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1、BEYOND 说音乐就是我的生命我说*就是我的* 分分类加类加法原理和分法原理和分步乘步乘法原理法原理加法原理乘法原理相同点相同点它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少种共有多少种不同的方法不同的方法不不 同同 点点方式的不同方式的不同分类完成分类完成分类完成分类完成任何一类办法中的任何一类办法中的任何一个方法都能任何一个方法都能完成这件事完成这件事分步完成分步完成分步完成分步完成这些方法需要分步这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情才能完成这件事情问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选
2、出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,可以叙述为：可以叙述为：问题问题1：从：从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？定的顺序排成一列，一共有多少种不
3、同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb问题问题2：从：从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按照个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.排列排列：一般地，从：一般地，从n n个不同中取出个不同中取出m (m n)m (m n)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一
4、列，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个排列。个元素的一个排列。1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的
5、排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。(1)10(1)10名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会(2)10(2)10名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长(3)(3)从从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘(4)(4)从从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除(5)(5)以圆上的以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦(6)(6)以圆上的以圆上的1010个点中的某一点为起点，个点中的某一点为起点
6、， 作过另一个点的射线作过另一个点的射线(7)(7)有有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？(8)(8)有有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？排列数排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有个元素的所有排列的个数，叫做从排列的个数，叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素的排个元素的排列数。用符号列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？排列数，而不表示
7、具体的排列。排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从是指从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的所以符号所以符号只表示只表示“一个排列一个排列”是指：从是指：从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究探究：从：从
8、n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？ 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种排列数公式（排列数公式（1 1）当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：排列数公式（排列数公式（2 2）说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，
9、规定：时上面的公式也成立，规定：2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。排列排列:从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素个元素,按按照一定的顺序排成一列照一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个个元素的一个排列。排列。排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号用符号 表示。表示。排列数公式：排列数公式：n,mN*,并且m
10、n全排列：全排列：例例1 1、计算：、计算：（1 1）（2 2）（3 3）例例2 2、解方程：、解方程：某年全国足球甲级某年全国足球甲级(A(A组组) )联赛共有联赛共有1414队参加队参加, ,每每队都要与其余各队在主客场分别比赛队都要与其余各队在主客场分别比赛1 1次次, ,共进共进行多少场比赛行多少场比赛? ?有有5 5本不同的书本不同的书, ,从中选出从中选出3 3本给本给3 3名同学名同学, ,每人每人一本一本, ,共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? ?有有5 5种不同的书种不同的书, ,从中选出从中选出3 3本给本给3 3名同学名同学, ,每人每人一本一本, ,共有多少种不
11、同的选法共有多少种不同的选法? ?排列数分步乘法计数原理某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，共需要准备多少种普个车站，共需要准备多少种普通客票？通客票？每张票对应着每张票对应着2个车站的一个排列个车站的一个排列解某信号兵用红某信号兵用红, ,绿绿, ,蓝蓝3 3面旗从上到下挂在竖直面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号的旗杆上表示信号, ,每次可挂一面每次可挂一面, ,二面二面, ,三面三面, ,并且不同的顺序表示不同的信号并且不同的顺序表示不同的信号, ,一共可表示一共可表示多少种不同的信号多少种不同的信号? ?信号分三类，第一类为3面旗组成的信号，共A33种，第二类为2面旗组成的信号，共
12、A32种，第三类为1面旗组成的信号，共A31种，由加法原理得解N=6+6+3=163从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？1计算：（1）（2）课堂练习课堂练习2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有种不同的种植方法？4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）用用 0 0 到到 9 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？字的三位数？解法一：对排列方法解法一：对排列方法分步思考分步思考。解法二：对排列方法解法二：对排列方法分类思
13、考分类思考。解法三：解法三：间接法间接法. .（1）直接计算法：直接计算法：即把符合限制条件的排列数即把符合限制条件的排列数直接计算出来，此种算法又可分为先直接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊考虑特殊元素元素还是先考虑还是先考虑特殊位置特殊位置两种方法。两种方法。（2）间接计算法：间接计算法：即先不考虑限制条件，把所即先不考虑限制条件，把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。变式：从变式：从0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9
14、中取出不同的中取出不同的5 5个数字组成一个个数字组成一个5 5位位偶数偶数，有多少个这样的数？有多少个这样的数？直接法：直接法：间接法：间接法：类中分步类中分步问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3
15、名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，有多少种不同的选法？动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个数，个数，共多少个不同的共多少个不同的取法取法？把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,可以叙述为：可以叙述为：问题问题1：从：从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，一共有多少个，一共有多少种不同的种不同的取法取法？ab, ac, ba问题问题2：从：从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，个，一共有多一共有多少种不同的少种不同的取法取法？abc,abd,acb,b
16、cd组合组合：一般地，从：一般地，从n n个不同中取出个不同中取出m (m n)m (m n)个元素个元素合成一组，叫做从合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个个元素的一个组合。组合。1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、两个组合相同，当且仅当这两个组合中的元素完全、两个组合相同，当且仅当这两个组合中的元素完全相同。相同。(1)10(1)10名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会(2)10(2)10名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长(3)(3)从从2,3
17、,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘(4)(4)从从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除(5)(5)以圆上的以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦(6)(6)以圆上的以圆上的1010个点中的某一点为起点，个点中的某一点为起点， 作过另一个点的射线作过另一个点的射线(7)(7)有有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？(8)(8)有有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？例例1 1、下列问题是排列问题还是组合问题？、下列问题是排列问题还是组合问题？组合数组合数：从从n
18、n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有个元素的所有不同组合的个数，叫做从不同组合的个数，叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素个元素的组合数。用符号的组合数。用符号 表示。表示。问题中是求从个不同元素中取出个元素的组合数，问题中是求从个不同元素中取出个元素的组合数，记为记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的组合数，个元素的组合数，记为，已经算出记为，已经算出组合数公式组合数公式排列排列:从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素个元素,按按照一定的顺序排成一列照一定的顺
19、序排成一列,叫做从叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个个元素的一个排列。排列。组合组合：一般地，从：一般地，从n n个不同中取出个不同中取出m(mn)个元个元素合成一组，叫做从素合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元素的一个组合。素的一个组合。排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数。排列数。用符号用符号 表示。表示。组合数组合数：从：从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元个元
20、素的所有不同组合的个数，叫做从素的所有不同组合的个数，叫做从n n个不同的元个不同的元素中取出素中取出m m个元素的组合数。用符号个元素的组合数。用符号 表示。表示。排列数公式：排列数公式：n,mN*,并且mn组合数公式：组合数公式：n,mN*,并且mn全排列：全排列：例例1 1、计算：、计算：（1 1）（2 2）（3 3）4 4名男生、名男生、5 5名女生，全体排成一行，问下列情形各名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法有多少种不同的排法? ? （1 1）甲不在中间也不在两端；）甲不在中间也不在两端；（间接法（间接法-排除法）排除法）( (优限法）优限法）（2 2）甲、乙两人必
21、须排在两端；）甲、乙两人必须排在两端；（优限法（优限法-特殊位置法）特殊位置法）（3 3）男、女生分别排在一起；）男、女生分别排在一起；（捆绑法）（捆绑法）（4 4）男女相间；）男女相间；（插空法）（插空法）（5 5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定7 7名学生站成一排名学生站成一排, ,下列情况各有多少种不同的排法。下列情况各有多少种不同的排法。（1 1）甲、乙必须排在一起）甲、乙必须排在一起; ;（2 2）若甲不在排头，乙不在排尾）若甲不在排头，乙不在排尾; ;（3 3）甲、乙、丙互不相邻）甲、乙、丙互不相邻; ;（4 4）甲、乙之间须隔一个人）甲、乙
22、之间须隔一个人; ;（5 5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，）若甲必须在乙的右边（可以相邻， 也可以不相邻），有多少种站法？也可以不相邻），有多少种站法？ 有附加条件的排列应用题的基本解法：1）优限法）优限法有关特殊元素有关特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列问题要先找特殊位置的排列问题要先找出出“受限位置受限位置”与与“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”为主，用直接法逐位排列之，有时用间接法解之。为主，用直接法逐位排列之，有时用间接法解之。2）捆绑法）捆绑法若干个元素相邻排列问题，一般用若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法捆绑法”。先把。先把相邻的若干元素相邻的若干元
23、素“捆绑捆绑”为一个大元素与其余元素全为一个大元素与其余元素全排列，然后再排列，然后再“松绑松绑”，将这若干个元素内部全排列，将这若干个元素内部全排列3）插空法）插空法若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即先将先将“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每两个全排列，然后再在排就的每两个元素之间及两端插入特殊元素。元素之间及两端插入特殊元素。4）排除法）排除法对某些问题的反面比较明了，可用排除法。对某些问题的反面比较明了，可用排除法。6本不同的书分给甲乙丙本不同的书分给甲乙丙3人，求下列条件下各有几种不同的分配人，求下列条件下各有几种不同的分
24、配（1）甲）甲2本，乙本，乙2本，丙本，丙2本；本；（2）甲）甲1本，乙本，乙2本，丙本，丙3本；本；（3）甲）甲4本，乙本，乙1本，丙本，丙1本。本。6本不同的书分成本不同的书分成3堆，求下列条件下各有几种不同的分配堆，求下列条件下各有几种不同的分配（1）三堆的本数都为）三堆的本数都为2；（2）三堆的本数分别为）三堆的本数分别为1本，本，2本，本，3本；本；（3）三堆的本数分别为）三堆的本数分别为4本，本，1本，本，1本。本。6 6本不同的书分给甲乙丙本不同的书分给甲乙丙3 3人，求下列条件下各有几种不同的分配人，求下列条件下各有几种不同的分配（2 2）一人）一人1 1本，一人本，一人2 2
25、本，一人本，一人3 3本；本；（3 3）甲）甲3 3本，另外两人中有一人本，另外两人中有一人1 1本，另一人本，另一人2 2本。本。变式：从变式：从0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9中取出不同的中取出不同的5 5个数字组成一个个数字组成一个5 5位位偶数偶数，有多少个这样的数？有多少个这样的数？直接法：直接法：间接法：间接法：类中分步类中分步课堂小结课堂小结1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 1 1）某些元素不能在或必须排列在某一位置；）某些元素不能在或必须排列在某一位置；2 2）某些元素要求连排（
26、即必须相邻）；）某些元素要求连排（即必须相邻）；3 3）某些元素要求分离（即不能相邻）；）某些元素要求分离（即不能相邻）；2 2基本的解题方法：基本的解题方法：1 1）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；2 2） 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为种方法称为“捆绑法捆绑法”；3 3）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；4 4）在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，）在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径。从而寻求有效的解题途径。
