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1、系统建模与动力学分析学 时 数：48学 分：3任 课 教 师：连峰工 作 单 位：电信学院综合自动化研究所办公室地点：西一楼117房间办公室电话：82663948-801信号流图信号流图是一种表示一组线性代数方程的图示方法。信号流图是一种表示一组线性代数方程的图示方法。像方块图一样，它也是一种描述系统内部信号传递关系的数学像方块图一样，它也是一种描述系统内部信号传递关系的数学图示模型。图示模型。信号流图比方块图更简便明了，不用进行简化，就可利用梅森信号流图比方块图更简便明了，不用进行简化，就可利用梅森增益公式求出系统的传递函数。增益公式求出系统的传递函数。信号流图的组成和建立信号流图的组成和建
2、立信号流图由节点和支路组成，如右图所示，信号流图由节点和支路组成，如右图所示，节点表示系统中的变量，节点表示系统中的变量，支路是连接两个节点的有向线段，支路是连接两个节点的有向线段，增益是两个变量之间的关系式，就是两个变量之间的传递函数。增益是两个变量之间的关系式，就是两个变量之间的传递函数。信号流图节点分为输入节点（或源点）输入节点（或源点）：只有输出支路没有输入支路的节点。输出节点（或阱点）输出节点（或阱点）：只有输入支路没有输出支路的节点。混合节点混合节点：既有输入支路也有输出支路的节点。混合节点可用增加一条增益为1的支路，转化为输出节点。信号流图前向通路与前向通路增益前向通路与前向通路
3、增益: : 信号从输入节点到输出节点传递时，对任信号从输入节点到输出节点传递时，对任何节点只通过一次的通路，称为前向通路。而前向通路上的各支路增何节点只通过一次的通路，称为前向通路。而前向通路上的各支路增益之积称为前向通路增益。益之积称为前向通路增益。回路与回路增益回路与回路增益: : 任何信号传递通路的起点和终点在同一节点上，且任何信号传递通路的起点和终点在同一节点上，且通过任何节点不多于一次的闭合通路称为回路。回路中各支路增益的通过任何节点不多于一次的闭合通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。乘积称为回路增益。如果回路之间没有任何公共节点，则称此种回路为如果回路之间没有任何公共
4、节点，则称此种回路为互不接触回路互不接触回路。如果已经有了系统的方块图，可以很方便地画出对应的信号流图。如果已经有了系统的方块图，可以很方便地画出对应的信号流图。信号流图注意注意：（1 1）节点所表示的变量等于流入该节点的信号之和。）节点所表示的变量等于流入该节点的信号之和。（2 2）从节点流出的每一支路信号都等于该节点所表示的变量。）从节点流出的每一支路信号都等于该节点所表示的变量。由此可知，由此可知，1 1、信号流图中的节点起到了方块图中的相加点和分支点的作用。、信号流图中的节点起到了方块图中的相加点和分支点的作用。2 2、支路增益相当于方块图中的方块中的函数。、支路增益相当于方块图中的方
5、块中的函数。当然，也可以从微分方程开始，绘制系统的信号流图。当然，也可以从微分方程开始，绘制系统的信号流图。信号流图信号流图梅森增益公式梅森增益公式 计算从输入节点到输出节点之间总增益的计算从输入节点到输出节点之间总增益的梅森公式，可以表示为梅森公式，可以表示为式中：式中： Pk是第是第k条前向通路的增益；条前向通路的增益； 称为信号流图的特征式，具体有称为信号流图的特征式，具体有信号流图k等于在除去与第等于在除去与第k条前向通路相接触的回路后的信号流图中，第条前向通路相接触的回路后的信号流图中，第k条前向通路特征式的余因式，可以从条前向通路特征式的余因式，可以从中除去与通路中除去与通路Pk相
6、接触的回路相接触的回路的回路增益后得到。的回路增益后得到。注意：上述求和过程，应在从输入节点到输出节点的全部可能的通路注意：上述求和过程，应在从输入节点到输出节点的全部可能的通路上进行。并且，（上进行。并且，（1）式表示的是从输入节点到输出节点之间的传递）式表示的是从输入节点到输出节点之间的传递函数。函数。如果要利用（如果要利用（1）式确定混合节点与输入节点之间的传递函数，需要）式确定混合节点与输入节点之间的传递函数，需要从混合节点增加一条增益为从混合节点增加一条增益为1的支路，将混合节点变为输出节点。的支路，将混合节点变为输出节点。实际上（实际上（1）式的）式的P就是闭环系统的就是闭环系统的
7、传递函数传递函数，而，而就是闭环系统的就是闭环系统的特特征多项式征多项式。信号流图例题：一系统的信号例题：一系统的信号流图如右图所示。试流图如右图所示。试利用梅森增益公式确定利用梅森增益公式确定系统的传递函数。系统的传递函数。解：解：由图可知，系统有由图可知，系统有3 3条前向通路，分别为条前向通路，分别为8 8个回路，各回路增益分别为个回路，各回路增益分别为信号流图其中，回路其中，回路L5与与L4和和L7不接触，不接触，L3与与L4不接触。不接触。 因此信号流图特征式为因此信号流图特征式为余因式为余因式为于是可得到系统的传递函数为于是可得到系统的传递函数为状态空间模型通常，系统的数学模型有两
8、种类型：通常，系统的数学模型有两种类型：一种是系统的一种是系统的输入输出模型输入输出模型，它描述的是系统的外部特性，即输入与，它描述的是系统的外部特性，即输入与输出之间的关系，如微分方程和传递函数等。输出之间的关系，如微分方程和传递函数等。另一种是另一种是状态空间模型状态空间模型，它不仅描述了系统的外特性，而且也给出了，它不仅描述了系统的外特性，而且也给出了系统的内部信息。系统的内部信息。这种模型分两段来描述输入与输出之间的信号传递。这种模型分两段来描述输入与输出之间的信号传递。第一段，描述的是系统输入对系统内部变量即状态变量的影响；第一段，描述的是系统输入对系统内部变量即状态变量的影响；第二
9、段，描述的是系统的输入和内部变量对输出变量的影响。这种模第二段，描述的是系统的输入和内部变量对输出变量的影响。这种模型表征了系统的所有动力学特征，是对系统的一种完全描述。型表征了系统的所有动力学特征，是对系统的一种完全描述。状态空间模型状状 态态 动态系统的状态是指完全描述系统时域行为的一个动态系统的状态是指完全描述系统时域行为的一个最小变量组。最小变量组。“最小变量组最小变量组”是指这组变量之间是相互独立的。是指这组变量之间是相互独立的。状态变量状态变量 最小变量组中的变量称为状态变量。最小变量组中的变量称为状态变量。状态向量状态向量 由状态变量构成的向量称为系统的状态向量或简称由状态变量构
10、成的向量称为系统的状态向量或简称状态。状态。状态空间状态空间 状态向量的取值空间称为状态空间，状态空间的状态向量的取值空间称为状态空间，状态空间的维数等于系统的阶数。维数等于系统的阶数。状态轨迹状态轨迹 对于某一时刻，状态向量表示为状态空间中的一对于某一时刻，状态向量表示为状态空间中的一个点，状态向量随时间变化将构成状态空间中的一条轨迹，即状个点，状态向量随时间变化将构成状态空间中的一条轨迹，即状态轨迹。态轨迹。状态空间模型状态方程状态方程: : 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程，描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程，称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入引起
11、的内部状态变称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入引起的内部状态变化，其矩阵形式为：化，其矩阵形式为：式中：式中： x，u分别是分别是n维状态向量维状态向量（n是系统的阶数）和是系统的阶数）和r维输入向量维输入向量（r是输入是输入变量的维数）；变量的维数）；A(t)是是nn维的方阵，它表明了系统内部状态变量之间的联系，称为维的方阵，它表明了系统内部状态变量之间的联系，称为系系统矩阵统矩阵；B(t)是是nr 维的矩阵，称为维的矩阵，称为输入矩阵输入矩阵。状态空间模型输出方程输出方程: : 描述输出变量、状态变量和输入变量之间关系的代数方程描述输出变量、状态变量和输入变量之间关系的代数方程组
12、，称为输出方程，其矩阵形式表示为：组，称为输出方程，其矩阵形式表示为：式中：式中：y，C(t)，D(t)分别是分别是m维输出向量（维输出向量（m表示输出变量的个数），表示输出变量的个数）， mn维的维的输出矩阵输出矩阵， nr 维的维的前馈矩阵前馈矩阵。状态空间模型状态空间表达式状态空间表达式: : 状态方程和输出方程的组合，称为状态空间表达状态方程和输出方程的组合，称为状态空间表达式或动态方程。式或动态方程。对于线性定常连续系统，其状态空间表达式为对于线性定常连续系统，其状态空间表达式为线性系统的方块图线性系统的方块图线性连续系统的状态线性连续系统的状态空间表达式常用右图空间表达式常用右图所
13、示的方块图来表示。所示的方块图来表示。状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是根据物理机理直接建立状态空间表达式；一是根据物理机理直接建立状态空间表达式；二是由已知的系统输入输出模型，如微分方程、传递函数、方块图等，二是由已知的系统输入输出模型，如微分方程、传递函数、方块图等，转化为系统的状态空间表达式。转化为系统的状态空间表达式。根据系统物理机理建立状态空间表达式根据系统物理机理建立状态空间表达式通常选取独立的储能元件的变量作为系统的状态变量。如弹簧的位移、通常选取独立的储能元件的变量作为系统的状态变量。如弹簧的位移、质量块的运动速度、
14、电感的电流和电容的电压等。质量块的运动速度、电感的电流和电容的电压等。状态空间表达式的建立在选取状态变量时，应注意储能元件的在选取状态变量时，应注意储能元件的独立性独立性。例如在电系统中，纯电容回路或者由电容和独立电压源组成的回路；例如在电系统中，纯电容回路或者由电容和独立电压源组成的回路；纯电感割集或者由电感和独立电流源组成的割集的电感上的电流变量，纯电感割集或者由电感和独立电流源组成的割集的电感上的电流变量，它们不是相互独立的。它们不是相互独立的。此时，电系统的独立的状态变量个数为此时，电系统的独立的状态变量个数为其中：其中：nCL为电系统中电容和电感元件的总数；为电系统中电容和电感元件的
15、总数；nC为纯电容回路数（包括由电容和为纯电容回路数（包括由电容和独立电压源组成的回路数）；独立电压源组成的回路数）； nL为纯电感割集数（包括由电感和为纯电感割集数（包括由电感和独立电流源组成的割集数）。独立电流源组成的割集数）。状态空间表达式的建立例题：一机械系统如下图所示。试建立以力例题：一机械系统如下图所示。试建立以力f为输入，两质量为输入，两质量块的位移块的位移y1，y2为输出的状态空间表达式。为输出的状态空间表达式。解：该系统有解：该系统有4个储能元件，它们是相互独立的。因此，可以选择这个储能元件，它们是相互独立的。因此，可以选择这4个储能元件的变量（弹簧的位移和质量块的速度）作为
16、状态变量。个储能元件的变量（弹簧的位移和质量块的速度）作为状态变量。即即y1，y2 ，v1，v2.令令状态空间表达式的建立对于两质量块，根据牛顿定律，有将状态变量代入上两式，整理后得状态空间表达式的建立写成矩阵形式的系统方程为写成矩阵形式的系统方程为输出方程为输出方程为状态空间表达式的建立根据系统的输入输出模型根据系统的输入输出模型- -传递函数建立状态空间表达式传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式的过程称为由传递函数建立状态空间表达式的过程称为“实现实现”。由于状态变量选取的非唯一性，系统的实现也不是唯一的。由于状态变量选取的非唯一性，系统的实现也不是唯一的。其中维数最低的
17、实现称为该系统的其中维数最低的实现称为该系统的最小实现最小实现。直接分解法直接分解法 这种方法适用于传递函数的分子、分母多项式没有分解成因式的这种方法适用于传递函数的分子、分母多项式没有分解成因式的情况。具体步骤如下：情况。具体步骤如下：状态空间表达式的建立首先，根据梅森公式由传递函数得到相应的信号流图，在信号流图中首先，根据梅森公式由传递函数得到相应的信号流图，在信号流图中定义每个积分器的输出为状态变量；定义每个积分器的输出为状态变量；然后，根据信号流图中信号传递关系，列写状态空间表达式。然后，根据信号流图中信号传递关系，列写状态空间表达式。例题：假设例题：假设4 4阶系统传递函数为：阶系统
18、传递函数为：或或状态空间表达式的建立如果令积分器的输出为状态变量，则积分器的输入自然就是状态变如果令积分器的输出为状态变量，则积分器的输入自然就是状态变量的导数。量的导数。由梅森公式由梅森公式可知，分子是前向通道参数，分母是反馈回路参数。当所有的反馈可知，分子是前向通道参数，分母是反馈回路参数。当所有的反馈回路相互接触，以及所有前向通路与反馈回路接触时，回路相互接触，以及所有前向通路与反馈回路接触时，状态空间表达式的建立比较（比较（3 3）式和（）式和（1 1）式可知，传递函数式（）式可知，传递函数式（1 1）对应的信号流图中应）对应的信号流图中应有有4 4条前向通路和条前向通路和4 4个反馈
19、回路。其信号流图为个反馈回路。其信号流图为状态空间表达式的建立由信号流图可写出状态方程为由信号流图可写出状态方程为输出方程为：输出方程为：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：状态空间表达式的建立在上面的信号流图中，节点在上面的信号流图中，节点 可分别合并为一个节可分别合并为一个节点。于是，可直接由（点。于是，可直接由（1）式得到如下图所示的被称为）式得到如下图所示的被称为相变量型信相变量型信号流图号流图。 上述方法可推广到上述方法可推广到n阶系统。其参数为阶系统。其参数为状态空间表达式的建立按直接分解法得到的状态空间模型称为按直接分解法得到的状态空间模型称为能控标准型能控标准型，或者，或者相变量型
20、状相变量型状态空间表达式态空间表达式。输入前馈形式的信号输入前馈形式的信号流图如右图所示。流图如右图所示。其各状态变量间的其各状态变量间的关系为。关系为。矩阵形式的状态空间表达式为：矩阵形式的状态空间表达式为：状态空间表达式的建立如果重新定义状态如果重新定义状态变量，则有右图所变量，则有右图所示信号流图。其状示信号流图。其状态变量间关系如下。态变量间关系如下。用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为称为称为能观标准型能观标准型。状态空间表达式的建立串连分解法串连分解法传递函数为传递函数为可看作可看作3 3个个1 1阶系统的串联，即阶系统的串联，即根据直接分解法可画出每个根据直接分解法可画出每个1 1阶
21、传递函数相应的信号流图，然后将它阶传递函数相应的信号流图，然后将它们串联起来，得完整的信号流图如下图所示。们串联起来，得完整的信号流图如下图所示。状态空间表达式的建立令积分器的输出为状态变量，于是系统的状态方程和输出方程令积分器的输出为状态变量，于是系统的状态方程和输出方程分别为：分别为：状态空间表达式的建立并连分解法并连分解法传递函数为传递函数为首先，将传递函数展开首先，将传递函数展开成部分分式，即成部分分式，即（对单极点情况）（对单极点情况）可看作可看作3 3个个1 1阶环节并联。阶环节并联。其信号流图为右图所示。其信号流图为右图所示。状态空间表达式为状态空间表达式为状态空间表达式的建立对
22、于有重极点情况对于有重极点情况于是其信号流图如右图所示于是其信号流图如右图所示注意：注意：第一个积分器被两个通道所公用，这样能使系统中所含积分器第一个积分器被两个通道所公用，这样能使系统中所含积分器的数目为最小。的数目为最小。状态空间表达式的建立对应该信号流图的状态空间表达式为：对应该信号流图的状态空间表达式为：注意：注意：对单极点情况，称为对单极点情况，称为对角线标准型对角线标准型。对有重极点的情况，如上式所示，称为对有重极点的情况，如上式所示，称为约当标准型约当标准型。状态空间表达式的建立根据系统的输入输出模型根据系统的输入输出模型微分方程建立状态空间表达式微分方程建立状态空间表达式对于对
23、于n n阶线性定常连续系统，微分方程可表示为阶线性定常连续系统，微分方程可表示为可求出与之对应的传递函数，利用上述方法得到其状态空间表达式。可求出与之对应的传递函数，利用上述方法得到其状态空间表达式。对于微分方程对于微分方程如果给定初始条件如果给定初始条件微分方程有唯一解。微分方程有唯一解。于是，可选取状态变量为。于是，可选取状态变量为。状态空间表达式的建立于是，状态方程为于是，状态方程为输出方程为输出方程为写成矩阵形式为写成矩阵形式为状态空间表达式的建立注意：注意：状态变量是输出变量及其各阶导数，通常称这组变量为状态变量是输出变量及其各阶导数，通常称这组变量为向变量向变量。数学上称形如右式的
24、矩阵为数学上称形如右式的矩阵为友矩阵友矩阵或或相伴矩阵相伴矩阵。传递函数与状态空间表达式之间的关系系统的状态空间表达式为：系统的状态空间表达式为：对其进行拉普拉斯变换，有对其进行拉普拉斯变换，有整理后得整理后得在零初始条件下，系统的传递函数为在零初始条件下，系统的传递函数为组合系统的状态空间表达式在实际物理系统中，一个系统往往由若干个子系统相互连接而成。把在实际物理系统中，一个系统往往由若干个子系统相互连接而成。把两个以上的子系统按一定方式相互连接而成的系统称为两个以上的子系统按一定方式相互连接而成的系统称为组合系统组合系统。对于组合系统，基本的连接方式是：对于组合系统，基本的连接方式是：并联
25、、串联和反馈并联、串联和反馈。假设有两个线性子系统，其状态方程和输出方程分别为：假设有两个线性子系统，其状态方程和输出方程分别为：组合系统的状态向量记为组合系统的状态向量记为u，y分别是组合系统的输入和输出向量。分别是组合系统的输入和输出向量。组合系统的状态空间表达式1 1、子系统并联、子系统并联 实行并联的条件是：实行并联的条件是：两个子系统的输入向量和输出向量的维数应分别相等。两个子系统的输入向量和输出向量的维数应分别相等。并联系统的特点是并联系统的特点是并联组合后，系统的状态空间表达式为：并联组合后，系统的状态空间表达式为：由并联系统的特点，可推导出并联系统的传递函数阵为由并联系统的特点
26、，可推导出并联系统的传递函数阵为组合系统的状态空间表达式组合系统的状态空间表达式2 2、子系统串联、子系统串联 两个子系统实行串联的条件是：两个子系统实行串联的条件是：第一个系统的输出向量的维数与第二个系统的输入向量的维数相等。第一个系统的输出向量的维数与第二个系统的输入向量的维数相等。两个子系统串联后组合系统的状态空间表达式为两个子系统串联后组合系统的状态空间表达式为传递函数为传递函数为注意：在串连组合系统的传递函数阵中，子系统的串联顺序不能随意注意：在串连组合系统的传递函数阵中，子系统的串联顺序不能随意互换。互换。组合系统的状态空间表达式3 3、子系统反馈连接、子系统反馈连接 两个子系统实
27、行反馈连接的条件是：两个子系统实行反馈连接的条件是：输入向量输入向量u1，u以及输出向量以及输出向量y2的维数相同，输入向量的维数相同，输入向量u2与输出向量与输出向量 y1的维数相同。的维数相同。反馈连接的特点是反馈连接的特点是反馈系统的状态空间表达式为（假定反馈系统的状态空间表达式为（假定D D等于零）等于零）组合系统的传递函数阵为组合系统的传递函数阵为组合系统的状态空间表达式例题：试求右图所示两输入例题：试求右图所示两输入两输出系统的传递函数阵。两输出系统的传递函数阵。解：解：由系统的方块图可知，由系统的方块图可知，控制器的传递函数阵为控制器的传递函数阵为被控对象的传递函数阵为被控对象的传递函数阵为反馈通道的传递函数阵为反馈通道的传递函数阵为根据反馈系统的传递函数阵的结果，得系统的传递函数为根据反馈系统的传递函数阵的结果，得系统的传递函数为组合系统的状态空间表达式把参数代入上式得把参数代入上式得简化得简化得组合系统的状态空间表达式系统的输出量为系统的输出量为注意：注意：输入输出之间存在着耦合现象。输入输出之间存在着耦合现象。要消除耦合现象，系统传递函数阵必须是一个对角阵。要消除耦合现象，系统传递函数阵必须是一个对角阵。消除耦合现象的过程称为消除耦合现象的过程称为解耦解耦。
