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1、会计学1函数函数(hnsh)的极限的极限1第一页，共27页。一、自变量趋于无穷大时函数一、自变量趋于无穷大时函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限情形情形(qng xing)1 :是指是指无限无限(wxin)增大。增大。请看下表：请看下表： 发现发现:当当时时,记为记为不存在不存在.而而 g(x) 则不然则不然,第1页/共26页第二页，共27页。如果当如果当|x|无限增大时，对应无限增大时，对应(duyng)的函数值的函数值 f (x) 无限接无限接近于近于(jn y)常数常数 A，那么那么(n me)常数常数A称为当称为当时，时，f (x) 的极限的极限，记为记为与与比较：比较：不同点：不
2、同点：n 是离散变量是离散变量 , x 是连续变量是连续变量.共同点：共同点：当自变量的绝对值无限增大时，当自变量的绝对值无限增大时，对应的对应的函数值无限趋近于常数函数值无限趋近于常数.(1)(2)当当 |n | N 时时,总有总有的定义的定义整数整数N,类似于数列极限的定义类似于数列极限的定义 , 有有第2页/共26页第三页，共27页。当当| x | X 时时,有有| f (x)A|e e , ,当当 |n | N 时时,总有总有的定义的定义:整数整数N,定义定义(dngy)1 . 设函数设函数 f (x)当当| x |大于某一正数大于某一正数(zhngsh)时有定义时有定义,若若则称则称
3、时的极限时的极限(jxin),的的几何意义几何意义:记作记作常数常数A 为函数为函数或或当当 f (x)当当A直线直线 y = A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线.第3页/共26页第四页，共27页。例例1. 证明证明(zhngmng)证证:取取因此因此(ync)注注:就有就有对对欲使欲使只要只要(zhyo)为为的水平渐近线的水平渐近线.当当| x | X 时时,当当时时, 有有第4页/共26页第五页，共27页。情形情形(qng xing)2 : 描述描述(mio sh) :x 无限变大时，无限变大时， f (x)无限接近无限接近(jijn)于常数于常数 A 例如例如 :不存在不存在情形情
4、形3 :描述描述 :x 无限变小时，无限变小时， f (x)无限接近于常数无限接近于常数 A例如例如 :当当且且无限增大无限增大.表示：表示：当当且且无限增大无限增大表示：表示：第5页/共26页第六页，共27页。注注 若若机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 或或则则直线直线(zhxin) y = A (zhxin) y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) y = f (x)的水平渐近线的水平渐近线 . .例如例如(lr)(lr)，都有水平渐近线都有水平渐近线第6页/共26页第七页，共27页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
5、返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 定理定理(dngl)1(dngl)1存在存在(cnzi)(cnzi)（为（为A A）与与都存在且相等（为都存在且相等（为A）例例2判断判断是否存在是否存在? ?解解不存在不存在.第7页/共26页第八页，共27页。二、自变量趋于有限值时函数二、自变量趋于有限值时函数(hnsh)的极限的极限当当看下表看下表:机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 时时,注意注意(zh y):f (x)在在x=1处无定义，但极限仍存在处无定义，但极限仍存在.记作记作第8页/共26页第九页，共27页。1. 函数函数(hnsh)极限
6、极限描述描述(mio sh)：值值 f (x)无限无限(wxin)接近于常数接近于常数 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当 x x0 且且 x 无限接近无限接近 x0 时，时，对应函数对应函数定义定义1 设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义, ,当当时时, ,有有则称常数则称常数A为为当当时的极限时的极限, ,或或若若记作记作当当第9页/共26页第十页，共27页。例例例例1.1.1.1.证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此(ync)只要只要(zhyo)当当时时, 有
7、有第10页/共26页第十一页，共27页。例例2. 证明证明(zhngmng)证证:(C为常数为常数(chngsh)(比如比如故故存在存在(cnzi)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当时时 , 因此因此总有总有例如例如第11页/共26页第十二页，共27页。定理定理(dngl)2. 设初等函数设初等函数的定义的定义(dngy)区间为区间为D，如果如果(rgu)那么那么例例3. 求下列极限求下列极限(1)(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解(1)是初等函数是初等函数, 原极限原极限=(2)原极限原极限=第12页/共26页第十三页，共27
8、页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2. 设初等函数设初等函数的定义区间为的定义区间为D，如果如果那么那么 x = 3 时分时分(shfn)母为母为 0 !例例4. 求求解解原式原式第13页/共26页第十四页，共27页。例例5 . 求求机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 解解原式原式方法方法:分母有理化分母有理化定理定理2. 设初等函数设初等函数的定义区间为的定义区间为D，如果如果那么那么第14页/共26页第十五页，共27页。2. 单侧极限单侧极限(jxin)左极限左极限(jxin) :描述描述(mio sh)：当：当 且且 x 无
9、限接近无限接近 时，时， 无限无限接近于常数接近于常数 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 x0x右极限右极限 :描述：描述：当当 且且 x 无限接近无限接近 时，时， 无限无限 接近于常数接近于常数 A.x0xxx第15页/共26页第十六页，共27页。定理定理(dngl) 3 .（重要）（重要）存在存在(cnzi)都存在都存在(cnzi)且相等。且相等。注注: Th 3主要用于讨论主要用于讨论分段函数分段函数在在分段点分段点处处的极限的极限.第16页/共26页第十七页，共27页。例例6. 设函数设函数(hnsh)机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
10、 求：求：存在存在都存在且相等。都存在且相等。解解即即第17页/共26页第十八页，共27页。例例6. 求：求：即即不存在不存在(cnzi).存在存在都存在且相等都存在且相等第18页/共26页第十九页，共27页。则存在则存在(cnzi) 的的三、极限三、极限三、极限三、极限(jxin)(jxin)(jxin)(jxin)的性质的性质的性质的性质定理定理(dngl)4 . 若若且且 A 0 ,证证: 对于对于当当 时时,有有故在去心邻域故在去心邻域 内内 ( A 0 时，类似；时，类似；这个定理称为保号性定理这个定理称为保号性定理 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个去心邻域，在该邻域内，必
11、有一个去心邻域，在该邻域内，必有即：即：第19页/共26页第二十页，共27页。推论推论推论推论(tuln)(tuln)(tuln)(tuln)若在若在若在若在x0x0x0x0的某去心邻域的某去心邻域(ln y)内内, 且且 则则定理定理 若若且且 A 0 ,则存在则存在的一个去心邻域，在该邻域内，必有的一个去心邻域，在该邻域内，必有推论推论(tuln)中若中若 ，则，则 。注注:第20页/共26页第二十一页，共27页。 作业作业(zuy) P23 1; 2 ; 3 ; 5 第21页/共26页第二十二页，共27页。思考思考(sko)与练习与练习1. 若极限若极限(jxin)存在存在(cnzi),
12、2. 设函数设函数且且存在存在, 则则是否一定有是否一定有第四节第四节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ？第22页/共26页第二十三页，共27页。问题问题(wnt)：是否是否(sh fu)(sh fu)存在存在? ?解解定理定理1存在（为存在（为A）与与都存在且相等（为都存在且相等（为A）1不存在不存在(cnzi)不存在不存在第23页/共26页第二十四页，共27页。例例2. 证明证明(zhngmng)证证:机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当时时, 有有欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此(ync)只要只要第24
13、页/共26页第二十五页，共27页。水平水平(shupng)渐近线的求法：渐近线的求法：第一步：求出极限第一步：求出极限(jxin)第二步：写出结论第二步：写出结论(jiln)或或或或直线直线 y = A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 这里这里A为常数为常数第25页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结会计学。而 g(x) 则不然,。如果(rgu)当|x|无限增大时，对应的函数值 f (x) 无限接。类似于数列极限的定义 , 有。设函数 f (x)当| x |大于某一正数时有定义,。直线 y = A 为曲线。f (x)在x=1处无定义，但极限仍存在.。值 f (x)无限接近于常数 A.。时 , 必有。例3. 求下列极限。例4. 求。例5 . 求。定理 3 .（重要）。注: Th 3主要用于讨论分段函数在分段点处。证: 第二十七页，共27页。
