a3an，当体系处于状态当体系处于状态且且已经归一化时，物理量已经归一化时，物理量A的平均值：的平均值：若若 已归一化，已归一化
10、， 力学量的平均值力学量的平均值1.本征态的物理量的平均值本征态的物理量的平均值2.非本征态的物理量的平均值非本征态的物理量的平均值若状态函数若状态函数不是物理量不是物理量A的本征态，当体系处于这个状的本征态，当体系处于这个状态时，态时，用积分计算平均值。，用积分计算平均值。五、五、Pauli原理原理 在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，而且这两个电子的自旋状态必须相反。两个电子，而且这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 或者还可以说：描述多电子体系轨道运动或者还可以说：描述多电子体系轨道运动和和自旋自旋运动的运动的完全波函数完全波函数，对任意两粒子的全，对任意两粒子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一定得反对称的波函数。定得反对称的波函数。
