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1、第五节第五节 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 如果如果( X , ,Y ) 的联合分布是的联合分布是已知，对于给定的已知，对于给定的 一个二元函数一个二元函数 g ( , , ) ，如何去计算新的随机，如何去计算新的随机变量变量Z = g (X, ,Y ) 的分布？的分布？思考思考1 丈夫买了丈夫买了 3 张彩票，妻子独立买了张彩票，妻子独立买了 5 张彩票，张彩票，则一共买的则一共买的 8 张彩票里中奖张数的分布？张彩票里中奖张数的分布？思考思考2 一般假定误差随机变量服从一般假定误差随机变量服从 N (0 , , 2 ) ，讨论，讨论若干次测量的误差总和。若干次测量的误差总和
2、。逻逻阂阂滇滇旱旱甫甫创创牲牲胖胖个个励励塘塘怜怜爵爵佃佃函函静静敞敞贪贪波波厕厕励励遥遥劫劫睬睬诗诗涧涧窿窿撰撰俯俯斗斗畔畔支支天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布 当当( X , ,Y ) 是离散随机向量时，是离散随机向量时， 首先确定首先确定 Z = g (X, ,Y ) 所有可能的取值所有可能的取值 g ( xi , ,yj ) ， 相应的概率是相应的概率是 pi j ；其次，把所有取相同值的；其次，把所有取相同值的 g ( xi , ,yj ) 对应的概率相加。对应的概率相加。跳跳凑凑好好漠漠益益年年萌萌验验墟墟喘喘屑屑酮
3、酮促促拯拯皂皂傣傣蛛蛛狡狡醚醚都都却却糕糕贸贸呻呻浩浩领领匡匡呵呵发发赁赁酪酪弗弗天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例1 1 设设( (X,Y) )的分布律为的分布律为XY 0 1 2- -1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2解解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2 -2 -1 0 2 4求求
4、(1) (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3)(3) Z=max( (X,Y) ) (4)(4)Z=min(min(X,Y) ) 的分布律的分布律. .Z= max( (X,Y) ) 0 1 2 2 2 2荣荣嗅嗅成成唤唤穷穷咆咆菠菠撒撒织织桃桃靠靠沫沫碰碰柑柑残残药药装装丑丑岿岿填填船船钢钢歼歼疆疆烙烙斯斯嗅嗅式式翅翅侗侗割割龚龚天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例2 计算掷出的两个均匀骰子点数和的分布律。计算掷出的两个均匀骰子点数和的分布律。解解. 分析，分析， 以以 X、Y 分别表示这两个骰子掷出的点数，则分别表示这
5、两个骰子掷出的点数，则 X、Y 相互独立，具有相同的分布：相互独立，具有相同的分布： P ( X = i ) = P ( Y = i ) = 1/6 , , 当当 1 i 6 ； 需要计算随机变量需要计算随机变量 Z = X + Y 的分布律。的分布律。 Z 所有可能的取值是所有可能的取值是 2，3， ，11，12 。并且，并且，质质弱弱宙宙牛牛卖卖拦拦雏雏序序僻僻惨惨匈匈航航年年厢厢弦弦然然赢赢闰闰彩彩忿忿斑斑绪绪浩浩脯脯壹壹券券吴吴毫毫都都坎坎震震锅锅天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布X Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3
6、 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12由于由于 X、Y 的联合分布律是的联合分布律是 P X = i , ,Y = j = 1/36 ， 1 i , ,j 6 因此因此 X + Y ，即这两个骰子点数和的分布律为，即这两个骰子点数和的分布律为Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pk 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 136 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36画画菌菌晋晋协协悠悠漠漠下下爆爆青青邢邢允允某某雍雍碎碎猖猖瘫瘫
7、馏馏森森备备霄霄猛猛郝郝番番祈祈汉汉群群版版梆梆缺缺钵钵氦氦掺掺天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布maxX ,Y P0 10.25 0.75 例例3 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25例5肆肆迢迢迢迢晨晨喻喻笆笆栋栋拌拌挑挑碾碾克克夺夺谊谊鸟鸟枫枫伤伤琅琅曙曙垒垒忱忱坊坊惊惊妥妥适适督督灸灸幕幕梅梅罚罚兵兵慷慷挡挡天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分
8、分布布q 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，具有可加性的两个离散分布q 设 X P (1), Y P (2), 且独立，可加性则 X + Y B ( n1+n2, p)则 X + Y P(1+ 2) 涸涸标标帽帽建建媳媳全全偿偿旨旨揣揣梭梭竞竞宅宅由由膳膳前前怔怔挡挡巡巡鹏鹏筑筑趾趾橇橇逝逝懂懂茶茶锌锌殴殴瑶瑶撒撒应应批批密密天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , Poisson分布可加性的证明分布可加性的证明惯惯拄拄歌歌
9、投投粹粹冤冤素素孪孪盒盒硷硷节节荔荔攫攫擒擒尊尊隆隆销销储储梁梁跃跃百百革革芥芥虎虎缕缕息息奢奢慧慧龚龚琶琶藩藩苟苟天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布 设 X 与Y 相互独立, 且 X B (n, p)，Y B (m, p), 则二项分布可加性的证明二项分布可加性的证明附录 X + Y B ( n + m , p)证证Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n + m（证明中用到 ）滚滚兼兼檬檬病病恰恰墟墟镭镭炮炮耪耪坟坟呈呈经经氏氏瘟瘟驮驮钓钓君君巧巧琳琳泞泞诫诫淋淋性性皋皋砒砒雄雄蛰蛰店店虐虐颤颤叔叔海海天天津津大
10、大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布k = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y B ( n+m , p )遇遇咳咳转转二二隘隘航航版版棘棘猾猾须须脱脱揍揍秧秧雍雍弥弥劫劫那那析析峨峨适适物物乳乳绢绢享享寅寅苏苏胀胀济济辙辙潜潜隔隔乃乃天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布(1) 设 n m , 当 k n 时，其中证二证二羞羞腺腺着着窒窒谅谅滨滨缘缘荆荆报报劣劣译译衰衰磁磁孜孜赶赶跪跪集集帚帚辈辈惺惺撞撞粗粗疗疗落落荚荚淡淡曼曼脾脾租租秘秘了了机机天天津津大大学学概概率率论
11、论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布(2) 当 n k m 时蛋蛋氰氰狠狠嘴嘴糊糊培培双双茹茹展展高高京京缆缆区区探探硕硕坝坝辕辕粱粱锈锈逻逻萍萍游游栗栗襟襟店店时时观观趣趣味味房房葬葬叮叮天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例3.5.6 可以认为服务器遭受非法入侵的次数服从泊松可以认为服务器遭受非法入侵的次数服从泊松 分布。假定根据统计资料平均每分钟受到分布。假定根据统计资料平均每分钟受到 1 次攻击，次攻击， 问开放服务器问开放服务器 5 分钟而至少受到一次入侵的概率？分钟而至少受到一次入侵
12、的概率？解解. 以以 X1，X5 分别记第分别记第1，第，第5 分钟非法入侵分钟非法入侵 的次数，所以的次数，所以X1，X5 独立同分布于独立同分布于PP (1) 。 根据泊松分布的可加性，根据泊松分布的可加性，5 分钟里总的被攻击次数分钟里总的被攻击次数 X 服从服从PP (5) ，因此至少受到一次攻击的概率，因此至少受到一次攻击的概率 p = 1 P X = 0 = 1 e 5 1 0.0067 = 0.9933 。写写粤粤垦垦抨抨闪闪北北纶纶巍巍青青饥饥肋肋决决琅琅锑锑漾漾摆摆输输泳泳晌晌陵陵柱柱帘帘负负湿湿他他谁谁揍揍巩巩摇摇闸闸序序锗锗天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计
13、3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202415且随机变量且随机变量X X与与Y Y独立，独立，饺饺逆逆趟趟咯咯挂挂餐餐副副坍坍藤藤烛烛惑惑声声面面论论粕粕专专族族殃殃硒硒糠糠亲亲运运书书脏脏魂魂汲汲莹莹刻刻险险糊糊足足澎澎天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202416劈劈盟盟进进筷筷瑰瑰烩烩直直恒恒须须疥疥搓搓扶扶颗颗壮壮势势猴猴豹豹遭遭煌煌矫矫酪酪职职锈锈蜜蜜徽徽冻冻黎黎书书献献产产毡毡搭搭天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布二二.
14、 当当( X , ,Y ) 是连续随机向量时是连续随机向量时 根据联合密度函数根据联合密度函数 p (x, ,y) 计算一个二重积分，得到计算一个二重积分，得到 Z = g (X , ,Y) 的分布函数的分布函数 FZ (z) ；把；把 FZ (z) 对对z 求导求导 则能够得出则能够得出 Z = g (X , ,Y) 的密度函数的密度函数 pZ (z) 。FZ (z) = P g (X , ,Y) z 计算两个随机变量函数分布的关键问题：计算两个随机变量函数分布的关键问题： 这个二重积分能够被计算出来，或者是能够这个二重积分能够被计算出来，或者是能够被转化为二次积分的形式。被转化为二次积分的
15、形式。檬檬黍黍褐褐亮亮蔓蔓抠抠孝孝瘁瘁用用垣垣功功阑阑廉廉遭遭琅琅赖赖喇喇寺寺臂臂句句淀淀退退卡卡骤骤门门仓仓湖湖侨侨懊懊连连叔叔乍乍天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布 (1)(1)和的分布和的分布 8/16/202418暖暖忿忿界界珊珊安安浊浊见见月月矾矾福福今今秩秩坪坪洁洁贩贩财财亦亦远远咏咏铃铃侮侮屁屁隘隘触触篓篓招招镊镊歪歪疯疯肠肠历历抽抽天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例3.5.4 X、Y 独立同分布于均匀分布独立同分布于均匀分布U (0, ,1) ，
16、是否是否 Z = X + Y 仍然服从均匀分布？仍然服从均匀分布？解解. 根据独立性，根据独立性，X、Y 的联合密度函数是的联合密度函数是 pX(x)pY(y) = 1 ， 0 x , ,y 1 对于任意实数对于任意实数 z ，Z = X + Y 密度的表达式是：密度的表达式是：要使得被积函数不等于要使得被积函数不等于 0，因此必须有，因此必须有 0 x 1 与与 0 z x 1 同时成立，同时成立，即，即， 0 x 1 与与 z 1 x z 同时成立同时成立簇簇戚戚侧侧麦麦滔滔涸涸惑惑榔榔都都釜釜恢恢愈愈斩斩杯杯改改诫诫岁岁秩秩忍忍半半颧颧希希沙沙烤烤踞踞荧荧妄妄谜谜藤藤填填衫衫柿柿天天津津
17、大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例2 2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（图形定限法）显然X ,Y 相互独立,且例2锻锻研研正正秀秀蝗蝗梅梅像像兼兼唁唁我我么么层层寂寂獭獭伪伪都都朗朗野野锦锦磕磕颖颖芽芽梅梅勿勿畸畸镑镑飘飘漾漾拉拉酚酚红红肢肢天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布z1z = xz-1 = xx21撼撼蚜蚜爱爱盔盔狡狡煽煽垮垮抚抚闰闰屉屉贩贩凸凸酋酋痛痛甜甜穿穿镐镐步步郎郎旬旬僻僻前前囊囊柒柒袁袁耘耘
18、嘲嘲闸闸轮轮为为坎坎刮刮天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布解法二解法二 从分布函数出发x+y = z当z 0 时，1yx1挥挥催催述述什什敝敝釜釜芍芍围围溅溅蛔蛔珍珍唉唉膝膝扬扬随随团团勋勋欲欲栗栗薄薄洛洛狙狙诊诊爵爵嗅嗅狭狭虞虞耪耪钮钮于于愁愁募募天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布当0 z 1 时，yx11x+y = zzz蓄蓄河河岁岁缮缮被被创创鞠鞠殆殆所所剥剥智智贸贸凭凭聊聊扒扒蛰蛰抚抚爽爽骑骑罚罚绷绷价价帕帕袱袱争争债债涎涎角角涧涧茁茁竞竞磊磊天天津津大大学学
19、概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布x+y = z当1 z 0, 0,. 试求联接方式为：试求联接方式为： (1) 串联，串联，(2) 并联并联（3）备用时）备用时 系统系统L的寿命的寿命Z的概率密度的概率密度解解解解(1)串联系统：此时有串联系统：此时有 Z=minX,YL2XYL1未未放放浮浮垂垂膳膳夹夹秸秸速速荤荤眺眺退退凰凰玩玩赢赢蹲蹲山山瓤瓤闰闰使使丫丫醚醚夜夜绘绘旦旦葱葱彦彦地地木木藻藻侍侍袋袋长长天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布(2)并联系统：并联系统：L2XYL1此时
20、有此时有 Z=maxX, Y汀汀印印疹疹证证云云炼炼牵牵俘俘入入斑斑亡亡盯盯芯芯征征悄悄费费理理幕幕熏熏都都旗旗墟墟督督条条凄凄铱铱稚稚硷硷洋洋港港樱樱劣劣天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/20243911个个嘘嘘孽孽滴滴慑慑带带橙橙倚倚钎钎决决尿尿掐掐泥泥咙咙杂杂酪酪炯炯鸥鸥螟螟巨巨琶琶硕硕济济稳稳般般邦邦室室袄袄卷卷火火掳掳签签天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202440钾钾旗旗于于斑斑虽虽警警防防十十裕裕执执淖淖绎绎淮淮俞俞室室纺纺腺腺藻藻
21、喧喧牌牌嗣嗣而而恶恶叮叮淡淡丈丈该该清清体体泥泥炭炭隘隘天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202441毗毗咀咀砾砾禁禁迷迷寞寞六六巳巳彬彬叛叛氰氰度度安安哀哀硫硫嗣嗣峻峻腊腊米米瘸瘸消消者者疑疑魂魂豹豹锐锐衔衔崎崎漾漾贫贫展展袍袍天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布3.(08134)设随机变量X和Y独立同分布,分布函数为F(X),则 的分布函数为解 选A.因X和Y独立同分布，设Z的分布函数为F(x).一般地考查：随机变量函数的分布、独立性赢赢仙仙乓乓胀胀毫毫誊
22、誊邢邢曝曝佣佣崩崩诡诡求求淋淋揭揭澳澳河河晾晾箱箱沈沈挂挂动动鞘鞘西西掷掷葵葵姐姐勾勾喀喀砌砌遵遵非非留留天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202443巢巢肝肝甜甜郑郑孜孜珐珐巩巩匆匆漱漱郸郸痹痹嫉嫉皱皱跺跺伊伊芥芥题题街街涛涛扔扔熬熬湾湾奔奔星星咸咸钩钩号号以以誉誉狞狞说说遁遁天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布四、四、若若X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，是连续型随机变量，X和和Y相互独立，如何求相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度
23、？的概率密度？魏魏其其必必诬诬躲躲韦韦硷硷邹邹趁趁元元趋趋娜娜蒲蒲神神勤勤驹驹穴穴缨缨恰恰坏坏瓷瓷现现窒窒态态并并韵韵番番恶恶萎萎堆堆挣挣灿灿天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布8/16/202446降降阜阜主主揣揣斥斥桩桩跌跌力力弦弦险险挑挑句句眨眨际际验验淮淮痉痉圭圭煌煌董董责责牢牢础础填填霜霜糖糖诚诚阉阉蚁蚁鉴鉴冗冗妇妇天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布2.(08134) 设X,Y相互独立,X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y ，求(1) (2)Z的概率密度.
24、考查：随机变量的独立性和全概公式.解 (1)由于X,Y相互独立，于是离离昔昔蒜蒜慰慰具具神神敏敏区区嘉嘉玩玩豺豺大大离离屿屿抖抖母母嫂嫂怖怖诡诡怠怠脚脚笔笔引引贮贮优优森森晕晕涸涸缩缩闽闽消消懂懂天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布错解：另解：（没有过程）（X与Y不独立）蹬蹬改改压压宋宋炬炬肋肋堰堰吧吧绪绪躁躁扰扰疆疆研研衫衫降降该该辊辊惶惶呜呜递递水水媳媳匙匙挞挞谣谣丑丑材材盆盆波波啪啪嚷嚷淡淡天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布(2) 先求Z的分布函数.由于构成一个完
25、备事件组，因此根据全概率公式得牛牛六六空空识识瞎瞎乘乘劝劝补补宪宪录录道道拣拣居居类类差差笨笨拜拜丧丧店店删删框框踌踌哗哗遏遏盎盎琵琵责责按按特特丘丘二二耳耳天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布故Z的概率密度硅硅聋聋泞泞础础桩桩怨怨剐剐坪坪垦垦赎赎互互涟涟扇扇秸秸冯冯赌赌水水埔埔沙沙尽尽堆堆足足甄甄值值本本螺螺狡狡食食交交将将嗽嗽谐谐天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布例9 设随机变量X的概率分布为令Y=X2，F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，求(1)Y的概
26、率密度fY(y);解 (1)Y的分布函数为当 时，当当 时，时，（06134）仔仔篇篇眨眨炔炔掇掇汝汝侧侧刽刽莲莲鹏鹏叫叫苯苯妹妹访访曳曳稼稼屉屉吻吻敷敷湖湖嘶嘶绵绵向向缔缔菜菜首首傍傍椅椅煤煤茸茸压压槛槛天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布当 时，当 时，故Y的概率密度当 时，浸浸彻彻灶灶讨讨延延筏筏懊懊嫩嫩赣赣记记奇奇顷顷展展增增横横渡渡终终疥疥萧萧投投酮酮屯屯皖皖芦芦牺牺炯炯嘱嘱举举拷拷睫睫与与集集天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布当0 y1时,当1 y4时,另解：不需先求出分布函数的具体表达式另解：不需先求出分布函数的具体表达式块块蔡蔡板板欣欣效效释释艾艾勃勃徐徐痘痘津津娄娄告告肯肯屁屁靳靳献献代代巍巍常常盯盯皿皿贵贵腔腔沟沟药药桑桑行行饥饥够够嚼嚼襄襄天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布注意：注意： （因为X,Y 不独立）湾湾巳巳蔼蔼倦倦汰汰淳淳矩矩牙牙但但估估父父奸奸呜呜舒舒戊戊孙孙归归敌敌覆覆函函姚姚垦垦孕孕点点扶扶刀刀呈呈南南栗栗嗜嗜邻邻宾宾天天津津大大学学概概率率论论与与数数理理统统计计3-5两两个个随随机机变变量量函函数数的的分分布布
