工程图学第二章基本体和切

第二章第二章 基本体和切割体基本体和切割体 Pb ●●AP采用多面投影采用多面投影 过空间点过空间点A的的投射线投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影面上的投影B1●B2●B3● 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a ●2·12·1点的投影点的投影解决办法？解决办法？二、点的两面投影•点的两面投影体系•点在第一分角内的投影•点在其他分角内的投影•点在特殊位置的投影HV投影面投影面◆◆正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面或面或V面）面）◆◆水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）投影轴投影轴oXOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线两个投影面两个投影面互相垂直互相垂直VH●●●XOVHAaa xa向下翻向下翻不动不动点的点的两面投影体系两面投影体系aa aXO●●●●●XVHAaa 点的两面投影规律点的两面投影规律:①① a a⊥⊥OX轴轴②② aax= A到到V面的距离面的距离a ax= A到到H面的距离面的距离xa●Xaaxa ●HWV三、点的三面投影三、点的三面投影投影面投影面◆◆正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面或面或V面）面）◆◆水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）◆◆侧立投影面（简称侧侧立投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。

小写字母表示a ●a●a ●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO ●●az●x●●●●XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:①① a a⊥⊥OX轴轴②② aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazay●●YZaza XYayOaaxaya ● a a ⊥⊥OZ轴轴●●a aax例：已知点的两个投影，求第三投影例：已知点的两个投影，求第三投影●a ●●a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45°线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa ●点在四个分角中的投影点在特殊位置的投影三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。

位置关系判断方法：判断方法：▲ x 坐标大的在左坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前坐标大的在前▲ z 坐标大的在上坐标大的在上b aa  a b b●●●●●●B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下XYHYWZ重影点：重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点的重影点A、、C为为H面的重影点面的重影点●●●●●a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a caa a b b b●●●●●●2·2 2·2 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影就得到直线的同名投影⒈⒈ 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线倾斜于投影直线倾斜于投影投影比空间线段投影比空间线段 ab=AB直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 真实性真实性直线垂直于投影直线垂直于投影投影重合为一点投影重合为一点ab=0 积聚性积聚性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒉ ⒉ 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面(1) (1) 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性： 三个投影都缩短了三个投影都缩短了。

即即: 都不反映空间线段的实长及与都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜影轴都倾斜abb a b a 一般位置直线求实长•直角三角形法求实长投影面平行线投影面平行线b a aba b b aa b ba (2) 投影面平行线投影面平行线①① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角并反映直线与另两投影面倾角②② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线γ投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:α 与与V面的角面的角:β与与W面的夹角面的夹角: γ实长实长实长实长实长实长βγααβba aa b b 投影面垂直线投影面垂直线 反映线段实长且垂直反映线段实长且垂直于相应的投影轴于相应的投影轴3) (3) 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线②② 另外两个投影另外两个投影，①① 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。

投影特性投影特性: :●c (d )cdd c ●a b a(b)a b ●e f efe (f )例题：判断下列直线的位置二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 ◆◆ 若点在直线上若点在直线上, 则则点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上并将线段的名投影上并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例即：相同的比例即：　　 ◆◆若点的投影有一个不若点的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上， 则则该点必不在此直线上该点必不在此直线上判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb= a c  / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否段是否段AB上abca b c ①①c ②②abca b ●点点C在直在直线线AB上上例例2：判断点：判断点K是否段是否段AB上a b ●k 因因k 不在不在a  b 上，上， 故点故点K不在不在AB上应用定比定理应用定比定理abka b k ●●另一判断法另一判断法?直线的迹点•定义定义 直线与投影面的交点•基本特性基本特性 迹点是直线上的点，又是投影面上的点三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、、相交相交、、交叉交叉。

⒈⒈ 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行两直线就平行AB//CD①①b d c a cbadd b a c  对于投影面平行线，对于投影面平行线，只有这两个同名投影互只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一相平行，空间直线不一定平行要用两个投影要用两个投影判断，其中应包括反映判断，其中应包括反映实长的投影实长的投影求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行例例2：判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行②②求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk ⒉ ⒉ 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律影规律。

交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点●●cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交先作正面投影先作正面投影d b a abcdc1 (2  )3(4 )⒊ ⒊ 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性：：★★ 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律★★ “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置的空间位置●●Ⅰ、、Ⅱ是Ｖ面的重影点，是Ｖ面的重影点，Ⅲ、、Ⅳ是是H面的重影点面的重影点为什么？为什么？12●●3  4 ●●两直线相交吗？两直线相交吗？ 小小 结结  ★★点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直线的投影特性直线的投影特性 ★★点与直线及两直线的相对位置的判断方点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性法及投影特性。

★★定比定理定比定理重点掌握：重点掌握：一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO ●●●xa za①① a a⊥⊥OX轴轴②② aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a ⊥⊥OZ轴轴二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性⒈⒈ 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜三个投影与各投影轴都倾斜⒉⒉ 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相应的投影轴应的投影轴⒊⒊ 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴三、直线上的点三、直线上的点⒈⒈ 点的投影在直线的同名投影上点的投影在直线的同名投影上⒉⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比——定比定理。

定比定理四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置⒈⒈ 平行平行⒉⒉ 相交相交⒊⒊ 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行同名投影互相平行 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影对重影点的投影2.3 2.3 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法●●●●●●abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点●●●●●●abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c ●●●●●●d●d ●两平行直两平行直线线abca b c ●●●●●●两相交两相交直线直线●●●●●●abca b c 平面平面图形图形二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性★★ 平面平行投影面平面平行投影面-----投影就把实形现投影就把实形现★★ 平面垂直投影面平面垂直投影面-----投影积聚成直投影积聚成直线线　　★★ 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-----投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性⒈⒈ 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性⒉ ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面投影面垂直面投影面垂直面abca c b c b a ⒈ ⒈ 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线与投影轴的夹角反映空间平面线该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性另外两个投影面上的投影有类似性为什么？为什么？γβ是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影面平行面投影面平行面a b c a b c abc⒉ ⒉ 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线的投影轴平行的直线一般位置平面一般位置平面a b c a c b abc⒊ ⒊ 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似三个投影都类似投影特性：投影特性：平面的迹线表示法平面的迹线表示法1.一般位置直线一般位置直线2.特殊位置平面特殊位置平面三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。

内定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内此直线在该平面内⒈⒈ 平面上取任意直线平面上取任意直线abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线在平面内任作一条直线解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解有无数解例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mmn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？⒉⒉ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。

点的水平投影b①①acc a k b ●k● 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线②②●abca b k c d k●d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影的水平投影解法一解法一解法二解法二 小小 结结  重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点二、如何在平面上确定直线和点三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行两组相交直线对应平行四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线两者的共有点或共有线解题思路：解题思路：★★空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影目的是找出交点或交线的已知投影。

★★判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别如何利用重影点判别一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性投影特性要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈⒈ 一般位置平面一般位置平面⒉⒉ 投影面垂直面投影面垂直面⒊⒊ 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形——类似性类似性在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性积聚性另外两个投影类似另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性实形性 另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线⒈⒈ 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上⒉⒉ 平面上的直线平面上的直线⑴⑴ 过平面上的两个点。

过平面上的两个点 ⑵⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线相对位置包括相对位置包括平行平行、、相交相交和和垂直垂直一）、平行问题（一）、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括⒈⒈ 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行线，则该直线与此平面必相互平行 2.4 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置n ●●a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABCc ●●b a m abcmn唯一解唯一解n ⒉⒉ 两平面平行两平面平行①① 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。

平行②② 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行必相互平行f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef 例：过点K作一平面与相交两直线决定的平面平行k’kb’c’a’abcnmn’m’直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交⒈⒈ 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点面的共有点要讨论的问题：要讨论的问题：● 求求直线与平面的直线与平面的交点 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性二二））、相交问题、相交问题abcmnc n b a m ⑴⑴ 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性并判别可见性空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。

点的水平投影①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见还可通过重影点判别可见性还可通过重影点判别可见性k ●1 (2 )作作 图图k●●2●1●km(n)b●m n c b a ac⑵⑵ 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上在该点上①① 求交点求交点②② 判别可见性判别可见性 点点Ⅰ位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点Ⅱ位于位于MN上，在上，在后故k  2 为不可见为不可见1 (2 )k ●2●1●●作图作图用面上取点法用面上取点法⒉⒉ 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点要讨论的问题：要讨论的问题：①① 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： ⑴⑴ 确定两平面的确定两平面的两个共有点。

两个共有点⑵⑵ 确定确定一个共有点及交线的方向一个共有点及交线的方向②② 判别两平面之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：即： 判别可见性判别可见性可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别直观地进行判别abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线影都积聚成直线交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影交线的投影①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见在上，其水平投影可见n●m●●能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性并判别可见性⑴⑴b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。

正面投影有积聚性a b 与与e f 的交点的交点m  、、 b  c 与与f  h 的交点的交点n 即为两个共有点的即为两个共有点的正面投影，故正面投影，故m n 即即MN的的正面投影正面投影①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性点点Ⅰ在在FH上，点上，点Ⅱ在在BC上，上，点点Ⅰ在上，点在上，点Ⅱ在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见作作 图图m●●n ●2 ●n●m ●1 ●⑵⑵c d e f a b abcdef⑶⑶投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于Δdef的外面，说的外面，说明点明点N位于位于ΔDEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于ΔDEF这个图形内这个图形内 所以所以ΔABC和和ΔDEF的交线应为的交线应为MKn●n ●m ●k●m●k ●互交互交3.求一般位置直线和一般位置平面的交点求一般位置直线和一般位置平面的交点方法：辅助平面法求解过程：求解过程：NMFECABRK1.作辅助平面R2.求出交线MN3.求交线与EF的交点，即为所求交点Kkb●m n c b a ac1 (2 )k ●2●1●fee f  RHmn●●●●●kb●c b a ack ●fee f  求解过程：1.作辅助平面作辅助平面R2.求出交线求出交线MN3.求交线与求交线与EF的交点，即为所求交点的交点，即为所求交点K4.判断可见性判断可见性4.求两一般位置平面的交线求两一般位置平面的交线方法1：线面交点法方法2：三面共点法方法方法1：线面交点法：线面交点法方法方法2：三面共点法：三面共点法（三）垂直问题一、两直线垂直 直角投影定理二、直线与平面相互垂直三、两平面垂直直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

上的投影仍为直角设设 直角边直角边BC//H面面因因 BC⊥⊥AB, 同时同时BC⊥⊥Bb所以所以 BC⊥⊥ABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 ∠∠abc为直角为直角因此因此 bc⊥⊥ab故故 bc ⊥⊥ABba平面平面又因又因 BC∥∥bcABCabcHa c b abc.证明：证明：一一 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）d abca b c ● ●d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交垂直相交AB为正平线为正平线, 正面投影反映直正面投影反映直角二、直线与平面垂直 如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面；如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面内的所有直线 •定理若一直线垂直于一平面，则该直线正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影；该直线水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影；该直线侧面投影垂直于该平面内侧平线的侧面投影推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线必垂直于该平面的同名迹线作直线垂直于平面作平面垂直于直线判断直线与平面是否垂直求点K到平面△ABC的距离三、两平面垂直•若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直•作相互垂直平面的方法： 1、通过一平面的垂线作平面 2、垂直一平面内的一直线作平面例子例子（四）平面上的最大斜度线•平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最大斜度线。

•特性 1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直 2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角•证明求平面倾角（五）综合问题求解 点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法•1)直角三角形法求线段的实长相对投影面的倾角;•2)点将线段定比分割；•3)一条边平行于投影面的直角投影定理；•4)平面上取点、取直线；•5)过点或直线作平面;•6 )作平面的最大斜度线；•7)两直线问的相对位置关系(平行、相交、交叉、垂直)•8)直线与平面之间的相对位置关系(平行、相交、垂直)•9)平面与平面之间的相对位置关系(平行、相交、垂直)常用的基本作图原理和方法解题的一般步骤•弄清题意•空间分析•投影分析•拟定解题方法举例试过点K作直线KL，使其同时垂直于两相错直线AB、CD•空间分析•投影分析•拟定解题方法VWH2.5 2.5 体的投影体的投影 —— —— 视图视图一、体的投影一、体的投影 体的投影，实质上是构成该体的所体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。

有表面的投影总和二、三面投影与三视图二、三面投影与三视图1.1.视图的概念视图的概念主视图主视图 —— 体的正面投影体的正面投影俯视图俯视图 —— 体的水平投影体的水平投影左视图左视图 —— 体的侧面投影体的侧面投影2.2.三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应俯视左视宽相等且对应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 视图就是将物体向投视图就是将物体向投影面投射所得的图形影面投射所得的图形3.3.三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系  主视图反映：上、下主视图反映：上、下 、左、右、左、右  俯视图反映：前、后俯视图反映：前、后 、左、右、左、右  左视图反映：上、下左视图反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右2.6 2.6 基本体的形成及其三视图基本体的形成及其三视图 常见的基本几何体常见的基本几何体平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体点的可见性规定：点的可见性规定： 若点所在的平面的投影若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

的投影也可见 由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相点与在平面上取点的方法相同一、平面基本体一、平面基本体1.1.棱柱棱柱⑵⑵ 棱柱的三视图棱柱的三视图⑶⑶ 棱柱面上取点棱柱面上取点  a  a  a   (b ) b⑴⑴ 棱柱的组成棱柱的组成  b  由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成侧棱面与侧棱面的交线组成侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行 在图示位置时，六棱柱的两在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映底面为水平面，在俯视图中反映实形前后两侧棱面是正平面，实形前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合边形的边重合( ) s   s  2.2.棱锥棱锥⑵⑵ 棱锥的三视图棱锥的三视图⑶⑶ 在棱锥面上取点在棱锥面上取点  k  k  k  b  a  c abc a (c )b s  n  n ⑴⑴ 棱锥的组成棱锥的组成  n  由由一个底面和几个一个底面和几个侧棱面侧棱面组成。

组成侧棱线交侧棱线交于有限远的一点于有限远的一点——锥锥顶顶同样采用平面上取点法同样采用平面上取点法 棱锥处于图示位置时，棱锥处于图示位置时，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在俯视图上反映实形侧棱俯视图上反映实形侧棱面面SAC为侧垂面，另两个为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面侧棱面为一般位置平面 圆柱面的俯视图圆柱面的俯视图积聚积聚成一成一个圆，在另两个视图上分别以个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表两个方向的轮廓素线的投影表示二、回转体二、回转体1.1.圆柱体圆柱体 ⑵⑵ 圆柱体的三视图圆柱体的三视图 ⑶⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断可见性的判断 ⑷⑷ 圆柱面上取点圆柱面上取点  a  a  a  圆柱面上与轴线平行的任圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的一直线称为圆柱面的素线素线 ⑴⑴ 圆柱体的组成圆柱体的组成由由圆柱面和两底面圆柱面和两底面组成 圆柱面是由直线圆柱面是由直线AA1绕绕与与它平行的轴线它平行的轴线OO1旋转而成旋转而成。

A1AOO1 直线直线AA1称称为母线 利用投影利用投影的积聚性的积聚性利用利用45°线作图线作图 在图示位置，俯视图为一在图示位置，俯视图为一圆另两个视图为等边三圆另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影轮廓素线的投影 圆锥面是由直线圆锥面是由直线SA绕与绕与它相交的轴线它相交的轴线OO1旋转而旋转而成 S称为称为锥顶锥顶，，直线直线SA称称为母线为母线圆锥面上过锥顶圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的的任一直线称为圆锥面的素线素线O1O⑴⑴ 圆锥体的组成圆锥体的组成 s ● s ●2.2.圆锥体圆锥体⑵⑵ 圆锥体的三视图圆锥体的三视图⑶⑶ 轮廓线素线的投影与轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断曲面的可见性的判断⑷⑷ 圆锥面上取点圆锥面上取点  k ★★辅助素线法辅助素线法★★辅助纬圆法辅助纬圆法 (n )s●n k(n )●  k ●由由圆锥面和底面圆锥面和底面组成SA如何在圆锥面如何在圆锥面上作直线？上作直线？过锥顶作过锥顶作一条素线。

一条素线圆的半径？圆的半径？ 三个视图分别为三三个视图分别为三个和圆球的直径相等的个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影个方向轮廓线的投影3.3.圆球圆球 圆母线以它的直圆母线以它的直径为轴旋转而成径为轴旋转而成⑵⑵ 圆球的三视图圆球的三视图⑶⑶ 轮廓线的投影与曲轮廓线的投影与曲 面可见性的判断面可见性的判断⑷⑷ 圆球面上取点圆球面上取点 k 辅助纬圆法辅助纬圆法k k ⑴⑴ 圆球的形成圆球的形成圆的半径？圆的半径？3.3.圆环圆环（（1）） 圆环的形成圆环的形成（（2）） 圆环的三视图圆环的三视图 小　结小　结 重点掌握：重点掌握：基本体的三视图画法及面上找点的方法基本体的三视图画法及面上找点的方法⒈⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法平面体表面找点，利用平面上找点的方法⒉⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性圆柱体表面找点，利用投影的积聚性 ⒊⒊ 圆锥体表面找点，用辅助素线法和辅助纬圆法圆锥体表面找点，用辅助素线法和辅助纬圆法⒋⒋ 球体表面找点，用辅助纬圆法球体表面找点，用辅助纬圆法。

5. 圆环表面找点，用辅助纬圆法圆环表面找点，用辅助纬圆法。