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1、第六章二次型第六章二次型一、元二次型的概念一、元二次型的概念1 1 1 1、二次型及其矩阵、二次型及其矩阵、二次型及其矩阵、二次型及其矩阵的二次齐次多项式的二次齐次多项式定义定义5.1 含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型或记为或记为注注注注当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型定义定义定义定义只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型 称为二次型的称为二次型的标准形标准形定义定义定义定义 特别地，称特别地，称为二次型的为二次型的规范形规范形、二次型、二次型、二次型、二次型的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示的矩
2、阵表示、二次型、二次型、二次型、二次型的和式表示的和式表示的和式表示的和式表示 则二次型则二次型 其中矩阵其中矩阵为对称矩阵为对称矩阵. .令令任一二次型任一二次型对称对称矩阵矩阵任一对称矩阵任一对称矩阵二次型二次型一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的二次型；的二次型；称为二次型称为二次型的矩阵；的矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为二次型的秩称为二次型的秩的秩3 3）复数域复数域上的元二次型上的元二次型例例1 1）实数域上的元二次型）实数域上的元二次型 2 2）实数域上的元二次型实数域上的元二次型练习练习写出下列二次型的对称矩阵写出下列二次型的对称矩阵(二二)线性变换线性变换定义定义5.2
3、关系式关系式称为由变量称为由变量到变量到变量的一个线性变量替换的一个线性变量替换,简称简称线性替换线性替换矩阵矩阵线性替换的矩阵线性替换的矩阵. 时称该线性替换为时称该线性替换为 非退化的线性替换非退化的线性替换. 以上线性替换可以表示为以上线性替换可以表示为即线性替换是非退化的即线性替换是非退化的,则则代入二次型代入二次型xTAx, 则则其中其中B=CTAC为对称矩阵为对称矩阵.因此因此yTBy是以是以B为矩阵的为矩阵的n元二次型元二次型例题例题 将以下二次型化为标准形将以下二次型化为标准形定义定义定义定义 设设, ,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵，则称则称合同于合同于,
4、,记为记为反身性反身性对称性对称性传递性传递性性质性质性质性质合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩. .与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. . 等价等价使得使得5.25.25.25.2二次型与对称矩阵的标准形二次型与对称矩阵的标准形二次型与对称矩阵的标准形二次型与对称矩阵的标准形( (一一) )用配方的法化二次型为标准形用配方的法化二次型为标准形 定理定理5.1 5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形性替换化为标准形. .5.25.25.25.2二次型与对称矩阵的标准形二次型与对称矩阵的标准形二次型与对称矩阵
5、的标准形二次型与对称矩阵的标准形( (一一) )用配方的法化二次型为标准形用配方的法化二次型为标准形 定理定理5.1 5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形性替换化为标准形. .例题例题 定理定理5.2 5.2 对任意一个对称矩阵对任意一个对称矩阵A,A,存在一个非奇存在一个非奇异矩阵异矩阵C,C,使得使得C CT TACAC为对角形为对角形. .即任何一个对称矩阵都即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同与一个对角矩阵合同. .例题例题(三三) 用正交替换法化二次型为标准形用正交替换法化二次型为标准形. 定理定理5.3 5.3 任何一个二次型任何一个二次型一定存在正交矩阵一定存在正交矩阵Q,Q,使得经过正交替换使得经过正交替换, ,把它化为标准形把它化为标准形其中其中是矩阵是矩阵A A的全部特征值的全部特征值. .用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例例2 2例例3 3
