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1、数学模型数学模型 前言前言北京理工大学北京理工大学 李炳照李炳照/ /王宏洲王宏洲一、关于这门课程一、关于这门课程1 1、本门课程的目的、本门课程的目的数学模型与数学软件数学模型与数学软件2 2、本门课程介绍的主要内容、本门课程介绍的主要内容3 3、如何尽快掌握建模的方法和思路、如何尽快掌握建模的方法和思路A A、大量阅读和参考现成的模型；大量阅读和参考现成的模型；B B、亲自动手，多做实际案例。亲自动手，多做实际案例。讲课方式讲课方式n第第2 2周周-第第4 4周：周： 周一至周五周一至周五 上午上午8 8：00120012：0000；n每周每周2020学时，三周共学时，三周共6464学时的
2、课程；学时的课程；n其中周一、周三上午由我来讲课；其中周一、周三上午由我来讲课；n 周二、周四大家做试验与写论文；周二、周四大家做试验与写论文；n 9 9月月8 8日、日、9 9月月1313日、日、9 9月月1414日大家讲。日大家讲。n 9 9月月1717日，本课程的结业考试。日，本课程的结业考试。讲课内容讲课内容n一一、数学软件数学软件- -MatlabMatlab；n二、数学建模的基本内容；二、数学建模的基本内容；n三、往年数学建模竞赛点评与讲解。三、往年数学建模竞赛点评与讲解。数学建模试验和考试办法数学建模试验和考试办法2 2、数学建模试验以数学建模论文、学术论文的形式、数学建模试验以
3、数学建模论文、学术论文的形式提交，论文中要说明每个小组成员的分工情况。重点提交，论文中要说明每个小组成员的分工情况。重点考察数学建模、论文写作以及数学软件的使用情况；考察数学建模、论文写作以及数学软件的使用情况；3 3、9 9月月1717日是最后的课程考试，考察是否掌握了数学日是最后的课程考试，考察是否掌握了数学建模的基本思想和方法。建模的基本思想和方法。1 1、本课程会、本课程会3-53-5次数学建模试验，由大家自愿组成小次数学建模试验，由大家自愿组成小组来完成，每个小组人数不能超过三人。组来完成，每个小组人数不能超过三人。其它情况说明其它情况说明1 1、参加、参加9 9月全国数学建模竞赛的
4、同学可以不月全国数学建模竞赛的同学可以不用上本课程，但要参加最后的结业考试；用上本课程，但要参加最后的结业考试；2 2、申请、申请9 9月月1010前提交的全国大学生创新计划前提交的全国大学生创新计划项目的同学可获得一定程度的加分；项目的同学可获得一定程度的加分；3 3、在上课期间撰写出正式学术的论文的同学、在上课期间撰写出正式学术的论文的同学可以获一定程度的加分。可以获一定程度的加分。二、什么是数学模型？二、什么是数学模型？北京市区北京市区卫星城卫星城2卫星城卫星城1卫星城卫星城3卫星城卫星城4卫星城卫星城5制订道路交通建设方案制订道路交通建设方案首先要确定方案的选首先要确定方案的选择原则和
5、目标；择原则和目标；其次要量化评估不同其次要量化评估不同方案的交通能力；方案的交通能力；第三要量化评估各个第三要量化评估各个卫星城之间，以及与卫星城之间，以及与北京市区时间的交通北京市区时间的交通流量；流量；第四第四问题一：如何定义产品的寿命？问题一：如何定义产品的寿命？问题二：如何设计低成本、快速的评估方案？问题二：如何设计低成本、快速的评估方案？问题三：哪些因素对产品寿命影响最大？问题三：哪些因素对产品寿命影响最大？如何制订产品寿命评估办法？如何制订产品寿命评估办法？什么是数学模型？什么是数学模型？数学模型不是我们从小学开始接触到的数学应用题，正确的数学模型不是我们从小学开始接触到的数学应
6、用题，正确的理解应该是一种理解应该是一种“解决方案解决方案”，即从问题的原理到最终如何，即从问题的原理到最终如何一步步的处理问题，给出的一套完整的解释和可操作的方案一步步的处理问题，给出的一套完整的解释和可操作的方案.数学建模的另一个定义数学建模的另一个定义将将现实世界中的实际问题提炼成数学问题，并现实世界中的实际问题提炼成数学问题，并运用数学方法进行分析、预测和控制实际问题。运用数学方法进行分析、预测和控制实际问题。注意：这里的关键是注意：这里的关键是如何把如何把“实际问题实际问题”提炼成提炼成数学问题数学问题，至于接下来的，至于接下来的“运用数学方法进行分运用数学方法进行分析、预测和控制析
7、、预测和控制”不是我们这门课程的主要内容。不是我们这门课程的主要内容。很多模糊的观念很多模糊的观念n读书无用论n长寿学说n中国传统文化无法适应现代生活n股市是赚钱的地方n数学模型课程对于我们数学模型课程对于我们对于理学专业的学生是一门专业实践类的课程。对于理学专业的学生是一门专业实践类的课程。对于非理学专业的学生是研究方法类课程；对于非理学专业的学生是研究方法类课程；作用：了解所学数学知识的应用背景；克服对作用：了解所学数学知识的应用背景；克服对数学理论的一些片面认识；专门的一个机会，数学理论的一些片面认识；专门的一个机会，一段时间，重新考虑今后的个人发展思路。一段时间，重新考虑今后的个人发展
8、思路。数学模型课程的发展数学模型课程的发展三、三、数学建模竞赛数学建模竞赛1985年开始由美国工业与数学学会举办数学建模竞赛年开始由美国工业与数学学会举办数学建模竞赛(MCM), 每个大学限每个大学限4队队. 1989年我国大学生开始参加美国年我国大学生开始参加美国MCM.1992年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办合举办“中国大学生数学建模竞赛（中国大学生数学建模竞赛（CUMCM)”2000年，美国年，美国ICM(跨学科竞赛跨学科竞赛)开始开始. 我校成绩近年来越来越好。我校成绩近年来越来越好。20072007年美国竞赛中，年美国竞赛中，
9、7 7个参赛队个参赛队伍全部获二等奖及以上的奖励，同年全国竞赛伍全部获二等奖及以上的奖励，同年全国竞赛3030个队伍中有个队伍中有2121个队伍获得北京市二等奖及以上的奖励，其中三个全国一个队伍获得北京市二等奖及以上的奖励，其中三个全国一等奖；等奖；20082008年全国竞赛有两个队获全国一等奖，四个队获全年全国竞赛有两个队获全国一等奖，四个队获全国二等奖。国二等奖。数学建模竞赛的竞赛题数学建模竞赛的竞赛题n数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富挑战性的实际问题。挑
10、战性的实际问题。n竞竞赛赛的的题题目目一一般般来来源源于于工工程程技技术术和和管管理理科科学学等等方方面面经经过过适适当当简简化化加加工工的的实实际际问问题题，不不要要求求预预先先掌掌握握深深入入的的专专门门知知识识，而而具具有有较较大大的的灵灵活活性性供供参参赛赛者发挥。者发挥。n通常竞赛题有通常竞赛题有A, BA, B两题，各参赛队从中任选一题。两题，各参赛队从中任选一题。国内外竞赛的不同特点国内外竞赛的不同特点数学建模竞赛的参赛形式数学建模竞赛的参赛形式n开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。互联网，自由的收
11、集资料、调查研究。n由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。一篇数学建模全过程的论文。n没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定：方面来综合评定：（1 1）问题分析及假设的合理性；）问题分析及假设的合理性；（2 2）模型的正确性和创造性；（）模型的正确性和创造性；（3 3）运算结果的）运算结果的正确性；（正确性；（4 4）结论和讨论的科学性；（）结论和讨论的科学性；（5 5）论文）论文
12、表达的清晰性等。表达的清晰性等。今天有哪些数学建模竞赛？今天有哪些数学建模竞赛？n全国大学生数学建模竞赛（全国大学生数学建模竞赛（CUMCMCUMCM）甲乙组甲乙组n美国数学建模竞赛（美国数学建模竞赛（MCMMCM和和ICMICM）n全国部分高校研究生数学建模竞赛全国部分高校研究生数学建模竞赛n电工数学建模竞赛电工数学建模竞赛n国际数学建模问题征答国际数学建模问题征答www.mathmodels.orgwww.mathmodels.org数学建模竞赛的意义数学建模竞赛的意义n培养选手进行科学研究的能力培养选手进行科学研究的能力n培养选手通过研究学习新知识的能力培养选手通过研究学习新知识的能力n
13、培养选手勇于创新、理论联系实际的学风培养选手勇于创新、理论联系实际的学风n培养选手相互协调、团结合作的精神培养选手相互协调、团结合作的精神n极富挑战性的问题，给予选手高强度脑力劳动中极富挑战性的问题，给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验挑战极限的体验n素质教育的体现素质教育的体现n直接推动了数学的教学内容、课程体系的改革直接推动了数学的教学内容、课程体系的改革成功参赛的要素成功参赛的要素n浓厚的兴趣浓厚的兴趣n敏锐的洞察力和活跃的思维；敏锐的洞察力和活跃的思维；n获取新知识的能力获取新知识的能力n扎实的数学基础扎实的数学基础n熟练的计算机编程熟练的计算机编程n清晰的论文表达清晰的论文表达怎样
14、准备怎样准备n养成勤于研究的习惯；养成勤于研究的习惯；n选修选修“数学建模数学建模”课程课程; ;n学习相关数学知识：微积分、微分方程、线性代学习相关数学知识：微积分、微分方程、线性代数、概率统计，运筹学、数学实验、数学建模；数、概率统计，运筹学、数学实验、数学建模；n熟练运用一门以上运算软件：熟练运用一门以上运算软件：MatlabMatlab, , Maple, Maple, MathematicaMathematica, , LindoLindo, , SasSas, , SpssSpss, C, C等等n学会撰写科学论文学会撰写科学论文( (说明文说明文) )。推荐参考书推荐参考书n叶其
15、孝主编叶其孝主编, , 大学生数学建模竞赛辅导教材大学生数学建模竞赛辅导教材( (一、二、一、二、三、四三、四), ), 湖南教育出版社，湖南教育出版社，20012001nCUMCMCUMCM优秀论文汇编（优秀论文汇编（1992-20001992-2000），中国物价出版社，），中国物价出版社，20022002n姜启源等，数学模型姜启源等，数学模型( (第三版第三版) )，高等教育出版社，高等教育出版社，20032003n刘来福等，刘来福等， 数学模型与数学建模数学模型与数学建模( (第二版第二版) )， ，北京师，北京师范大学出版社，范大学出版社，2002. 2002. n杨启帆等，杨启帆等
16、， 数学建模，浙江大学出版社，数学建模，浙江大学出版社，1999. 1999. n袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1997. 1997. n朱道元等，数学建模案例精选朱道元等，数学建模案例精选, , 科学出版社，科学出版社，20032003n胡良剑等，数学实验，上海科学技术出版社，胡良剑等，数学实验，上海科学技术出版社，20012001数学建模竞赛网上资源数学建模竞赛网上资源n国际数学模型网国际数学模型网：http:/http:/www.mathmodels.orgwww.mathmodels.org/ /nMCMMCM和和ICMICM网站网站:
17、 : http:/http:/ /nCUMCMCUMCM网站网站: : http:/http:/ n国防科大国防科大 n浙江大学数学建模基地浙江大学数学建模基地 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指
18、机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数四、四、数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和
19、信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践五、什么是好的数学模型？五、什么是好的数学模型？1 1、数学模型没有对和错，只有好和更好。、数学模型没有对和错，只有好和更好。2 2、经得起实践检验，尽可能浅显，便于实用。、经得起实践检验，尽可能浅显，便于实用。六、数学模型的应用领域六、数学模型的应用领域n经典物理、力学问题经典物理、力学问题n基于精确计
20、算和分析的科技研发基于精确计算和分析的科技研发n工程设计、实施工程设计、实施n数量经济学、金融领域、企业管理数量经济学、金融领域、企业管理n生物、医学和药物研究生物、医学和药物研究nn在结合了高性能计算技术之后，数学模型已经被在结合了高性能计算技术之后，数学模型已经被广泛应用于现代社会的所有层面、所有领域广泛应用于现代社会的所有层面、所有领域数学模型数学模型 几个简单实例几个简单实例北京理工大学北京理工大学 王宏洲王宏洲速度速度大小为大小为 2v, 方向始终指向方向始终指向A , 解解: 设设 t 时刻时刻 B 位于位于 ( x, y ), 如图所示如图所示, 则有则有B在在 t 时刻走过的路
21、程时刻走过的路程设敌坦克设敌坦克 A 从点从点( 0, 1 )出发出发, 以恒速以恒速 v 沿沿 y 轴轴示例示例1：正向运动正向运动, 我军反坦克导弹我军反坦克导弹 B 从从 (1, 0 ) 出发出发, 请给出请给出 B 的运动轨迹的运动轨迹.代入代入消去消去t 得得两边对两边对 x 求导求导, 得得其初始条件为其初始条件为解方程得到轨迹解方程得到轨迹示例示例2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) )： 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀
22、人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河? ?问题分析：问题分析：多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)建立模型建立模型xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,
23、 sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许允许决策决策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型
24、求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 19
25、99人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0问题：研究人口变化规律，控制人口过快增长问题：研究人口变化规律，控制人口过快增长示例示例3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 ( (1798) )常用的计算公式常用的计算公式x(t) 时刻时刻 t 的的人口人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对
26、)增长率增长率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率
27、人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型阻滞
28、增长模型( (Logistic模型模型) )参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r =0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2
29、000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4 (百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0x(2010)=306.0示例示例4 4、更复杂一些的模型、更复杂一些的模型比如，考虑出生、死亡、人口年龄结构等更多因素的比如，考虑出生、死亡、人口年龄结构等更多因素的人口增长模型；人口增长模型；把把某些事件发生的随机性考虑在内等。某些事件发生的随机性考虑在内等。Matlab 试验n参考附件
