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1、 专项训练 2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题 方法指导:利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看成特殊点解决问题,再运用从特殊到一般的思想,将特殊点转化为一般点(动点)来解答 技巧 1: 平行四边形中的动点问题 1如图,在ABCD 中,E,F 两点在对角线 BD 上运动(E,F 不重合),且保持 BEDF,连接AE,CF.请你猜想 AE 与 CF 有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由 (第 1 题) 技巧 2: 菱形中的动点问题 2如图,在菱形 ABCD 中,B60,动点 E 在边 BC 上,动点 F 在边 CD 上 (1)如图,若 E 是 BC 的中点,AEF60,求证:BEDF;
2、 (2)如图,若EAF60,求证:AEF 是等边三角形 (第 2 题) 技巧 3: 矩形中的动点问题 3在矩形 ABCD 中,AB4 cm,BC8 cm,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD,BC 于点 E,F,垂足为 O. (1)如图,连接 AF,CE.试说明四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长 (2)如图,动点 P,Q 分别从 A,C 两点同时出发,沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周,即点 P 自 AFBA 停止,点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中,已知点 P 的速度为 5 cm/s,点 Q 的速度为 4 cm/s,运动时间为 t s,当以 A,C,P,Q 四点为顶点的四边形
3、是平行四边形时,求t 的值 (第 3 题) 技巧 4: 正方形中的动点问题 4如图,正方形 ABCD 的边长为 8 cm,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的动点,且AEBFCGDH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)判断直线 EG 是否经过一个定点,并说明理由 (第 4 题) 参考答案 1解:AECF,AECF.理由如下: 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ABCD. ABECDF. 又BEDF,ABECDF. AECF,AEBCFD. AEBAEDCFDCFB180, AEDCFB.AECF. 2证明:(1)连接 AC.在菱形 ABCD 中,B60
4、,ABBCCD, BCD180B120,ABC 是等边三角形 又E 是 BC 的中点, AEBC.AEF60,FEC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF. (2)连接 AC.由(1)知ABC 是等边三角形, ABAC,ACBBACEAF60.BAECAF. BCD120,ACB60, ACF60B. ABEACF. AEAF.AEF 是等边三角形 3解:(1)四边形 ABCD 是矩形, ADBC. OAEOCF,AEOCFO. EF 垂直平分 AC,垂足为 O, OAOC. AOECOF.OEOF. 四边形 AFCE 为平行四边形 又E
5、FAC,四边形 AFCE 为菱形 设 AFCFx cm,则 BF(8x)cm, 在 RtABF 中,AB4 cm,由勾股定理得 42(8x)2x2,解得 x5, AF5 cm. (第 3 题) (2)显然当 P 点在 AF 上,Q 点在 CD 上时,A,C,P,Q 四点不可能构成平行四边形;同理 P点在 AB 上时,Q 点在 DE 或 CE 上,也不可能构成平行四边形因此只有当 P 点在 BF 上,Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形,如图,连接 AP,CQ,若以 A,C,P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,则 PCQA. 点 P 的速度为 5 cm/s,点 Q 的速度为 4 cm/s,
6、运动时间为 t s, PC5t cm,QA(124t)cm. 5t124t,解得 t43. 以 A,C,P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,t43. (第 4 题) 4(1)证明:四边形 ABCD 为正方形, AABCCADC90,ABBCCDAD. AEBFCGDH,BECFDGAH. AEHBFECGFDHG. EHEFFGGH,12. 四边形 EFGH 为菱形 1390,12, 2390.HEF90. 四边形 EFGH 为菱形, 四边形 EFGH 是正方形 (2)解:直线 EG 经过一个定点理由如下:如图,连接 BD,DE,BG.设 EG 与 BD 交于 O 点 BE DG, 四边形 BGDE 为平行四边形 BD,EG 互相平分BOOD. 点 O 为正方形的中心 直线 EG 必过正方形的中心